特殊機能

確立された国際表記を持つ関数は、サイン（${\displaystyle \sin }$)、コサイン(${\displaystyle \cos }$）、指数関数（${\displaystyle \exp }$）、および誤差関数（${\displaystyle \operatorname {erf} }$または${\displaystyle \operatorname {erfc} }$)

特殊な関数には、いくつかの表記法があります。

• 自然対数は次のように表すことができます。${\displaystyle \ln }$、${\displaystyle \log }$、${\displaystyle \log _{e}}$、 または${\displaystyle \operatorname {Log} }$状況によります。
• 正接関数は次のように表すことができます。${\displaystyle \tan }$、${\displaystyle \operatorname {Tan} }$、 または${\displaystyle \operatorname {tg} }$（いくつかのヨーロッパ言語で使用されている。）
• 逆正接は次のように表される${\displaystyle \arctan }$、${\displaystyle \operatorname {atan} }$、${\displaystyle \operatorname {arctg} }$、 または${\displaystyle \tan ^{-1}}$。
• ベッセル関数は次のように表すことができます。
  • ${\displaystyle J_{n}(x),}$
  • ${\displaystyle \operatorname {besselj} (n,x),}$
  • ${\displaystyle {\rm {BesselJ}}[n,x].}$

添え字は、引数（通常は整数）を示すためによく用いられます。まれに、セミコロン（;）やバックスラッシュ（\）が引数の区切り文字として使われることもあります。これは、アルゴリズム言語への変換を混乱させる可能性があります。

上付き文字は、べき乗（指数）だけでなく、関数の他の修飾も示す場合があります。例（特に三角関数と双曲線関数の場合）は次のとおりです。

• ${\displaystyle \cos ^{3}(x)}$通常は${\displaystyle (\cos(x))^{3}}$
• ${\displaystyle \cos ^{2}(x)}$通常は${\displaystyle (\cos(x))^{2}}$しかし決して${\displaystyle \cos(\cos(x))}$
• ${\displaystyle \cos ^{-1}(x)}$通常は${\displaystyle \arccos(x)}$、 ない${\displaystyle (\cos(x))^{-1}}$これは混乱を招く可能性があります。なぜなら、この上付き文字の意味は他の上付き文字の意味と矛盾するからです。

ほとんどの特殊関数は複素変数の関数として考えられます。これらは解析的であり、特異点や切断点が記述され、微分および積分表現が既知であり、テイラー級数や漸近級数への展開が可能です。さらに、他の特殊関数との関係が存在する場合もあり、複雑な特殊関数をより単純な関数で表現できることがあります。評価にはさまざまな表現が使用できますが、関数を評価する最も簡単な方法は、テイラー級数に展開することです。ただし、このような表現は収束が遅い場合や、全く収束しない場合があります。アルゴリズム言語では、通常、有理近似が使用されますが、複素引数の場合にはうまく機能しない可能性があります。

三角関数と指数関数は18世紀までに体系化され統一されたが、特殊関数の完全かつ統一的な理論の探求は19世紀以降も続いている。1800年から1900年にかけての特殊関数理論の頂点は楕円関数の理論であり、 TanneryとMolkの著作^{[ 3 ]}のように、実質的に完全な論文では、解析関数理論（複素解析に基づく）の手法を用いて、この理論の基本的な恒等式をすべて詳述した。世紀末には、球面調和関数についても非常に詳細な議論がなされた。

純粋数学者は、既知の特殊関数を可能な限り多く単一の原理から導出する包括的な理論を追求したが、長い間、特殊関数は応用数学の領域であった。物理科学や工学への応用が、関数の相対的な重要性を決定づけた。電子計算機が登場する以前は、特殊関数の重要性は、おなじみの対数表のように、すぐに参照できる拡張された値の表を苦労して計算することによって確認されていた。（バベッジの差分機関は、そのような表を計算しようとする試みであった。）この目的のために、主な手法は以下のとおりである。

