リー点対称性

リー点対称性は、高度な数学の概念です。19世紀の終わり頃、ソフス・リーは常微分方程式^{[1] [2] [3]} (ODE)の解を研究するためにリー群の概念を導入しました。彼は次の主要な特性を示しました。常微分方程式の次数は、1パラメータのリー群の点変換に対して不変であれば1つ減らすことができます。^[4]この観察により、利用可能な積分手法が統合され、拡張されました。リーは数学者としての残りの人生を、現在では数学に基づく科学の多くの分野に影響を与えているこれらの連続群の開発に費やしました。微分系へのリー群の応用は、主にリーとエミー・ノイマンによって確立され、その後エリー・カルタンによって提唱されました。

大まかに言えば、システムのリー点対称性は、システムのすべての解を同じシステムの別の解にマッピングする変換のローカル グループです。言い換えると、システムの解の集合をそれ自体にマッピングします。リー群の基本的な例としては、平行移動、回転、スケーリングがあります。

リー対称性理論はよく知られた主題である。この理論では、例えば離散対称性とは対照的な連続対称性が議論されている。この理論に関する文献は、他の場所とともに、これらのノートに記載されている。^{[5] [6] [7] [8] [9]}

リー群、したがってその無限小生成子は、独立変数、状態変数（従属変数）、および状態変数の任意の有限次数までの導関数の空間に作用するように自然に「拡張」できます。 対称性には他にも多くの種類があります。 たとえば、接触変換では、変換の無限小生成子の係数は、座標の 1 次導関数にも依存します。リー-バックルンド変換では、任意の次数までの導関数を含めることができます。 このような対称性が存在する可能性は、ノイマンによって認識されました。^[10]リー点対称性の場合、無限小生成子の係数は、 で表される座標のみに依存します。 ${\displaystyle Z}$

リー対称性は、常微分方程式を解くためにリーによって導入されました。対称性法のもう1つの応用は、微分方程式系を簡約して、より単純な形式の同等の微分方程式系を見つけることです。これを簡約と呼びます。文献には、古典的な簡約プロセス^[4]と移動フレームベースの簡約プロセスがあります。^{[11] [12] [13]}また、対称群は、ソリューションの異なる対称クラスを分類するために使用できます。

リーの基本定理は、リー群が無限小生成元として知られる要素によって特徴付けられることを強調しています。これらの数学的対象は、無限小生成元のリー代数を形成します。演繹された「無限小対称条件」（対称群の定義方程式）を明示的に解くことで、対称群の閉じた形式、および関連する無限小生成元を見つけることができます。

が の濃度であるシステムが定義される座標の集合であるとします。体における無限小生成子は、その核にを持ち、ライプニッツ規則を満たす線形演算子です。 ${\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \mathbb {R} (Z)}$${\displaystyle \delta :\mathbb {R} (Z)\rightarrow \mathbb {R} (Z)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \forall (f_{1},f_{2})\in \mathbb {R} (Z)^{2},\delta f_{1}f_{2}=f_{1}\delta f_{2}+f_{2}\delta f_{1}}$。

基本的な導出の標準的な基礎では、次のように書かれています。 ${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right\}}$

${\displaystyle \delta =\sum _{i=1}^{n}\xi _{z_{i}}(Z){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}}$

すべてのに対してはです。 ${\displaystyle \xi _{z_{i}}}$${\displaystyle \mathbb {R} (Z)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \left\{1,\dots ,n\right\}}$

リー代数は、上で定義したように、無限小生成子の生成セットによって生成できます。すべてのリー群にリー代数を関連付けることができます。大まかに言えば、リー代数は、追加の操作としてリー括弧を備えたベクトル空間によって構成される代数です。リー代数の基本体は、不変量の概念に依存します。ここでは、有限次元のリー代数のみを考慮します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

動的システム（またはフロー）は、1パラメータのグループ作用です。このような動的システム、より正確には、多様体上のグループの（左）作用を次のように表します。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (G,+)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}{\mathcal {D}}:&G\times M&\rightarrow &M\\&\nu \times Z&\rightarrow &{\mathcal {D}}(\nu ,Z)\end{array}}}$

