素粒子物理学と表現理論

1930年代にユージン・ウィグナーによって初めて指摘されたように、素粒子物理学と表現論の間には自然なつながりがあります。^{[1]これは、}素粒子の特性をリー群とリー代数の構造に結び付けます。このつながりによれば、素粒子のさまざまな量子状態は、ポアンカレ群の既約表現を生み出します。さらに、さまざまな粒子の特性、そのスペクトルは、宇宙の「近似対称性」に対応するリー代数の表現に関連付けることができます。

量子力学では、任意の特定の 1 粒子状態はヒルベルト空間のベクトルとして表されます。どのような種類の粒子が存在できるかを理解するためには、対称性、によって許されるの可能性とその特性を分類することが重要です。を特定の量子系を記述するヒルベルト空間とし、 を量子系の対称性のグループとします。たとえば、相対論的量子系では、はポアンカレ群であり、水素原子の場合は回転群 SO(3)である可能性があります。粒子状態は、関連する射影ヒルベルト空間 （光線空間とも呼ばれる）によってより正確に特徴付けられます。これは、スカラー係数がゼロでない 2 つのベクトルが、 の同値類であり、自然な射影写像 の下ではの要素であるヒルベルト空間の光線によって表される同じ物理的量子状態に対応するためです。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$

量子系の対称性の定義により、に対する群作用が存在します。 各 に対して、の対応する変換が存在します。より具体的には、 が系の何らかの対称性（たとえば、x 軸を中心とした 12° の回転）である場合、の対応する変換は光線空間上の写像です。 たとえば、静止した（運動量ゼロの）スピン 5 粒子をその中心の周りで回転させると、は 3D 空間（ の要素）での回転であり、 は、その定義域と値域がそれぞれこの粒子の可能な量子状態の空間、この例では11 次元複素ヒルベルト空間 に関連付けられた射影空間である演算子です。 ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle V(g)}$${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle V(g)}$${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$${\displaystyle V(g)}$${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

各写像は、対称性の定義により、上の内積によって誘導される上の光線積を保存します。ウィグナーの定理によれば、 のこの変換はのユニタリ変換または反ユニタリ変換から生じます。ただし、特定の に関連付けられたは一意ではなく、位相係数 までしか一意ではないことに注意してください。したがって、演算子の合成はの合成法則を反映する必要がありますが、位相係数 までしか反映されません。 ${\displaystyle V(g)}$${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$${\displaystyle U(g)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle U(g)}$${\displaystyle V(g)}$${\displaystyle U(g)}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle U(gh)=e^{i\theta }U(g)U(h)}$、

ここで、はおよびに依存します。したがって、を に送る写像はの射影ユニタリ表現であり、 が切断されている場合は、ユニタリと反ユニタリの混合である可能性があります。実際には、反ユニタリ演算子は常に時間反転対称性と関連付けられています。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$${\displaystyle U(g)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

物理的に重要なのは、一般に はの通常の表現である必要がないということです。 の定義で位相因子を選択して、それらの合成法則で位相因子を除去することは不可能な場合があります。 たとえば、電子はスピン 1/2 粒子です。そのヒルベルト空間は、2 次元スピノル空間の値を持つ 上の波動関数で構成されます。 のスピノル空間への作用は射影的であるだけです。これは の通常の表現から来るものではありません。 ただし、スピノル空間上の の普遍被覆の関連する通常の表現があります。^[2]${\displaystyle U(\cdot )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U(g)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$${\displaystyle \mathrm {SU(2)} }$${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$

群 の多くの興味深いクラスについて、バーグマンの定理は、のすべての射影ユニタリ表現がの普遍被覆の通常の表現から得られることを示しています。実際に、が有限次元の場合、群 に関係なく、 のすべての射影ユニタリ表現は の通常のユニタリ表現から得られます。^[3]が無限次元の場合、目的の結論を得るには、 についていくつかの代数的仮定を行う必要があります(以下を参照)。この設定では、結果はバーグマンの定理です。^[4]幸いなことに、ポアンカレ群の重要なケースでは、バーグマンの定理が適用されます。^[5] (ポアンカレ群の普遍被覆の表現の ウィグナーの分類を参照)。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle G}$

