閉部分群定理

数学において、閉部分群定理（カルタンの定理とも呼ばれる）は、リー群の理論における定理である。これは、 H がリー群Gの閉部分群である場合、H は埋め込みリー群であり、その滑らかな構造（したがって群の位相）は埋め込みと一致することを述べている。 ^{[1] [2] [3]}カルタンの定理 として知られるいくつかの結果の1つは、1930年にエリー・カルタン^[4]によって初めて発表された。カルタンは、 1929年にジョン・フォン・ノイマンが線型変換の群の特殊なケースを証明したことに触発された。^{[5] [6]}

G をリー代数を持つリー群とする。ここで、H をGの任意の閉部分群とする。 H がGの滑らかな埋め込み部分多様体であることを示す必要がある。最初のステップは、 Hのリー代数、つまり恒等関数におけるHの接空間を特定することである。課題は、Hが滑らかであるとは想定されていないため、その接空間をどのように定義するかが明確ではないことである。先に進むには、Hの「リー代数」を次の式で 定義する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{X\mid e^{tX}\in H,\,\,\forall t\in \mathbf {R} \right\}.}$$

が のリー部分代数であることを示すのは難しくありません。^[7]特に、は の部分空間であり、恒等関数におけるHの接空間であることが期待されます。ただし、このアイデアが機能するには、がHに関する興味深い情報を捉えられるほど大きくなければなりません。たとえば、H がGの大きな部分群であったが、ゼロであることが判明した場合、は役に立ちません。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

重要なステップは、実際にHの要素のうち恒等式に十分近い要素をすべて捉えていることを示すことです。つまり、次の重要な補題を証明する必要があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

これが確立されると、W上の指数座標、つまり各g ∈ W (必ずしもH内にあるとは限らない) をg = e ^X ( X = log( g )に対して) と書くことができる。これらの座標では、補題は、Xが に属する場合にX がH内の点に対応することを述べている。つまり、恒等関数付近の指数座標では、H はのように見える。は の部分空間にすぎないので、これは が、およびの条件でR ^k ⊂ R ⁿとまったく同じであることを意味する。したがって、 H ⊂ G が局所的にR ^k ⊂ R ⁿのように見える「スライス座標系」を示しており、これは埋め込み部分多様体の条件である。^[9]${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k=\dim({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle n=\dim({\mathfrak {g}})}$

ロスマンは、 Gの任意の部分群H (必ずしも閉じている必要はない)に対して、 Hのリー代数はのリー部分代数であることを示していることは注目に値する。^{[10]ロスマンは、} Hの単位元をリー群にする座標^{[11] を}H上に導入する。しかし、これらの座標から得られるH上の位相は部分集合位相ではないことに注意することが重要である。つまり、 Hの単位元はGの埋め込み部分多様体ではあるが、埋め込み部分多様体ではないということである。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

特に、Hが閉じていない場合、上記の補題は成立しません。

埋め込みリー部分群ではない部分群の例として、トーラスと「トーラスの無理数巻き」を考えてみましょう。 およびその無理数の部分群 を 考えます。すると、HはGにおいて稠密であり、したがって閉じていません。^[12]相対位相では、 Hの小さな開集合は、トーラスの表面上のほぼ平行な線分で無限に構成されます。これは、H が局所的にパス接続されていないことを意味します。群位相では、小さな開集合はトーラスの表面上の単一の線分であり、Hは局所的にパス接続されています。 $${\displaystyle G=\mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{pmatrix}}\right|\theta ,\phi \in \mathbf {R} \right\},}$$$${\displaystyle H=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\}{\text{リー代数の場合 }}{\mathfrak {h}}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}i\theta &0\\0&ia\theta \end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\},}$$

この例は、いくつかの群Hに対して、単位元の相対位相τ _r内の任意の小さな近傍Uにhの元の指数関数となる点を見つけることができるが、それらの点をUにとどまる経路で単位元に接続することはできないことを示している。^[13]群( H、τ _r )はリー群ではない。写像exp : h → ( H、τ _r )は解析的一対一であるが、その逆は連続ではない。つまり、U ⊂ hが小さな開区間− ε < θ < εに対応する場合、集合Vの出現により、log( V ) ⊂ Uとなる開区間V ⊂ ( H、τ _r )は存在しない。しかし、群位相τ _gでは、( H、τ _g )はリー群である。この位相では、注入ι  : ( H , τ _g ) → G は解析的注入的浸漬であるが、同相写像ではないので埋め込みではない。また、相対位相における恒等式の任意の小さな近傍にhの元の指数関数ではない点を見つけることができる群Hの例もある。^[14]閉部分群の場合、定理の以下の証明が示すように、これは当てはまらない。

