指数写像（リー理論）

リー群の理論において、指数写像はリー代数からの写像である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$嘘のグループ${\displaystyle G}$この群への変換により、リー代数から局所的な群構造を再現することが可能になる。指数写像の存在は、リー代数がリー群の研究に有用なツールである主な理由の一つである。

数学解析の通常の指数関数は、指数写像の特殊なケースです。${\displaystyle G}$は正の実数の乗法群（そのリー代数はすべての実数の加法群である）である。リー群の指数写像は、通常の指数関数と類似した多くの性質を満たすが、多くの重要な点で異なっている。

させて${\displaystyle G}$嘘のグループであり、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$そのリー代数（単位元への接空間と考える）${\displaystyle G}$指数マップはマップです

${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$

これは様々な方法で定義できる。現代における典型的な定義は以下の通りである。

定義：指数関数${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ は${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$どこ

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to G}$

は、の唯一の1 パラメータ部分群です。${\displaystyle G}$恒等点における接線ベクトルは${\displaystyle X}$。

連鎖律から容易に導かれるのは${\displaystyle \exp(tX)=\gamma (t)}$地図${\displaystyle \gamma }$群準同型${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$に${\displaystyle G}$は、右不変ベクトル場または左不変ベクトル場の積分曲線として構築される可能性がある。${\displaystyle X}$実数パラメータすべてに対して積分曲線が存在することは、解をゼロ付近で右または左に平行移動することによって導かれる。

行列リー群の場合、より具体的な定義が得られます。指数写像は行列指数と一致し、通常の級数展開で与えられます。

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots }$、

どこ${\displaystyle I}$は単位行列である。したがって、行列リー群の設定では、指数写像は行列指数をリー代数に制限したものである。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$の${\displaystyle G}$。

• 複素平面上の0を中心とする単位円はリー群（円群と呼ばれる）であり、その1における接空間は複素平面上の虚線と同一視できる。${\displaystyle \{it:t\in \mathbb {R} \}.}$このリー群の指数写像は次のように与えられる。

${\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t),\,}$

つまり、通常の複素指数関数と同じ式です。

• より一般的には、複素トーラスの場合^{[ 1 ]： 8}${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}/\Lambda }$ある整数格子に対して${\displaystyle \Lambda }$階級${\displaystyle n}$（したがって同型${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$トーラスにはユニバーサルカバーマップが付属しています

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {C} ^{n}\to X}

格子による商から。${\displaystyle X}$は局所的に同型である${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$複素多様体として、それを接空間と同一視することができる。${\displaystyle T_{0}X}$そして地図

${\displaystyle \pi :T_{0}X\to X}$

複素リー群の指数写像に対応する${\displaystyle X}$。

• 四元数では${\displaystyle \mathbb {H} }$単位長の四元数の集合はリー群（特殊ユニタリ群SU（2）と同型）を形成し、その1における接空間は純虚数四元数の空間と同一視できる。${\displaystyle \{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}.}$このリー群の指数写像は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {w}$ :=(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|\mathbf {w} |)1+\sin(|\mathbf {w} |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}.\,}

このマップは、純虚数四元数内の半径Rの 2 球面を${\displaystyle \{s\in S^{3}\subset \mathbf {H}$ :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}} 、半径の 2 次元球${\displaystyle \sin(R)}$（パウリベクトルの指数関数を参照）。これを上記の最初の例と比較してください。

• Vを有限次元実ベクトル空間とし、ベクトル加算演算の下でリー群とみなす。すると${\displaystyle \operatorname {Lie} (V)=V}$Vを0における接空間と同一視し、指数マップを用いることにより

${\displaystyle \operatorname {exp}$ :\operatorname {Lie} (V)=V\to V}

は恒等写像、つまり、${\displaystyle \exp(v)=v}$。

• 分割複素数平面において${\displaystyle z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,}$想像上の線${\displaystyle \lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$単位双曲線群のリー代数を形成する${\displaystyle \lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$指数写像は次のように与えられる

${\displaystyle \jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t.}$

嘘のグループが与えられた場合${\displaystyle G}$リー代数を用いて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$基礎の選択ごとに${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$単位要素付近の座標系を決定する${\displaystyle e}$のために${\displaystyle G}$以下のように。逆関数定理により、指数写像${\displaystyle \exp :N\xrightarrow {\sim } U}$ある近傍からの微分同相写像である${\displaystyle N\subset {\mathfrak {g}}\simeq \mathbb {R} ^{n}}$起源から近隣へ${\displaystyle U}$の${\displaystyle e\in G}$その逆： $${\displaystyle \log :U\xrightarrow {\sim } N\subset \mathbb {R} ^{n}}$$ 座標系は${\displaystyle U}$これは、対数座標、指数座標、正規座標など、さまざまな名称で呼ばれています。応用例については、閉部分群定理を参照してください。

備考：開いたカバー${\displaystyle \{Ug\mid g\in G\}}$実解析多様体の構造を与える${\displaystyle G}$グループ演算${\displaystyle (g,h)\mapsto gh^{-1}}$実解析的である。^{[ 10 ]}

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