E6（数学）

数学において、E _{6 は}いくつかの密接に関連したリー群、線型代数群、またはそれらのリー代数 の名前であり、これらはすべて次元が 78 です。同じ表記 E _6が、階数が 6 である対応するルート格子にも使用されます。 E _{6 という} 名称は、複素単純リー代数のカルタン–キリング分類に由来します( Élie Cartan § 著作を参照)。これは、リー代数を A _n、 B _n、 C _n、 D _nというラベルの付いた 4 つの無限級数と、 E ₆、E ₇、E ₈、F ₄、およびG ₂というラベルの付いた5 つの例外的な場合に分類します。したがって、E ₆代数は 5 つの例外的な場合の 1 つです。 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$

_{E 6}の複素形式、コンパクト実形式、または任意の代数バージョンの基本群は巡回群 Z /3 Zであり、その外部自己同型群は巡回群Z /2 Zです。その基本表現は27 次元 (複素) であり、基底は3 次曲面上の 27 本の直線で与えられます。同値ではない双対表現も 27 次元です。

素粒子物理学では、E _{6 はいくつかの}大統一理論において役割を果たしています。

複素次元 78 の複素群に対応する、 E ₆型の唯一の複素リー代数が存在する。複素次元78の複素随伴リー群 E ₆は、実次元 156 の単純な実リー群と見なすことができる。これは、基本群Z /3 Zを持ち、最大コンパクト部分群として E ₆のコンパクト形式 (下記参照)を持ち、複素共役と、複素自己同型として既に存在する外部自己同型によって生成される、位数 4 の非巡回外部自己同型群を持つ。

_{E 6}型の複素リー群の他に、リー代数の 5 つの実形式と、それに対応して自明な中心を持つ群の 5 つの実形式 (すべて代数的二重被覆を持ち、そのうち 3 つはさらに非代数的被覆を持ち、さらに実形式を与える) があり、すべて実次元 78 で、次のようになります。

• 基本群Z /3 Zと外部自己同型群Z /2 Zを持つコンパクト形式 (通常、他の情報が与えられていない場合はこれが意味されます) 。
• 分割形式EI（またはE ₆₍₆₎）は、最大コンパクト部分群Sp(4)/(±1)、位数2の基本群、位数2の外部自己同型群を持つ。
• 準分割形式EII（またはE ₆₍₂₎）は、最大コンパクト部分群SU(2) × SU(6)/(中心)、位数6の基本群巡回、位数2の外部自己同型群を持ちます。
• EIII（またはE _6(-14)）は、最大コンパクト部分群SO(2) × Spin(10)/(中心)、基本群Z、および自明な外部自己同型群を持ちます。
• EIV（またはE _6(-26)）は、最大コンパクト部分群 F ₄、自明な基本群巡回、および位数2の外部自己同型群を持ちます。

_{E 6}の EIV 形式は、八元数射影平面 OP ²の共線変換（直線保存変換）の群である。^[1]これは、例外ジョルダン代数の行列式保存線型変換の群でもある。例外ジョルダン代数は 27 次元であり、これが E ₆のコンパクトな実数形式が 27 次元の複素表現を持つ理由を説明できる。E ₆のコンパクトな実数形式は、「二八元数射影平面」として知られる32 次元リーマン多様体の等長変換群である。E ₇と E _{8の同様の構成は}ローゼンフェルド射影平面として知られ、フロイトエンタールの魔方陣の一部である。

リー代数のシュヴァレー基底を用いて、 E _{6 を整数上の線型代数群として定義することができ、その結果、任意の可換環上、特に任意の体上の線型代数群として定義することができる。これは、 E 6}のいわゆる分割（「非ねじれ」とも呼ばれる）随伴形式を定義する。代数的に閉じた体上では、これとその三重被覆が唯一の形式である。しかし、他の体上では、 E _{6の他の多くの形式、または「ねじれ」が存在することが多く、これらは、}ガロアコホモロジー（完全体 k上）の一般的な枠組みでは集合H ¹ ( k , Aut(E _{6 )) によって分類されます。これは、 E 6}のディンキン図（下記参照）が自己同型群Z /2 Zを持つため、核H ¹ ( k , E _{6,ad ) を持つ}H ¹ ( k , Z /2 Z ) = Hom (Gal( k ), Z /2 Z ) にマッピングされます。^[2]