定理の結論から、一部の著者は、線型リー群または行列リー群をGL( n , R )またはGL( n , C )の閉部分群として定義する ことを選択しました。^[15]この設定では、単位元に十分近い群のすべての要素がリー代数の元の指数関数であることが証明されます。^[8]（証明は、以下に示す閉部分群定理の証明と実質的に同じです。）すべての閉部分群はGL( n , C )の埋め込み部分多様体であることがわかります。 ^[16]

閉部分群定理により、仮説が大幅に簡素化され、同次空間のクラスが事前に拡張されました。すべての閉部分群は、同次空間を生み出します。

同様に、閉部分群定理は次の定理の仮説を単純化します。

X が推移的な群作用を持つ集合であり、点x ∈ Xの等方性群または安定化群が閉じたリー部分群である場合、 Xは作用が滑らかになる一意の滑らかな多様体構造を持ちます。

H ⊂ Gが閉じているために、つまり埋め込みリー群である ための十分な条件をいくつか以下に示します。

• すべての古典群はGL( F , n )で閉じています。ここで、Fは四元数R、C、またはHです。
• 局所的に閉じている部分群は閉じている。^{[17]部分群が局所的に閉じているとは、すべての点が}U ⊂ G内の近傍を持ち、 H ∩ UがU内で閉じている場合をいう。
• H = AB = { ab | a ∈ A , b ∈ B }（Aはコンパクト群、Bは閉集合）のとき、Hは閉じている。^[18]
• h ⊂ gがリー部分代数で、どのX ∈ g ∖ hに対しても[ X , h ] ∈ hが成り立たない場合、e ^hによって生成される群Γ( h )はGで閉じている。^[19]
• X∈gのとき、Xによって生成される1パラメータ部分群が閉じていないのは、XがC上で無理数比の2つの要素を持つ対角行列に相似である場合に限ります。^[20]
• h ⊂ g をリー部分代数とする。単連結コンパクト群kが存在し、kがhと同型である場合、 Γ( h ) はGで閉じている。^[21]
• Gが単連結でh⊂gがイデアルならば、リー代数hを持つ連結リー部分群は閉じている。^[22]

埋め込みリー部分群H ⊂ Gは閉じている^[23]ので、部分群が埋め込みリー部分群となるのは、それが閉じている場合に限ります。同様に、H が埋め込みリー部分群となるのは、その群位相がその相対位相に等しい場合に限ります^{[24] 。}

証明は、行列とその指数写像が一般の場合よりも簡単な概念であるため、具体性と相対的な単純さのために、G = GL( n , R )の行列群に対して与えられている。歴史的に、このケースは 1929 年にジョン・フォン・ノイマンによって最初に証明され、1930 年にカルタンが完全な閉部分群定理を証明するきっかけとなった。 ^{[5] [6]一般の}Gに対する証明は、^[25]リー代数の要素がG上の左不変ベクトル場であり、指数写像がベクトル場の1 時間フローであることを除いて、形式的には同一である。H ⊂ GでGがGL( n , R )で閉じている場合、HはGL( n , R )で閉じているため、任意のG ⊂ GL( n , R )ではなくGL( n , R )への特殊化はほとんど問題にならない。

まず、上記の「概要」セクションで述べた重要な補題を確立することから始めます。

gに内積（例えばヒルベルト・シュミット内積）を与え、h をHのリー代数としてh = { X ∈ M _n ( R ) = g | e ^tX ∈ H ∀ t ∈ R }と定義します。s = { S ∈ g | ( S , T ) = 0 ∀ T ∈ h } （ hの直交補集合）とします。するとg は直和g = s ⊕ hとして分解されるため、各X ∈ gはX = S + T（S ∈ s、T ∈ h ）として一意に表現されます。

