完全に孤立したグループ

数学において、完全に不連続な群とは、完全に不連続な位相群である。このような位相群は必ずハウスドルフ群である。

関心は局所コンパクト全不連続群（ td型群^[1] 、局所プロ有限群^[2]、またはtd群^[3]などとも呼ばれる）に集中している。コンパクトなケース（プロ有限群）は盛んに研究されてきたが、一般の場合について長い間ほとんどわかっていなかった。 1930年代のvan Dantzigの定理^[4]は、そのような群はすべてコンパクトな開 部分群を含むと述べているが、それ以外はわかっていなかった。その後、 1994年のGeorge Willisによる画期的な研究 により、すべての局所コンパクト全不連続群はいわゆる整った部分群とその自己同型上の特殊関数であるスケール関数を含み、局所構造の定量化可能なパラメータを与えることが示され、この分野が開拓された。全不連続群の大域的構造に関する進歩は、2011年にCapraceとMonodによって達成され、特に特徴的単純群とノイザン群の分類が発表された。

局所コンパクトで完全に不連続な群では、単位元群のすべての近傍にコンパクトな開部分群が含まれる。逆に、単位元群の近傍基数がコンパクトな開部分群で構成されるような群は、局所コンパクトで完全に不連続である。^[2]

G を局所コンパクトで完全に不連続な群とし、U をGのコンパクトな開部分群およびGの連続自己同型とします。 ${\displaystyle \alpha}$

定義する：

${\displaystyle U_{+}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U)}$

${\displaystyle U_{-}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U)}$

${\displaystyle U_{++}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U_{+})}$

${\displaystyle U_{--}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U_{-})}$

U がに対して整然としたものであるのは、およびが閉じている場合に限ります。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle U=U_{+}U_{-}=U_{-}U_{+}}$${\displaystyle U_{++}}$${\displaystyle U_{--}}$

におけるのインデックスは有限であり、に対して整然としたUとは独立であることが示されています。スケール関数をこのインデックスとして定義します。内部自己同型への制限により、興味深い特性を持つG上の関数が得られます。特に、次のようになります。G上の 関数を で 定義します。ここで はG上の の内部自己同型です。 ${\displaystyle \alpha (U_{+})}$${\displaystyle U_{+}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle s(\alpha )}$
${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x):=s(\alpha _{x})}$${\displaystyle \alpha_{x}}$${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle s}$連続的です。
• ${\displaystyle s(x)=1}$Gの x がコンパクト元である場合は常にこのようになります。
• ${\displaystyle s(x^{n})=s(x)^{n}}$すべての非負の整数に対して。${\displaystyle n}$
• G上のモジュラー関数は で与えられます。${\displaystyle \Delta (x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}}$

スケール関数は、ホフマンとムケルジャの予想を証明するために使用され、ヘルゲ・グロックナーによって局所歪体上の p 進 リー群と線型群に対して明示的に計算されました。

• David van Dantzig (1936)、「Zur topologischen Algebra. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen」、Compositio Mathematica、3 : 408–426
• ボレル、アルマンド、ウォラック、ノーラン（2000）、連続コホモロジー、離散部分群、および簡約群の表現、数学サーベイおよびモノグラフ、第67巻（第2版）、プロビデンス、ロードアイランド：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0851-1、MR  1721403
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• GA ウィリス - 完全に分離した局所コンパクト群の構造、Mathematische Annalen 300、341-363 (1994)