射影線形群

関連するグループとして、公理的に定義される共線群があります。共線とは、共線上の点を共線上の点に写像する可逆（またはより一般的には一対一）写像です。射影空間は、特定の公理を満たす接続構造（点の集合P、直線L、およびどの点がどの直線上にあるかを指定する接続関係I ）によって公理的に定義できます。このように定義された射影空間の自己同型は、接続関係を保存する点の集合の自己同型fと直線の集合の自己同型gであり、^{[注 2 ]}これはまさに空間から空間自身への共線です。射影線形変換は共線変換です（ベクトル空間の平面は、関連する射影空間の直線に対応し、線形変換は平面を平面に写像するので、射影線形変換は直線を直線に写像します）。しかし一般に、すべての共線変換が射影線形変換であるとは限りません。PGLは一般に共線変換群の真部分群です。

具体的には、n = 2 (射影直線) の場合、すべての点が共線であるため、共線群は射影直線の点の対称群と完全に一致し、 F ₂とF ₃ (PGL が完全な対称群である場合) を除いて、PGL はこれらの点における完全な対称群の真部分群となります。

n ≥ 3の場合、共線群は射影半線形群PΓL であり、これは体自己同型によってねじられた PGL です。形式的には、PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k )であり、ここでkはKの素体です。これは射影幾何学の基本定理です。したがって、 K が素体 ( F _pまたはQ ) の場合、PGL = PΓLですが、Kが非自明なガロア自己同型を持つ体 ( n ≥ 2のF _{p ⁿ}またはCなど) の場合、射影線形群は共線群の真部分群であり、これは「射影半線形構造を保存する変換」と考えることができます。同様に、商群PΓL / PGL = Gal( K / k )は「線形構造の選択」に対応し、単位元 (基点) は既存の線形構造です。

射影線形変換の自然な概念が存在しない、公理的に定義された射影空間に対しても、共線群を定義することができる。ただし、非デザルグ平面を除いて、すべての射影空間は、分割環上の線形空間の射影化である。ただし、上述のように、線形構造には複数の選択肢があり、具体的にはGal( K / k )上のトルソル( n ≥ 3の場合) がある。

メビウス変換に関しては、群PGL(2, K )はKの係数を持つ分数線形変換として解釈できます。K 上の射影直線上の点はK 2^のペアに対応し、2 つのペアは比例関係にあるときに等価になります。2 番目の座標がゼロでない場合、点は[ z , 1]で表すことができます。そしてad − bc ≠ 0の場合、 PGL(2, K )の作用は線形変換によって行われます。

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [az+b,\ cz+d]\ =\ \left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

このようにして、連続する変換はこのような行列による右乗算として記述でき、行列乗算はPGL(2, K )の群積に使用できます。

任意の素数 p に対する群PSL(2, p )は、1830 年代にエヴァリスト・ガロアによって構成され、交代群に次ぐ2 番目の有限単純群の族でした。^{[ 3 ]}ガロアは、これらを分数線形変換として構成し、pが 2 または 3 の場合を除いて単純であることを観察しました。これは、シュヴァリエへの最後の手紙に含まれています。^{[ 4 ]}同じ手紙と添付の原稿で、ガロアは、次数p ^νの一般方程式のガロア群を研究して、素体上の一般線形群GL( ν , p )も構成しました。

任意の素数冪qに対する群PSL( n , q ) (一般n 、一般有限体) は、カミーユ・ジョルダンによる 1870 年の古典的なテキスト「代数的置換と代数方程式論」で構築されました。

PGL( n , q )の次数は

( q ⁿ − 1)( q ⁿ − q )( q ⁿ − q ² ) ⋅⋅⋅ ( q ⁿ − q ^{n −1} )/( q − 1) = q ^{n 2 −1} − O( q ^{n 2 −3} )