( S , T ) ↦ e ^S e ^Tによる写像Φ : g → GL( n , R )を定義します。指数関数を展開し、 0でのプッシュフォワード または微分は、Φ _∗ ( S , T ) = ⁠$${\displaystyle \Phi (S,T)=e^{tS}e^{tT}=I+tS+tT+O(t^{2}),}$$d/dt⁠ Φ( tS , tT ) | _{t = 0は}S + T、つまりΦ _∗ = Id、つまり恒等関数であることが分かります。逆関数定理の仮定はΦ が解析的である場合に満たされ、したがってΦ がU _1からV ₁への実解析的全単射持つような0 ∈ U ₁およびI ∈ V ₁となる開集合U ₁ ⊂ g , V ₁ ⊂ GL( n , R )が存在することになります。残っているのは、定理の結論が成り立つように、 U ₁とV _{1 に}開集合UとVが含まれることを示すことです

0 ∈ gにおける可算 近傍基底 Β を、 B ₁ ⊂ U ₁で逆包含によって線形順序付けして考える。^[a]矛盾を得るために、すべてのiに対して、Φ( B _i ) ∩ Hには、 h _i = e ^{T _i} , T _i ∈ hという形式上にない元h i が含まれると仮定する_。すると、Φ はB _i上の全単射なので、 0 ≠ S _i ∈ sかつT _i ∈ hである一意のシーケンス X i = S i + T i が存在し、Β_は近傍基底_でe S _i e T ^{i ₌} h ^i_であるため_、 X i ∈ _B iは₀に収束する。 e ^{T _i} ∈ Hかつh _i ∈ Hなので、e ^{S _i} ∈ Hでもある。

s内のシーケンスを正規化すると、Y _i = ⁠S _i/||シ||_​⁠ 。これはsの単位球面上で値を取り、コンパクトであるため、 Y ∈ sに収束する収束部分列が存在する。 ^[26]添え字i は、これ以降この部分列を指す。 e ^tY ∈ H、 ∀ t ∈ Rであることが示される。 t を固定し、 i → ∞のときにm _i || S _i || → tとなるような整数列m _iを選択する。たとえば、 S i → 0のときに、 m _i || S _i || ≤ t ≤ ( m _i + 1) || _S i _||となるm _iであればよい。すると $${\displaystyle (e^{S_{i}})^{m_{i}}=e^{m_{i}S_{i}}=e^{m_{i}\|S_{i}\|Y_{i}}\rightarrow e^{tY}.}$$

Hは群なので、左辺はすべてのiに対してHに含まれる。H は閉じているので、 e tY ∈ H , ∀ ^t、[ 27 ]よって^Y ∈ h。これは矛盾である。よって、あるiに対して、集合U = Β _iおよびV = Φ(Β _i )はe ^{U ∩ h} = H ∩ Vを満たし、開集合( U ∩ h ) ⊂ hに制限された指数関数は開集合Φ( U ) ∩ H ⊂ Hと解析的一対一である。これにより補題が証明される。

j ≥ iに対して、 ΦによるB _jのHの像はIにおける近傍基底を形成します。これは、その構築方法により、群位相と相対位相の両方における近傍基底です。Gにおける乗算は解析的であるため、群元g ∈ Gによるこの近傍基底の左および右変換は、 gにおける近傍基底を与えます。 Hに制限されたこれらの基底は、すべてのh ∈ Hにおける近傍基底を与えます。これらの基底によって生成される位相は相対位相です。結論として、相対位相は群位相と同じになります。

次に、 H上の座標チャートを構築します。まずφ ₁  : e ^{( U )} ⊂ G → g , g ↦ log( g )を定義します。これは解析的逆を持つ解析的一対一です。さらに、h ∈ Hであれば、φ ₁ ( h ) ∈ hです。 g = h ⊕ sの基底を固定し、g をR ⁿと同一視すると、これらの座標ではφ ₁ ( h ) = ( x ₁ ( h ), ..., x _m ( h ), 0, ..., 0)となります。ここで、m はhの次元です。これは、( e ^U , φ ₁ )がスライスチャートであることを示しています。上で使用した可算近傍基底から得られたチャートを変換すると、 Hのすべての点の周りのスライスチャートが得られます。これは、 HがGの埋め込み部分多様体であることを示しています。

さらに、 Hにおける乗算mと反転i は解析的である。なぜなら、これらの演算はGにおいて解析的であり、相対位相を持つ部分多様体（埋め込みまたははめ込み）への制限により、再び解析的演算m  : H × H → Gとi  : H × H → Gが得られるからである。^[28]しかし、H は埋め込まれているので、m  : H × H → Hとi  : H × H → Hも解析的である。^[29]

• 逆関数定理
• 嘘の通信