ノード解析

電気回路解析において、ノード解析、ノード電圧解析、または分岐電流法は、分岐電流の観点から電気回路内の「ノード」（要素または分岐が接続するポイント）間の電圧（電位差）を決定する方法です。

ノード解析は、本質的にはキルヒホッフの電流法則(KCL)を回路解析に体系的に適用したものです。同様に、メッシュ解析はキルヒホッフの電圧法則 (KVL) を体系的に適用したものです。ノード解析では、各電気ノードに方程式を記述し、ノードに入射する分岐電流の合計がゼロになる必要があることを指定します (KCL を使用)。分岐電流は、回路ノード電圧で記述されます。結果として、各分岐の構成関係は、電圧の関数として電流を与える必要があります。つまり、アドミタンス表現です。たとえば、抵抗器の場合、I _branch = V _branch * G となり、G (=1/R) は抵抗器のアドミタンス (コンダクタンス) です。

ノード解析は、すべての回路要素の分岐構成関係がアドミタンス表現を持つ場合に可能です。ノード解析は、ネットワークのコンパクトな方程式セットを生成します。この方程式は、小さい場合は手作業で解くことができ、コンピュータで線形代数を使用してすばやく解くことができます。方程式のコンパクトなシステムのため、多くの回路シミュレーションプログラム ( SPICEなど) はノード解析を基礎として使用します。要素がアドミタンス表現を持たない場合は、ノード解析のより一般的な拡張である修正ノード解析を使用できます。

1. 回路内の接続されたすべてのワイヤ セグメントに注意してください。これらはノード解析のノードです。
2. 1つのノードを接地基準として選択します。選択は要素電圧には影響しません (ただし、ノード電圧には影響します)。これは単なる慣例です。接続が最も多いノードを選択すると、解析が簡単になります。N ノードの回路の場合、ノード方程式の数はN −1 です。
3. 電圧が不明な各ノードに変数を割り当てます。電圧が既にわかっている場合は、変数を割り当てる必要はありません。
4. 未知の電圧ごとに、キルヒホッフの電流法則に基づいて方程式を作成します (つまり、ノードから流出するすべての電流を合計し、合計がゼロになるようにマークします)。2 つのノード間の電流は、電流が流出するノードの電圧から電流が流入するノードの電圧を引いた値に等しく、その両方を 2 つのノード間の抵抗で割ります。
5. 2 つの未知の電圧の間に電圧源がある場合は、 2 つのノードをスーパーノードとして結合します。 2 つのノードの電流が 1 つの方程式に結合され、電圧の新しい方程式が形成されます。
6. それぞれの未知の電圧について連立方程式を解きます。

この回路で唯一不明な電圧は です。このノードには 3 つの接続があり、したがって 3 つの電流を考慮する必要があります。計算では、電流の方向はノードから離れる方向が選択されます。 ${\displaystyle V_{1}}$

1. 抵抗器を流れる電流:${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle (V_{1}-V_{S})/R_{1}}$
2. 抵抗器を流れる電流:${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle V_{1}/R_{2}}$
3. 電流源を流れる電流:${\displaystyle I_{S}}$${\displaystyle -I_{S}}$

キルヒホッフの現在の法則では、次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0}$$

_{この方程式はV 1}に関して解くことができます。

$${\displaystyle V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R_{1}}}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}}$$

最後に、記号に数値を代入することで、未知の電圧を解くことができます。回路内のすべての電圧がわかれば、未知の電流も簡単に計算できます。

$${\displaystyle V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)}}={\frac {14}{3}}{\text{ V}}}$$

この回路では、最初は 2 つの未知の電圧 V ₁と V ₂があります。電圧源のもう一方の端子は接地電位にあるため、 V _{3の電圧は V B}であることが既にわかっています。

_{電圧源 V A}を流れる電流は直接計算できません。したがって、 V ₁または V _{2の電流方程式を書くことはできません。ただし、ノード V 2}から出る同じ電流がノード V ₁に入ることはわかっています。ノードを個別に解決することはできませんが、これら 2 つのノードの合計電流はゼロであることがわかっています。この 2 つのノードの組み合わせはスーパーノード手法と呼ばれ、 V ₁ = V ₂ + V _Aという追加の方程式が必要になります。

この回路の完全な方程式は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0\\V_{1}=V_{2}+V_{\text{A}}\\\end{cases}}}$$

代用することで $${\displaystyle V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}}$$

一般に、ノードを持つ回路の場合、ノード解析によって得られるノード電圧方程式は、次に示すように行列形式で記述できます。任意のノード について、KCL は次のように述べます。ここで、 はノードと の間のコンダクタンスの合計の負数であり、はノード の電圧です。これは、がノード に接続されたコンダクタンスの合計であることを意味します。最初の項はを介し​​てノードに線形に寄与し、2 番目の項はマイナス符号を介してノード に接続された各ノードに線形に寄与することに注意してください。独立した電流源/入力もノード に接続されている場合、上記の式は に一般化されます。上記のノード電圧方程式をすべてのノードに対して組み合わせて、次の行列形式で記述 できることは容易に示されます。${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$${\displaystyle G_{kj}=G_{jk}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle j}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle k}$${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$${\displaystyle G_{kk}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G_{kk}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G_{jk}}$${\displaystyle i_{k}}$${\displaystyle k}$${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}G_{11}&G_{12}&\cdots &G_{1N}\\G_{21}&G_{22}&\cdots &G_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\G_{N1}&G_{N2}&\cdots &G_{NN}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{2}\\\vdots \\i_{N}\end{pmatrix}}}$$ あるいは単に${\textstyle \mathbf {Gv} =\mathbf {i} .}$

方程式の左側の行列は、次式を満たすので特異です。ここで、は1 のみを含む列行列です。これは、電流保存の事実、すなわち、および基準ノード (接地) を自由に選択できることに対応します。実際には、基準ノードの電圧は 0 とします。これが最後のノード であるとします。この場合、他のノードの結果の方程式が同じままであることは簡単に検証できるため、行列方程式の最後の列と最後の行を単に破棄できます。この手順により、すべての要素の定義が変更されない次元の非特異行列方程式が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G1} =0}$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle N\times 1}$${\textstyle \sum _{k}i_{k}=0}$${\displaystyle v_{N}=0}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle (N-1)\times (N-1)}$

• メッシュ解析
• Ybusマトリックス
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• P. ディモ電力システムのノード解析 アバカス プレス ケント 1975

Wikiversityにはノード解析に関する学習リソースがあります

• 分岐電流方式
• オンライン 4 ノード問題ソルバー
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