メッシュ解析

メッシュ解析（またはメッシュ電流法）は、平面回路の回路解析法です。平面回路とは、配線が交差することなく平面上に描画できる回路です。より一般的な手法であるループ解析（対応するネットワーク変数はループ電流）は、平面回路かどうかに関係なく、あらゆる回路に適用できます^[要出典]。メッシュ解析とループ解析はどちらも、キルヒホッフの電圧法則を体系的に使用して、回路に解がある場合に確実に解ける方程式のセットを導きます。^[1] メッシュ解析は、通常、ループ解析と比較して、回路が平面の場合に使いやすくなります。^[2]

メッシュ解析は、必須メッシュ（独立メッシュとも呼ばれる）にメッシュ電流を任意に割り当てることによって機能します。必須メッシュとは、回路内の他のループを含まないループです。図1では、必須メッシュに1、2、3のラベルを付けています。^[3]

メッシュ電流は、基本的なメッシュの周りをループする電流であり、方程式はメッシュ電流に基づいて解かれます。メッシュ電流は物理的に流れる電流に対応しない場合があります。ただし、物理的な電流はメッシュ電流から簡単に見つけることができます。^[2] 通常は、すべてのメッシュ電流を同じ方向にループさせます。これにより、方程式を書くときにエラーを防ぐことができます。慣例では、すべてのメッシュ電流を時計回りにループさせます。^[3] 図2は、図1と同じ回路で、メッシュ電流にラベルを付けたものです。

キルヒホッフの電流法則とキルヒホッフの電圧法則を直接適用する代わりにメッシュ電流を解くと、必要な計算量を大幅に削減できます。これは、メッシュ電流が物理的な分岐電流よりも少ないためです。たとえば、図 2 では、分岐電流は 6 つありますが、メッシュ電流は 3 つしかありません。

各メッシュは1つの方程式を生成します。これらの方程式は、メッシュ電流の完全なループにおける電圧降下の合計です。 ^[3]電流源と電圧源 を含む問題よりも一般的な問題の場合、電圧降下は電子部品のインピーダンスにそのループ内のメッシュ電流を乗じたものになります。 ^[4]

メッシュループ内に電圧源が存在する場合、電圧源の電圧は、メッシュ電流の方向の電圧降下か電圧上昇かに応じて、加算または減算されます。2つのメッシュの間に含まれていない電流源（たとえば、上記の回路の必須メッシュ1の電流源）の場合、メッシュ電流が電流源と同じ方向か反対方向かに応じて、メッシュ電流は電流源の正または負の値を取ります。^[3] 以下は、上記と同じ回路で、回路内のすべての電流を解くために必要な方程式を示しています。

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{メッシュ 1: }}I_{1}=I_{s}\\{\text{メッシュ 2: }}-V_{s}+R_{1}(I_{2}-I_{1})+{\frac {1}{sC}}(I_{2}-I_{3})=0\\{\text{メッシュ 3: }}{\frac {1}{sC}}(I_{3}-I_{2})+R_{2}(I_{3}-I_{1})+sLI_{3}=0\\\end{cases}}\,}$

方程式が見つかったら、線形方程式を解く任意の手法を使用して線形方程式系を解くことができます。

メッシュ カレントには、スーパーメッシュを含むカレントと従属ソースを含むカレントの 2 つの特殊なケースがあります。

スーパーメッシュは、電流源が2 つの必須メッシュ間に含まれている場合に発生します。回路は最初、電流源が存在しないものとして扱われます。これにより、2 つのメッシュ電流を組み込んだ 1 つの方程式が導き出されます。この方程式が形成されると、2 つのメッシュ電流を電流源と関連付ける方程式が必要になります。これは、電流源がメッシュ電流の 1 つからもう 1 つを引いた値に等しい方程式になります。以下は、スーパーメッシュを扱う簡単な例です。^[2]

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{メッシュ 1、2: }}-V_{s}+R_{1}I_{1}+R_{2}I_{2}=0\\{\text{電流源: }}I_{s}=I_{2}-I_{1}\end{cases}}\,}$

従属ソースとは、回路内の別の要素の電圧または電流に依存する電流源または電圧源です。従属ソースが必須メッシュ内に含まれている場合、従属ソースは独立ソースのように扱われます。メッシュ方程式が形成された後、従属ソース方程式が必要になります。この方程式は一般に制約方程式と呼ばれます。これは、従属ソースの変数と、ソースが回路内で依存する電圧または電流を関連付ける方程式です。以下は、従属ソースの簡単な例です。^[2]

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{メッシュ 1: }}-V_{s}+R_{1}I_{1}+R_{3}(I_{1}-I_{2})=0\\{\text{メッシュ 2: }}R_{2}I_{2}+3I_{x}+R_{3}(I_{2}-I_{1})=0\\{\text{従属変数: }}I_{x}=I_{1}-I_{2}\end{cases}}\,}$

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