実数体上では、E ₆のこれらの代数的にねじれた形式の恒等式の実部は、上で述べた 3 つの実リー群と一致するが、基本群に関しては微妙な点がある: E ₆のすべての随伴形式は、代数幾何学の意味での基本群Z /3 Zを持ち、ガロア作用は 1 の 3 乗根上に存在する。これは、これらがちょうど 1 つの三重被覆 (実点上では自明である可能性がある) を許容することを意味する。したがって、E ₆のその他の非コンパクトな実リー群形式は代数的ではなく、忠実な有限次元表現を許容しない。 E ₆のコンパクトな実形式と、非コンパクトな形式 EI=E ₆₍₆₎および EIV=E _6(-26)は、内部またはタイプ¹ E ₆であると言われ、そのクラスがH ¹ ( k , E _6,ad ) にあるか、複素共役が Dynkin 図上の自明な自己同型を誘導することを意味します。一方、他の 2 つの実形式は、外部またはタイプ² E ₆であると言われています。

有限体上では、ラング・スタインベルクの定理はH ¹ ( k , E ₆ ) = 0を意味し、これは E _{6 が}² E ₆として知られるねじれ形式を 1 つだけ持つことを意味します。以下を参照してください。

代数群 G _2が八元数の自己同型群であり、代数群 F _{4 が}例外的なジョルダン代数であるアルバート代数の自己同型群であるのと同様に、代数群 E ₆は「行列式」と呼ばれる特定の3次形式を保存するアルバート代数の線型自己同型の群です。^[3]

E ₆のディンキン図は次のように表される。、これは次のようにも表される。。

これらは6次元空間に広がっていますが、9次元空間の6次元部分空間のベクトルとして考えると、より対称的になります。その場合、根は次のように考えることができます。

(1,−1,0;0,0,0;0,0,0)、(−1,1,0;0,0,0;0,0,0)、

(−1,0,1;0,0,0;0,0,0)、(1,0,−1;0,0,0;0,0,0)、

(0,1,−1;0,0,0;0,0,0)、(0,−1,1;0,0,0;0,0,0)、

(0,0,0;1,−1,0;0,0,0)、(0,0,0;−1,1,0;0,0,0)、

(0,0,0;−1,0,1;0,0,0)、(0,0,0;1,0,−1;0,0,0)、

(0,0,0;0,1,−1;0,0,0)、(0,0,0;0,−1,1;0,0,0)、

(0,0,0;0,0,0;1,−1,0)、(0,0,0;0,0,0;−1,1,0)、

(0,0,0;0,0,0;−1,0,1)、(0,0,0;0,0,0;1,0,−1)、

(0,0,0;0,0,0;0,1,−1)、(0,0,0;0,0,0;0,−1,1)、

プラス 27 通りの組み合わせすべてプラス 27 通りの組み合わせすべて${\displaystyle (\mathbf {3} ;\mathbf {3} ;\mathbf {3} )}$${\displaystyle \mathbf {3} }$${\displaystyle \left({\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}}\right),\ \left(-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}}\right),\ \left(-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),}$${\displaystyle ({\bar {\mathbf {3} }};{\bar {\mathbf {3} }};{\bar {\mathbf {3} }})}$${\displaystyle {\bar {\mathbf {3} }}}$${\displaystyle \left(-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right),\ \left({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}}\right),\ \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}}\right).}$

単純なルート

_{E 6}の単純なルートの 1 つの選択肢は次のとおりです。

(0,0,0;0,0,0;0,1,−1)

(0,0,0;0,0,0;1,−1,0)

(0,0,0;0,1,−1;0,0,0)

(0,0,0;1,−1,0;0,0,0)

(0,1,−1;0,0,0;0,0,0)