のすべての点に対して次のようになる: ${\displaystyle Z}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle {\mathcal {D}}(e,Z)=Z}$ここで、の中立要素は です。${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$
• すべてにおいて、。${\displaystyle (\nu ,{\hat {\nu }})}$${\displaystyle G^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\nu ,{\mathcal {D}}({\hat {\nu }},Z))={\mathcal {D}}(\nu +{\hat {\nu }},Z)}$

連続的な動的システムは、グループ要素が連続していること が識別できるグループ上で定義されます。${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

不変量とは、大まかに言えば、変換によって変化しない要素です。

この段落では、正確に拡張されたリー点対称性を考慮します。つまり、独立変数、状態変数、およびパラメータ間の区別が可能な限り回避される拡張空間で作業します。

システムの対称群は、多様体 に作用する局所リー群上で定義される連続的な動的システムです。わかりやすくするために、がシステム座標の数で あるn 次元の実多様体に限定します。${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$

これから述べる対称性の定義で使用される 代数システムを定義しましょう。

を体上の有理関数の有限集合とします。ここで、 および はの多項式、つまり の係数を持つ変数です。に関連付けられた代数システムは、次の等式と不等式によって定義されます。 ${\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})=(p_{1}/q_{1},\dots ,p_{k}/q_{k})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} [Z]}$${\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\left\{{\begin{array}{l}p_{1}(Z)=0,\\\vdots \\p_{k}(Z)=0\end{array}}\right.&{\mbox{and}}&\left\{{\begin{array}{l}q_{1}(Z)\neq 0,\\\vdots \\q_{k}(Z)\neq 0.\end{array}}\right.\end{array}}}$

によって定義される代数系は、系の階数が最大である場合に正則（または滑らか）です。つまり、関連する半代数多様体のあらゆる解において、ヤコビ行列の階数が であることを意味します。 ${\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (\partial f_{i}/\partial z_{j})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Z}$

^{次の定理（ [5]}の第2章2.8節を参照）は、局所リー群が代数系の対称群となるための必要十分条件を与えている。 ${\displaystyle G}$

定理。はn 次元空間で作用する連続力学系の連結局所リー群とします。で代数方程式の正規系を定義します 。${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle k\leq n}$

${\displaystyle f_{i}(Z)=0\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}.}$

すると、この代数系の対称群は、 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \delta f_{i}(Z)=0\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}{\mbox{ whenever }}f_{1}(Z)=\dots =f_{k}(Z)=0}$

のリー代数におけるすべての無限小生成子に対して。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$

6 変数の空間で定義された代数システムを考えます。 ${\displaystyle Z=(P,Q,a,b,c,l)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f_{1}(Z)=(1-cP)+bQ+1,\\f_{2}(Z)=aP-lQ+1.\end{array}}\right.}$

無限小ジェネレータ

${\displaystyle \delta =a(a-1){\dfrac {\partial }{\partial a}}+(l+b){\dfrac {\partial }{\partial b}}+(2ac-c){\dfrac {\partial }{\partial c}}+(-aP+P){\dfrac {\partial }{\partial P}}}$

は、1パラメータ対称群の1つに関連付けられています。これは、と の4つの変数に作用します。と は簡単に確認できます。したがって、代数系が消える の 任意のに対して関係式が満たされます。${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \delta f_{1}=f_{1}-f_{2}}$${\displaystyle \delta f_{2}=0}$${\displaystyle \delta f_{1}=\delta f_{2}=0}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$

これから述べる対称性の定義で使用される 1 次ODEのシステムを定義しましょう。

を連続独立変数 に関する微分とします。2つの集合と を考えます。関連する座標集合 は によって定義され、その基数は です。これらの表記法を用いると、1 階常微分方程式系は次の系になります。 ${\displaystyle d\cdot /dt}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{k})}$${\displaystyle \Theta =(\theta _{1},\dots ,\theta _{l})}$${\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{n})=(t,x_{1},\dots ,x_{k},\theta _{1},\dots ,\theta _{l})}$${\displaystyle n=1+k+l}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(Z){\mbox{ with }}f_{i}\in \mathbb {R} (Z)\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\},\\{\dfrac {d\theta _{j}}{dt}}=0\quad \forall j\in \{1,\dots ,l\}\end{array}}\right.}$