これは、射影化のためにq − 1で割ったGL( n , q )の次数に対応します。このような式の議論については、 q類似を参照してください。次数はn ² − 1であり、これは代数群としての次元と一致します。「O」はビッグ O 記法を表し、「低次の項を含む項」を意味します。これもSL( n , q )の次数に等しくなります。ここでq − 1で割るのは行列式によるものです。

PSL( n , q )の位数は、上記のPGL( n , q )の位数をgcd( n , q − 1)で割った値です。これは、行列式が 1 のスカラー行列の数である| SZ( n , q ) |と等しく、 n乗根を持たない要素のクラスの数である| F ^× / ( F ^× ) ⁿ |と等しく、またF _qにおける1のn乗根の数でもあります。^{[注 4 ]}

同型写像に加えて

L ₂ (2) ≅ S ₃、 L ₂ (3) ≅ A ₄、およびPGL(2, 3) ≅ S ₄、

射影特殊線形群と交代群の間には、他にも例外的な同型関係が存在する（これらの群はすべて単純群であり、5文字以上の交代群は単純群である）。

L ₂ (4) ≅ A ₅

L ₂ (5) ≅ A ₅ (証明については§  p点への作用を参照)

L ₂ (9) ≅ A ₆

L ₄ (2) ≅ A ₈ ^{[ 5 ]}

同型写像L ₂ (9) ≅ A ₆により、 A _6の特異な外部自己同型を体自己同型と行列演算の観点から見ることができる。同型写像L ₄ (2) ≅ A ₈は、マチュー群M ₂₄の構造において興味深い。

関連拡大SL( n , q ) → PSL( n , q )は、普遍的完全中心拡大の一意性により、A ₄、A _5の交代群の被覆群（普遍的完全中心拡大）です。L 2 (9 ₎ ≅ A ₆の場合、関連拡大は完全中心拡大ですが、普遍的ではありません。3重被覆群が存在します。

F ₅上の群には、いくつかの例外的な同型写像が存在する。

PSL(2, 5) ≅ A ₅ ≅ I、5 つの要素の交代群、または同等に正二十面体群。

PGL(2, 5) ≅ S _5、5つの要素上の対称群。

SL(2, 5) ≅ 2 ⋅ A ₅ ≅ 2 I は交代群 A ₅の二重被覆、または同等に二元二十面体群です。

これらは、後述するように、エキゾチックな写像S ₅ → S ₆の構成を与えるためにも使用できます。ただし、 GL(2, 5)は S ₅の二重被覆ではなく、4重被覆であることに注意してください。

さらに別の同型写像は次のとおりです。

L ₂ (7) ≅ L ₃ (2)は位数 168 の単純群であり、2 番目に小さい非可換単純群であり、交代群ではありません。PSL (2, 7)を参照してください。

上記の射影特殊線形群を含む例外的な同型写像は、有限単純群の族間の例外的な同型写像のほぼすべてです。他の例外的な同型写像は、射影特殊ユニタリ群と射影シンプレクティック群の間の PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3) のみです。^{[ 3 ]}

群PSL(3, 4)は、散在単純群の 1 つであるマチュー群M ₂₄を構成するために使用できます。この文脈では、PSL(3, 4) は厳密にはマチュー群ではありませんが、 M ₂₁と呼ばれます。まず、4 つの要素を持つ体上の射影平面から始めます。これは、S(2, 5, 21)型のシュタイナー系です。つまり、21 個の点があり、各線 (シュタイナー用語では「ブロック」) には 5 つの点があり、任意の 2 つの点が線を決定します。そして、PSL(3, 4) はこの平面に作用します。このシュタイナー系をW ₂₁（「W」はWittの略）と呼び、それをより大きなシュタイナー系W ₂₄に拡張し、その過程で対称群を拡張します。射影一般線形群PGL(3, 4)、次に射影半線形群PΓL(3, 4)、そして最後にマチュー群M ₂₄に拡張します。