上で言及した要件は、リー代数が非自明な 1 次元中心拡大を許容しないというものです。これは、の2 番目のコホモロジー群が自明である場合に限ります。この場合、群が離散群による中心拡大を許容することは依然として真である可能性があります。しかし、離散群による の拡大は の被覆です。たとえば、普遍被覆はの商を介してに関連し、中心部分群はそれ自身の中心であり、被覆群の 基本群と同型です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\approx {\tilde {G}}/\Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\tilde {G}}}$

したがって、好ましい場合には、量子系は対称群の普遍被覆のユニタリ表現を持ちます。これは、非ベクトル空間よりも扱いやすいため望ましいことです。 の表現を分類できれば、 の可能性と特性についてさらに多くの情報が得られます。 ${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

バーグマンの定理が適用されない例として、 内を動く量子粒子が挙げられます。関連する位相空間 の並進対称性の群は、可換群 です。通常の量子力学的な見方では、 のユニタリ表現では対称性は実装されません。結局のところ、量子設定では、位置空間での並進と運動量空間での並進は可換ではありません。この可換性の失敗は、位置演算子と運動量演算子（それぞれ運動量空間と位置空間での並進の微小生成元）が可換でないことを反映しています。それでも、位置空間での並進と運動量空間での並進は位相因子まで可換です。したがって、 の明確に定義された射影表現が得られますが、が単連結で あっても、の通常の表現からは得られません。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

この場合、通常の表現を得るためには、の非自明な 1 次元中心拡張であるハイゼンベルク群を使用する必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

並進とローレンツ変換の群はポアンカレ群を形成し、この群は相対論的量子系（一般相対性効果を無視する、言い換えれば平坦な時空）の対称性となるはずである。ポアンカレ群の表現は多くの場合、非負の質量と半整数スピンによって特徴付けられる（ウィグナーの分類 を参照）。これが、粒子が量子化されたスピンを持つ理由であると考えられる。（実際には、タキオン、インフラ粒子など、量子化されたスピンや固定質量を持たない場合もある他の表現も可能であることに注意。）

ポアンカレ群の時空対称性は特に視覚化しやすく信じやすいが、内部対称性と呼ばれる他の種類の対称性も存在する。一例は色 SU(3)で、これは 3 つのクォーク色の連続的な交換に対応する正確な対称性である。

多くの（ただしすべてではない）対称性または近似対称性は、リー群を形成します。これらのリー群の表現論を研究するよりも、通常は計算が簡単な、対応するリー代数の密接に関連した表現論を研究する方が望ましい場合がよくあります。

ここで、リー代数の表現は、元の群の普遍被覆の表現に対応する。 ^[6]有限次元の場合、およびバーグマンの定理が適用される限りの無限次元の場合、元の群の既約射影表現は、普遍被覆の通常のユニタリ表現に対応する。これらの場合、リー代数レベルでの計算が適切である。これは、特に、回転群 SO(3) の既約射影表現を調べる場合に当てはまる。これらは、SO(3) の普遍被覆 SU(2)の通常の表現と 1 対 1 に対応している。SU(2) の表現は、そのリー代数 su(2) の表現と 1 対 1 に対応しており、これは SO(3) のリー代数 so(3) と同型である。

したがって、まとめると、SO(3) の既約射影表現は、そのリー代数 so(3) の既約通常表現と 1 対 1 に対応しています。たとえば、リー代数 so(3) の 2 次元「スピン 1/2」表現は、グループ SO(3) の通常 (単一値) 表現に対応しません。(この事実は、「電子の波動関数を 360 度回転させると、元の波動関数の負の値が得られる」という主張の起源です。) それでも、スピン 1/2 表現は SO(3) の明確に定義された射影表現を生み出します。これは物理的に必要なすべてです。

上記の対称性は正確であると考えられていますが、他の対称性は近似値にすぎません。

近似対称性が意味する例を挙げると、磁化が特定の方向に向いた無限の強磁性体の中に実験者がいると仮定します。この状況では、実験者は 1 種類ではなく 2 種類の異なる電子を見つけることになります。1 つは磁化の方向に沿ったスピンを持ち、わずかにエネルギーが低い (したがって質量も低い) 電子で、もう 1 つはスピンが逆方向に向いており質量が大きい電子です。通常、上向きスピンの電子と下向きスピンの電子を結び付ける通常のSO(3)回転対称性は、この仮想的なケースでは、異なる種類の粒子を互いに 関連付ける近似対称性に過ぎなくなります。