${\displaystyle \left({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)}$

E _{6 は}、3 つの座標の一貫したセットが等しい (たとえば、最初または最後) E ₈のサブセットです。これにより、E ₇と E ₆を次のように明示的に定義できます。

E ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z + ⁠1/2⁠ ) ⁷  : Σ α _i ² + α ₁ ² = 2, Σ α _i + α ₁ ∈ 2 Z },

E ₆ = { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z + ⁠1/2⁠ ) ⁶  : Σ α _i ² + 2 α ₁ ² = 2, Σ α _i + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

次の 72 個の E _{6根は、分割された実}偶数 E ₈根からこの方法で導出されます。最後の 3 つの次元が要求どおりであることに注意してください。

_E6 ×SU(3)をE8のサブグループとして考えるときに便利なルートシステムの別の（6次元）記述は_次のようになります。

すべての順列 ${\displaystyle 4\times {\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0,0,0)}$最後のエントリのゼロを保持し、

そして、プラス記号の数が奇数である以下のすべてのルート

${\displaystyle \left(\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {{\sqrt {3}} \over 2}\right).}$

したがって、78 個の生成子は次の部分代数で構成されます。

上記の生成子に加えて、最初の5つのエントリに対応する5つのカルタン生成子を含む45次元SO(10)部分代数。${\displaystyle 4\times {\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}}$

のワイル スピノルとその複素共役として変換される 2 つの 16 次元部分代数。これらの最後のエントリはゼロではありません。${\displaystyle \operatorname {spin} (10)}$

1 ジェネレータはキラリティージェネレータであり、6 番目のカルタンジェネレータです。

E _6の単純根の1つの選択肢は、次の行列の行によって与えられ、次の順序でインデックス付けされる。:

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&-1&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\0&0&0&1&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$

_E6のワイル群は51840の位数である。これは位数25920の唯一の単純群の自己同型群である（これは_PSU4（2）、PSΩ6− _（²）、PSp4 _（ 3）、PSΩ5 _（ 3）のいずれかで記述できる）。^[4]

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

リー代数 E ₆には、外部自己同型の固定された部分代数である F ₄部分代数と、SU(3) × SU(3) × SU(3) 部分代数があります。物理学で重要であり (下記参照)、ディンキン図から読み取ることができる他の最大部分代数は、SO(10) × U(1) と SU(6) × SU(2) の代数です。

78 次元の随伴表現に加えて、 2 つの27 次元の「ベクトル」表現が2 つあります。

実リー代数と複素リー群の有限次元表現の指標はすべてワイル指標公式によって与えられる。最小の既約表現の次元は（OEISのシーケンスA121737）である。

1、27（2回）、78、351（4回）、650、1728（2回）、2430、2925、3003 （2回）、5824（2回）、 7371（2回）、7722（2回）、 17550 （2回）、19305 （4回）、34398（2回）、34749、43758、46332 （ 2回）、51975（2回）、54054（2回）、61425（2回）、70070、78975 （2回）、85293、100386（2回）、105600、 112320 (2回)、146432 (2回) 、252252 (2回)、314496 (2回)、359424 (4回)、371800 (2回)、386100 (2回)、393822 (2回)、412776 (2回)、442442 (2回) ...

_{上記のシーケンスの下線付きの項は、 E 6}の随伴形式が持つ既約表現の次元（つまり、重みが E ₆のルート格子に属するもの）ですが、完全なシーケンスは E ₆の単連結形式の既約表現の次元を示します。

_{E 6}の Dynkin 図の対称性は、多くの次元が 2 回出現する理由を説明しています。対応する表現は、非自明な外部自己同型によって関連付けられています。ただし、次元 351 の 4 つのように、これよりも多くの表現が存在する場合もあります。そのうち 2 つは基本表現で、残りの 2 つは基本表現ではありません。

基本表現の次元は 27、351、2925、351、27、78 です (上記のカルタン行列に選択された順序で Dynkin 図の 6 つのノードに対応します。つまり、ノードは最初に 5 ノード チェーンで読み取られ、最後のノードは中央のノードに接続されます)。