M _{24 には、M 22}で最大となるPSL(2, 11)と、 M ₂₄で最大となるPSL(2, 23)のコピーも含まれており、これらを使用して M ₂₄を構築できます。^{[ 13 ]}

PSL 群は、フルヴィッツ群(フルヴィッツ曲面の自己同型群- 最大対称群の代数曲線) として現れます。種数が最も低いフルヴィッツ曲面であるクライン四次曲面(種数 3) の自己同型群はPSL(2, 7) (同等にGL(3, 2) ) と同型であり、種数が 2 番目に低いフルヴィッツ曲面であるマクベス曲面(種数 7) の自己同型群はPSL(2, 8)と同型です。

実際、単純群の多くはフルヴィッツ群として現れるが、すべてではない（モンスター群は含まれるが、交代群や散在群はすべてではない）。ただし、PSLは最小のそのような群を含むことで注目に値する。

群PSL(2, Z / n Z )は、モジュラー群PSL (2, Z )をnを法としてすべての要素を縮小した商として研究する際に現れます。核は主合同部分群と呼ばれます。

射影一般線形群PGL(2, Z ) (および射影特殊線形群PSL(2, Z [ i ]) ) の注目すべき部分群は、集合{0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( C ) ^{[注 6 ]}の対称性であり、これは非調和群として知られ、 6 つの交差比の対称性として生じます。この部分群は、分数線形変換として表現することも、行列によって (一意ではない) 表現することもできます。

上段は恒等行列と 2 つの 3 サイクルで、向きを保存し、PSL(2, Z )の部分群を形成します。一方、下段は 3 つの 2 サイクルで、PGL(2, Z )とPSL( 2, Z [ i ])に含まれますが、PSL(2, Z )には含まれないため、行列式 -1 と整数係数を持つ行列、または行列式 1 とガウス整数係数を持つ行列として実現されます。

これは、 nを法とする還元の下で{0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( n )の対称性に写像されます。特に、n = 2の場合、この部分群はPGL(2, Z / 2 Z ) = PSL(2, Z / 2 Z ) ≅ S ₃に同型写像され、^{[注 7 ]}分裂PGL(2, Z / 2 Z )を提供します。${\displaystyle \hookrightarrow }$商マップPGL(2, Z )のPGL(2, Z )${\displaystyle \twoheadrightarrow }$PGL(2, Z / 2 Z )。

両方の 3 サイクルの固定点は「最も対称的な」交差比であり、${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$、 x ² − x + 1の解( 1 の原始的な6乗根)。2 サイクルは、固定点以外の任意の点と同様に、これらを交換し、この 2 つの点に対する群作用によって商写像S ₃ → S ₂を実現します。つまり、単位元と 3 サイクル{(), (0 1 ∞), (0 ∞ 1)}からなる部分群C ₃ < S ₃は、これら 2 つの点を固定し、他の要素はこれらを交換します。

個々の 2 サイクルの固定点はそれぞれ −1、1/2、2 であり、この集合は 3 サイクルによっても保存され、置換されます。これは、S ₃が2 サイクル (そのシロー 2 部分群) に共役によって作用することに対応し、内部自己同型群S ₃ ~ → Inn(S ₃ ) ≅ S ₃との同型を実現します。

幾何学的には、これは三角両錐の回転群として視覚化でき、これは三角形D ₃ ≅ S ₃の二面体群と同型です。非調和群を参照してください。

実数および複素数上の射影特殊線形群は、特殊線形リー代数の最小（中心を持たない）リー群実現である。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)\colon }$リー代数が${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)}$はPSL( n , F )のカバーです。逆に、その普遍的なカバー群は最大(単連結) 元であり、中間的な実現はカバー群の格子を形成します。

例えば、SL(2, R )は中心{±1}と基本群Zを持ち、したがって普遍被覆SL(2, R )を持ち、中心のないPSL(2, R )を被覆します。