共形群

数学において、内積空間の共形群とは、角度を保存する空間からその空間自体への変換の群です。より正式には、空間の 共形幾何学を保存する変換の群です。

いくつかの特定の共形グループは特に重要です:

• 共形直交群。Vが2次形式 Qを持つベクトル空間である場合、共形直交群CO( V , Q )は、 Vの線型変換Tの群であり、 Vのすべてのxに対してスカラーλが存在する。

  ${\displaystyle Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)}$

定積二次形式の場合、共形直交群は直交群と拡大群の積に等しくなります。

• 球面の共形群は円の反転によって生成されます。この群はメビウス群としても知られています。
• ユークリッド空間 E ⁿ（n > 2 ）では、共形群は超球面の反転によって生成される。
• 擬ユークリッド空間 Ep ^{, q}において、共形群はConf( p , q )≃O( p +1, q +1)/Z2_で^ある。^[1]

すべての共形群はリー群です。

ユークリッド幾何学では、標準的な円角が特徴的であると予想できますが、擬似ユークリッド空間には双曲角もあります。特殊相対性理論の研究では、静止フレームに対するさまざまな速度の参照フレームは、ラピディティ、つまり双曲角によって関連付けられます。ローレンツブーストを記述する 1 つの方法は、ラピディティ間の微分角を保存する双曲回転として記述することです。したがって、それらは双曲角に関する 共形変換です。

適切な共形群を生成する方法は、通常の複素平面の共形群としてメビウス群のステップを模倣することです。擬ユークリッド幾何学は、点が分割複素数または双対数である代替複素平面によってサポートされています。メビウス群が完全に記述するためにリーマン球面、つまりコンパクトな空間を必要とするのと同様に、代替複素平面は、共形写像を完全に記述するためにコンパクト化を必要とします。それでも、それぞれの場合の共形群は、適切な平面上の線形分数変換によって与えられます。 ^[2]

共形クラスを持つ(擬似)リーマン多様体 が与えられた場合、共形群はから自身へ の共形写像の群です。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [g]}$ ${\displaystyle {\text{Conf}}(M)}$${\displaystyle M}$

より具体的には、これは から 自体への角度保存の滑らかな写像の群です。ただし、 のシグネチャが明確でない場合、「角度」は潜在的に無限である 超角度です。${\displaystyle M}$${\displaystyle [g]}$

擬ユークリッド空間の場合、定義は若干異なります。^{[3] は} 、擬ユークリッド空間 の共形コンパクト化から生じる多様体の共形群です(正規直交基底を選択した後でと同一視されることもあります)。この共形コンパクト化は を使って定義でき、を の包含(ここでは は単一の時空ベクトルとみなされます)によってのヌル点の部分多様体とみなすことができます。すると、共形コンパクト化は となり、「対蹠点」が同一視されます。これは、空間 を射影化することで行われます。が共形コンパクト化である場合、 となります。特に、この群には の反転が含まれますが、これは から 自身への写像ではなく、原点を無限大に写像し、無限大を原点に写像します。 ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{p,q}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$${\displaystyle S^{p}\times S^{q}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1,q+1}}$${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\mapsto X=(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{p}\times S^{q}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1,q+1}}$${\displaystyle N^{p,q}}$${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q):={\text{Conf}}(N^{p,q})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

擬ユークリッド空間 では、共形群のリー代数は、次の交換関係を持つ基底によって与えられます。 ^[4] そして他の括弧はすべて消えます。これがミンコフスキー計量です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$${\displaystyle \{M_{\mu \nu },P_{\mu },K_{\mu },D\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

実際、このリー代数は、空間次元と時間次元がそれぞれ 1 つ多いローレンツ群のリー代数と同型です。つまり、 です。次元が一致することは簡単に確認できます。明示的な同型性を示すには、 を定義します。すると、 を持つ生成元が、 計量を持つローレンツ代数関係に従うこと が示されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {conf}}(p,q)\cong {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&J_{\mu \nu }=M_{\mu \nu }\,,\\&J_{-1,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }-K_{\mu })\,,\\&J_{0,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }+K_{\mu })\,,\\&J_{-1,0}=D.\end{aligned}}}$$${\displaystyle J_{ab}}$${\displaystyle a,b=-1,0,\cdots ,n=p+q}$${\displaystyle {\tilde {\eta }}_{ab}=\operatorname {diag} (-1,+1,-1,\cdots ,-1,+1,\cdots ,+1)}$

2 次元ユークリッド空間または 1 プラス 1 次元時空の場合、共形対称性の空間ははるかに大きくなります。物理学では、共形群は無限次元であると言われることがありますが、これは正確ではありません。局所対称性のリー代数は無限次元ですが、これらは必ずしも明確に定義されたグローバル対称性のリー群に拡張されるわけではないためです。

時空次元 の場合、局所共形対称性はすべてグローバル対称性に拡張されます。ユークリッド空間の場合、複素座標に変更した後、局所共形対称性は、形式のベクトル場の無限次元空間によって記述されます 。 したがって、2d ユークリッド空間の局所共形対称性は、無限次元ウィット代数です。 ${\displaystyle n>2}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle z=x+iy}$$${\displaystyle l_{n}=-z^{n+1}\partial _{z}.}$$

1908年、リバプール大学の2人の若い研究者、ハリー・ベイトマンとエベネザー・カニンガムは、時空の共形群のアイデアを提唱した^{[5] [6] [7]} 彼らは、運動群は時空の2次形式を保存するので必然的に共形であり、等方的な2次形式に関してではあるが直交変換に似ていると主張した。電磁場の自由度は運動学的な動きに限定されず、むしろ2次形式を保存する変換に局所的に比例することのみが要求される。ハリー・ベイトマンの1910年の論文は、光円錐を保存する変換のヤコビ行列を研究し、それが共形特性（形状保存に比例）を持つことを示した。^{[8]ベイトマンとカニンガムは、この共形群が「}マクスウェル方程式を構造的に不変にする変換の最大のグループ」であることを示した。^[9]時空の共形群はC(1,3)と表記される^[10]

アイザック・ヤグロムは、分割複素数と双対数における時空共形変換の数学に貢献した。^[11]分割複素数と双対数は体ではなく環を形成するため、線型分数変換では環上の射影直線が全単射となることが必要である。

1914 年のLudwik Silbersteinの研究以来、ローレンツ群を表すのに四元数の環を使用するのが伝統的である。時空共形群の場合、その環上の射影直線上の線形分数変換を考慮するだけで十分である。時空共形群の要素は、Bateman によって球面波変換と呼ばれた。時空二次形式の研究の詳細は、リー球面幾何学に吸収された。

物理科学における継続的な関心について、AO Barutは1985年に次のように書いている。「共形群への関心が高まっている主な理由の1つは、それがおそらくポアンカレ群を含む大きな群の中で最も重要な群だからである。」^[12]

• 等角地図
• 等角対称性

ウィキブックの連想合成代数には、共形時空変換に関するページがあります。

• 小林 誠 (1972)。『微分幾何学における変換群』。数学の古典。シュプリンガー。ISBN 3-540-58659-8. OCLC  31374337。
• Sharpe、RW (1997)、Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program、Springer-Verlag、ニューヨーク、ISBN 0-387-94732-9。
• ピーター・シャーク（1960）「共形幾何学のいくつかの概念」アメリカ数学月刊誌67（1）：1−30 doi：10.2307/2308920
• Martin Schottenloher、「共形群」、共形場理論への数学的入門、第 2 章、2008 年 (pdf)
• nLabの共形グループ