_{E 6}の最大サブグループの 78 次元までの埋め込みが右側に表示されます。

E ₆多面体は_{E 6}の根の凸包です。したがって、6 次元で存在します。その対称群には、指数2 のサブグループとしてE _6のCoxeter 群が含まれます。

任意の体（特に有限体）上のE6型の群は_、ディクソン（1901、1908）によって導入されました。

（分割）代数群 E ₆（上記参照）のq個の元を持つ有限体上の点は、随伴（中心なし）形式であろうと単連結形式（代数的普遍被覆）であろうと、有限シュヴァレー群を与える。これは E ₆ ( q )と書かれた群と密接に関連しているが、この表記には曖昧さがあり、いくつかのことを意味する可能性がある。

• _{E 6}の単連結形式のF _q上の点からなる有限群（明確にするために、これは E _6,sc ( q ) と書かれることもあるが、まれにE _6型のF _q上の「普遍」シュヴァレー群として知られる）、${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}(q)}$
• _{（まれに）E 6}の随伴形式のF _q上の点からなる有限群（明確にするために、これは E _6,ad ( q )と書かれ、 F _q上のE ₆型の「随伴」シュバレー群として知られている）、または
• 前者から後者への自然写像の像である有限群：これは、有限群を扱うテキストで最も一般的に使用されるように、以下ではE ₆ ( q )で示されるものである。

有限群の観点から見ると、これら 3 つの群の関係は、 SL( n,q )、 PGL( n,q )、 PSL( n,q ) の関係と非常によく似ており、次のようにまとめることができます。 E ₆ ( q ) は任意のqに対して単純であり、 E _6,sc ( q ) はそのSchur 被覆であり、 E _6,ad ( q ) はその自己同型群に含まれます。 さらに、q −1 が 3 で割り切れない場合、3 つすべてが一致し、そうでない場合 ( q が1 mod 3 に合同である場合)、 E ₆ ( q )の Schur 乗数は3 であり、 E ₆ ( q ) は E _6,ad ( q )でインデックス 3 になります。これが、 E _6,sc ( q ) と E _6,ad ( q ) が 3·E ₆ ( q ) と E ₆ ( q )·3 と記述されることが多い理由です。代数群の観点から見ると、E ₆ ( q ) が有限単純群を指すことはあまり一般的ではない。なぜなら、後者は、 E _6,sc ( q ) や E _6,ad ( q ) とは異なり、自然な形でF _q上の代数群の点の集合ではないからである。

_{E 6}のこの「分割された」（または「ねじれのない」）形式のほかに、有限体F _{q上の E 6の別の形式も}² E ₆として存在し、これは E ₆の Dynkin 図の非自明な自己同型によるねじれによって得られます。具体的には、スタインバーグ群として知られる² E ₆ ( q ) は、F _{q ²}の非自明な図の自己同型と非自明な体自己同型の合成によって固定されたE ₆ ( q ^{2 ) の部分群として見ることができます。ねじれによって2} E _{6,adの代数的基本群が}Z /3 Zであるという事実は変わりませんが、 ² E _6,adの² E _6,scによる被覆がF _q点上で非自明であるq は変わります。正確には、² E _6,sc ( q ) は² E ₆ ( q )の被覆であり、² E _6,ad ( q ) はその自己同型群に属します。q +1 が 3 で割り切れない場合、3 つすべてが一致し、そうでない場合 (q が 3 を法として 2 に合同である場合) 、 2 E 6,sc ( q ) の 2 E 6 ( q ) 上の次数は³で_あり、2 ^E 6 ₍ q )は2 ^E 6 _, ad ( ^q )_において指数3です。これが、² E _6,sc ( q ) と² E _6,ad ( q ) が 3· ² E ₆ ( q ) および² E ₆ ( q )·3と記述されることが多い理由です。