そして、セットは、独立変数に関する常微分方程式の状態変数の進化を指定します。セットの要素は状態変数と呼ばれ、これらはパラメータと呼ばれます。 ${\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Theta }$

連続動的システムの方程式を解くことによって、それを常微分方程式のシステムに関連付けることもできます。

無限小生成器は、常微分方程式系（より正確には連続力学系）と密接に関係する導出である。常微分方程式系、関連するベクトル場、および無限小生成器の関係については、^[4]のセクション 1.3 を参照のこと。上記の常微分方程式系に関連付けられた無限小生成器は、次のように同じ表記法で定義される。 ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta ={\dfrac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{k}f_{i}(Z){\dfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\cdot }$

このような対称性の幾何学的定義は次の通りです。 を連続力学系とその無限小生成子とします。 連続力学系は、のすべての軌道を の軌道に送る場合、かつその場合に限り、のリー点対称性です。 したがって、無限小生成子は、リー括弧に基づいて次の関係^[8]を満たします。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \delta _{\mathcal {S}}}$

${\displaystyle [\delta _{\mathcal {D}},\delta _{\mathcal {S}}]=\lambda \delta _{\mathcal {D}}}$

ここで、はの任意の定数、すなわち です。これらのジェネレータは線形独立です。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}}$${\displaystyle \delta _{\mathcal {S}}}$${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}\lambda =\delta _{\mathcal {S}}\lambda =0}$

対称性の無限小生成元を計算するために、 の明示的な式は必要ありません。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

ピエール・フランソワ・ヴェルフルストの線形捕食ロジスティック成長モデル^[14]を考えてみましょう。ここで状態変数は個体群を表します。パラメータは成長率と捕食率の差であり、パラメータは環境の受容能力に対応します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\dfrac {dx}{dt}}=(a-bx)x,{\dfrac {da}{dt}}={\dfrac {db}{dt}}=0.}$

この常微分方程式系に関連付けられた連続動的システムは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}{\mathcal {D}}:&(\mathbb {R} ,+)\times \mathbb {R} ^{4}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{4}\\&({\hat {t}},(t,x,a,b))&\rightarrow &\left(t+{\hat {t}},{\frac {axe^{a{\hat {t}}}}{a-(1-e^{a{\hat {t}}})bx}},a,b\right).\end{array}}}$

独立変数は連続的に変化するため、関連するグループは で識別できます。 ${\displaystyle {\hat {t}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

この常微分方程式系に関連付けられた無限小生成子は次のとおりです。

${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}+((a-bx)x){\dfrac {\partial }{\partial x}}\cdot }$

次の無限小生成元は の 2 次元対称群に属します。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \delta _{{\mathcal {S}}_{1}}=-x{\dfrac {\partial }{\partial x}}+b{\dfrac {\partial }{\partial b}},\quad \delta _{{\mathcal {S}}_{2}}=t{\dfrac {\partial }{\partial t}}-x{\dfrac {\partial }{\partial x}}-a{\dfrac {\partial }{\partial a}}\cdot }$

この分野には多くのソフトウェアパッケージが存在する。^{[15] [16] [17]}たとえば、Mapleのパッケージliesymmは、偏微分方程式のリー対称性法を提供している。^[18]これは、決定系の積分と微分形式を操作します。小さなシステムでは成功しているにもかかわらず、決定系を自動的に解く積分機能は、複雑さの問題によって制限されています。DEToolsパッケージは、ベクトル場の延長を使用して常微分方程式のリー対称性を検索します。一般的な場合、常微分方程式のリー対称性を見つけることは、元のシステムを解くのと同じくらい複雑になる可能性があります。