一般に、近似的な対称性は、その対称性に従う非常に強い相互作用と、従わない弱い相互作用がある場合に生じます。上記の電子の例では、2 つの「タイプ」の電子は、強い力と弱い力の下では同じように動作しますが、電磁力の下では異なる動作をします。

現実世界の例としては、アイソスピン対称性、つまりアップクォークとダウンクォークの類似性に対応するSU(2)群がある。これは近似的な対称性である。アップクォークとダウンクォークは強い力の下で相互作用する方法は同じであるが、質量と電弱相互作用は異なる。数学的には、抽象的な2次元ベクトル空間が存在する。

${\displaystyle {\text{up quark}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\qquad {\text{down quark}}\rightarrow {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

そして物理法則は、この空間に行列式1のユニタリー変換を適用してもほぼ不変である： ^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},\quad {\text{where }}A{\text{ is in }}SU(2)}$

たとえば、宇宙のすべてのアップクォークがダウンクォークに、またその逆も起こります。いくつかの例は、これらの変換の考えられる影響を明確にするのに役立ちます。 ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

• これらのユニタリー変換を陽子に適用すると、陽子は中性子、または陽子と中性子の重ね合わせに変換できますが、他の粒子に変換することはできません。したがって、変換により、陽子は量子状態の 2 次元空間内を移動します。陽子と中性子は「アイソスピン ダブレット」と呼ばれ、通常の回転下でスピン ½粒子がどのように動作するかと数学的に類似しています。
• これらのユニタリー変換を3つのパイ中間子（
  π⁰
  、
  π⁺
  、 そして
  π⁻
  ) では、任意のパイ中間子を他の任意のパイ中間子に変換できますが、パイ中間子以外の粒子に変換することはできません。したがって、変換により、パイ中間子は量子状態の 3 次元空間内を移動します。パイ中間子は「アイソスピン 3 重項」と呼ばれ、通常の回転下でスピン 1 粒子が動作するのと数学的に類似しています。
• これらの変換は電子にはまったく影響しません。なぜなら電子にはアップクォークもダウンクォークも含まれていないからです。電子はアイソスピンシングレットと呼ばれ、通常の回転下でスピン 0 粒子がどのように動作するかと数学的に類似しています。

一般に、粒子はアイソスピン多重項を形成し、これはリー代数 SU(2)の既約表現に対応する。アイソスピン多重項内の粒子の質量は非常に似ているが同一ではない。これは、アップクォークとダウンクォークが非常に似ているが同一ではないためである。

アイソスピン対称性は、アップクォーク、ダウンクォーク、ストレンジクォーク間の類似性に対応するSU(3)群であるフレーバー対称性に一般化できます。^[7]これもまた近似対称性であり、クォークの質量差と電弱相互作用によって破れています。実際、ストレンジクォークの質量が著しく大きいため、アイソスピンよりも劣った近似となっています。

それにもかかわらず、粒子は、マレー・ゲルマンによって最初に指摘され、ユヴァル・ネーマンによって独立に指摘されたように、リー代数SU(3)の既約表現を形成するグループにきちんと分類することができます。

• 電荷（物理学）
• 表現論:
  • リー代数について
  • リー群について
• 射影表現
• 特殊ユニタリ群

• コールマン、シドニー (1985) 「対称性の側面：シドニー・コールマンのエリック講義選集」ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-26706-4。 
• ジョージ、ハワード (1999)素粒子物理学におけるリー代数マサチューセッツ州レディング: Perseus Books ISBN 0-7382-0233-9。 
• ホール、ブライアン C. (2013)、「数学者のための量子理論」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 267、Springer、Bibcode :2013qtm..book.....H、ISBN 978-1461471158。
• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-3319134666。
• シュロモ・スターンバーグ（1994）『群論と物理学』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-24870-1 。特にpp.148-150。 
• ウェインバーグ、スティーブン（1995）。『場の量子論、第1巻：基礎』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-55001-7。特に第 2 章の付録 A と B。

• Baez, John C.; Huerta, John (2010). 「大統一理論の代数」. Bull. Am. Math. Soc . 47 (3): 483–552. arXiv : 0904.1556 . doi :10.1090/S0273-0979-10-01294-2. S2CID  2941843.