² E ₆ ( q )群に関して、表記法に関する問題が 2 つあります。1 つは、これが² E ₆ ( q ² ) と書かれることがある点です。この表記法には、鈴木群やレー群への転置が容易であるという利点がありますが、代数群のF _q点の表記法から外れるという欠点があります。もう 1 つは、² E _6,sc ( q ) と² E _6,ad ( q ) が代数群のF _q点であるのに対し、問題の群もqに依存している点です (たとえば、同じ群のF _{q ²}上の点は、ねじれのない E _6,sc ( q ² ) と E _6,ad ( q ² ) です)。

群 E ₆ ( q ) と² E ₆ ( q ) は任意のqに対して単純であり、^{[5] [6]}有限単純群の分類における無限族のうちの2つを構成する。それらの順序は次の式で与えられる（OEISのシーケンスA008872）。

${\displaystyle |E_{6}(q)|={\frac {1}{\mathrm {gcd} (3,q-1)}}q^{36}(q^{12}-1)(q^{9}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{5}-1)(q^{2}-1)}$

${\displaystyle |{}^{2}\!E_{6}(q)|={\frac {1}{\mathrm {gcd} (3,q+1)}}q^{36}(q^{12}-1)(q^{9}+1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{5}+1)(q^{2}-1)}$

( OEISのシーケンスA008916 )。 E _6,sc ( q ) または E _6,ad ( q ) (両方とも等しい)の順序は、最初の式 ( OEISのシーケンスA008871 ) から除算係数 gcd(3, q −1) を除去することによって取得でき、 ² E _6,sc ( q ) または² E _6,ad ( q ) (両方とも等しい)の順序は、 2番目の式 ( OEISのシーケンスA008915 ) から除算係数 gcd(3, q +1) を除去することによって取得できます。

E ₆ ( q ) の Schur 乗数は常に gcd(3, q −1) です (つまり、 E _6,sc ( q ) はその Schur 被覆です)。² E ₆ ( q ) の Schur 乗数は、例外的な場合 q =2 の場合を除き、gcd(3, q +1) です (つまり、² E _6,sc ( q ) はその Schur 被覆です)。例外的な場合q =2 の場合は 2 ² ·3 です (つまり、追加の 2 ^{2 -重被覆があります)。 E} ₆ ( q )の外部自己同型群は、対角自己同型群Z /gcd(3, q −1) Z (E _6,ad ( q ) の作用によって与えられる)、図式自己同型の群Z /2 Z 、および体自己同型の群 (つまり、 q = p ^fでpが素数の場合、順序fの巡回) の積です。² E ₆ ( q )の外部自己同型群は、対角自己同型群Z /gcd(3, q +1) Z ( ² E _6,ad ( q )の作用によって与えられる) と体自己同型群 (すなわち、 pが素数であるq = p ^fの場合、順序fの巡回群) との積である。

5次元のN = 8超重力11次元超重力からの次元縮小であり、E ₆ボゾンのグローバル対称性とSp(8)ボゾンローカル対称性Sp(8)の表現でE ₆の表現で、スカラーは両方の表現です（重力子は両方に関してシングルE ₆ /Sp(8)。

大統一理論では、E _{6 は}可能なゲージ群として現れ、それが破れた後、標準モデルのSU(3) × SU(2) × U(1) ゲージ群を生じます。これを達成する方法の 1 つは、 SO(10) × U(1)への破れです。前述のように、随伴78表現は、随伴45、スピノル16および16 、およびSO(10)部分代数のシングルトに破れます。U (1)電荷 を含めると、

${\displaystyle 78\rightarrow 45_{0}\oplus 16_{-3}\oplus {\overline {16}}_{3}+1_{0}.}$

ここで下付き文字はU(1)電荷を表します。

同様に、基本表現27とその共役表現27は、スカラー1、ベクトル10、スピノル16または16に分解されます。

${\displaystyle 27\rightarrow 1_{4}\oplus 10_{-2}\oplus 16_{1},}$

${\displaystyle {\bar {27}}\rightarrow 1_{-4}\oplus 10_{2}\oplus {\overline {16}}_{-1}.}$

このようにして、標準モデルの基本的なフェルミ粒子とヒッグス粒子を得ることができます。

• En (リー代数)
• ADE分類
• フロイデンタールの魔方陣

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