嘘グループの行動

微分幾何学において、リー群作用とは、滑らかな設定に適合した群作用のことである。${\displaystyle G}$嘘のグループです、${\displaystyle M}$は滑らかな多様体であり、作用写像は微分可能である。

させて${\displaystyle \sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x}$嘘のグループの（左）グループアクションである${\displaystyle G}$滑らかなマニホールド上${\displaystyle M}$;写像がリー群作用（または滑らかな作用）である場合、それはリー群作用と呼ばれます${\displaystyle \sigma }$微分可能である。同様に、リー群作用は${\displaystyle G}$の上${\displaystyle M}$リー群準同型から構成される${\displaystyle G\to \mathrm {Diff} (M)}$リー群作用を備えた滑らかな多様体は、${\displaystyle G}$-多様体。

嘘のグループごとに${\displaystyle G}$以下は、Lieグループの行動です。

• 些細な行為${\displaystyle G}$任意の多様体上。
• の行動${\displaystyle G}$左乗算、右乗算、または共役による自身への乗算。
• 嘘のサブグループの行動${\displaystyle H\subseteq G}$の上${\displaystyle G}$左乗法、右乗法、または活用によって。

• の随伴作用${\displaystyle G}$そのリー代数について${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。

嘘つき集団の行動のその他の例としては、以下のようなものがある。

• の行動${\displaystyle \mathbb {R} }$の上${\displaystyle M}$任意の完全ベクトル場の流れによって与えられる。
• 一般線形群の作用${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$そしてそのリー部分群の${\displaystyle G\subseteq \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$の上$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$行列乗算によって；
• より一般的には、ベクトル空間上の任意のリー群表現。
• シンプレクティック多様体上の任意のハミルトン群作用。
• あらゆる均質な空間の根底にある推移的作用。
• より一般的には、あらゆる主要束の根底にあるグループアクション。

リー群とリー代数の対応関係の精神に倣い、リー群作用も無限小の観点から研究することができる。実際、任意のリー群作用は${\displaystyle \sigma :G\times M\to M}$無限小リー代数作用を誘導する${\displaystyle M}$すなわち、リー代数準同型写像$\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)}$直感的には、これはリー群準同型を恒等写像で微分することによって得られる。${\displaystyle G\to \mathrm {Diff} (M)}$、そしてベクトル場の集合を解釈する${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$（無限次元）リー群のリー代数として${\displaystyle \mathrm {Diff} (M)}$。

より正確には、${\displaystyle x\in M}$軌道マップ${\displaystyle \sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x}$微分可能であり、恒等関数における微分を計算することができる。${\displaystyle e\in G}$。 もし${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$すると、その画像が${\displaystyle \mathrm {d} _{e}\sigma _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to T_{x}M}$は接線ベクトルです${\displaystyle x}$、そして様々に${\displaystyle x}$ベクトル場は${\displaystyle M}$このベクトル場のマイナスは、${\displaystyle X^{\#}}$は、に関連付けられた基本ベクトル場とも呼ばれます。${\displaystyle X}$（マイナス記号は、${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M),X\mapsto X^{\#}}$はリー代数準同型写像である。

逆に、リー・パレの定理によれば、コンパクト多様体上の（有限次元）リー代数の任意の抽象的な無限小作用は、リー群作用に積分できる。^{[ 1 ]}

リー群作用の重要な（そして一般的な）クラスは、適切な作用である。実際、このような位相条件は、

• 安定装置${\displaystyle G_{x}\subseteq G}$コンパクト​
• 軌道${\displaystyle G\cdot x\subseteq M}$埋め込み部分多様体である
• 軌道空間${\displaystyle M/G}$ハウスドルフ

一般的に、嘘のグループ${\displaystyle G}$コンパクトで、どんな滑らかなものでも${\displaystyle G}$-作用は自動的に適切である。必ずしもコンパクトではないリー群による適切な作用の例は、リー部分群の作用によって与えられる。${\displaystyle H\subseteq G}$の上${\displaystyle G}$。

嘘のグループアクションが与えられた場合${\displaystyle G}$の上${\displaystyle M}$軌道空間${\displaystyle M/G}$一般には多様体構造を許容しない。しかし、作用が自由かつ適切であれば、${\displaystyle M/G}$独自の滑らかな構造を持つため、投影は${\displaystyle M\to M/G}$実際には、${\displaystyle M\to M/G}$校長先生です${\displaystyle G}$-バンドル)。^{[ 2 ]}

事実${\displaystyle M/G}$ハウスドルフであるかどうかは、作用の適切性のみに依存します（上記で説明したとおり）。主張の残りの部分は自由性を必要とし、スライス定理の結果です。「自由作用」条件（つまり「安定化子がゼロである」）を「安定化子が有限である」に緩和すると、${\displaystyle M/G}$代わりにオービフォールド（または商スタック）になります。

• ハミルトン群作用
• 同変微分形式
• 等方性表現

• ミシェル・オーディン著、『シンプレクティック多様体上のトーラス作用』、ビルクハウザー出版、2004年
• ジョン・リー著『滑らかな多様体入門』第9章、ISBN 978-1-4419-9981-8
• フランク・ワーナー著『微分多様体とリー群の基礎』第3章、ISBN 978-0-387-90894-6