• 数値解析、すなわち、高速計算を可能にする無限級数またはその他の解析的表現の発見。
• 可能な限り多くの関数を、与えられた関数に還元する。

より理論的な問題としては、漸近解析、複素平面における解析接続とモノドロミー、対称性の原理、その他の構造方程式などが挙げられる。

20世紀には、特殊関数理論への関心が何度か高まりました。古典的なWhittakerとWatsonの教科書（1902年）^{[ 4 ]}は、複素解析を用いて理論を統一しようと試みました。GN Watsonの著書『A Treatise on the Theory of Bessel Functions』は、漸近結果を含む重要なタイプの関数について、可能な限り技術を推し進めました。

後にアーサー・エルデリーの編集のもとで行われたベイトマン原稿プロジェクトは、百科事典的な内容を目指したもので、電子計算が主流になり始め、表作成が主要な課題ではなくなった時期に実施された。

直交多項式の現代理論は、明確ではあるが限定された範囲を持つ。フェリックス・クラインが天文学と数理物理学において重要であると指摘した超幾何級数^{[ 5 ]}は、後に概念的な整理を必要とする複雑な理論となった。リー群表現は球面関数の直接的な一般化を与え、1950年以降、古典理論の相当部分がリー群の観点から再構築された。さらに、代数的組み合わせ論の研究も、この理論の古い部分への関心を再び高めた。イアン・G・マクドナルドの予想は、特殊関数の風味を持つ大規模で活発な新しい分野を開拓するのに役立った。差分方程式は、特殊関数の源として微分方程式と並んでその地位を占めるようになった。

• アンドリュース、ジョージ・E.、アスキー、リチャード、ロイ、ランジャン（1999）。特殊関数。数学とその応用百科事典。第71巻。ケンブリッジ大学 出版局。ISBN 978-0-521-62321-6MR 1688958 .​ 
• Terras, Audrey (2016).対称空間上の調和解析―高階空間、正定値行列空間および一般化 （第2 版）. Springer Nature . ISBN 978-1-4939-3406-5. MR 3496932 . 
• ウィテカー、ET; ワトソン、GN (1996年9月13日).現代解析学講座. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-58807-2。
• NN レベデフ（リチャード A. スリバーマン訳・編集）：特殊関数とその応用、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-60624-8（1972年）。# 原著はプレンティス・ホール社より1965年に出版。
• Nico M. Temme:特殊関数: 数理物理学の古典関数入門、Wiley-Interscience、ISBN 978-0-471-11313-1 (1996)。
• Yury A. Brychkov:特殊関数ハンドブック：微分、積分、級数、その他の公式、CRC Press、ISBN 978-1-58488-956-4 (2008)。
• WW Bell:特殊機能 : 科学者と技術者向け、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-43521-3 (2004)。
• Claude Brezinski および Michela Redivo-Zaglia:直交多項式の誕生と初期の発展: 年代順の歴史、SIAM、ISBN 978-1-61197-850-6 (2025)。

• Shanjie Zhang および Jian-Ming Jin: Computation of Special Functions、Wiley-Interscience、ISBN 978-0-471-11963-0 (1996)。
• William J. Thompson: Atlas for Computing Mathematical Functions: An Illustrated Guide for Practitioners; With Programs in C and Mathematica、Wiley-Interscience、ISBN 978-0-471-00260-4 (1997年3月)。
• William J. Thompson: Atlas for Computing Mathematical Functions: An illustrated Guide for Practitioners; With Programs in Fortran 90 and Mathematica、Wiley-Interscience、ISBN 978-0-471-18171-2 (1997年6月)。
• Amparo Gil、Javier Segura、Nico M. Temme: Numerical Methods for Special Functions、SIAM、ISBN 978-0-898716-34-4 (2007)。
• Nico M. Temme: 「特殊関数の数値的側面」 Acta Numerica (2008), pp. 1–101