箱の数え方

ボックス カウンティングは、データセット、オブジェクト、画像などを、通常は「ボックス」の形をした小さな断片に分割し、各小さなスケールで断片を分析することによって、複雑なパターンを分析するためのデータを収集する方法です。プロセスの本質は、光学的またはコンピュータ ベースの方法を使用してズームインまたはズームアウトし、詳細の観察がスケールによってどのように変化するかを調べることに例えられています。ただし、ボックス カウンティングでは、レンズの倍率や解像度を変更するのではなく、調査者はオブジェクトまたはパターンを検査するために使用される要素のサイズを変更します (図 1 を参照)。コンピュータ ベースのボックス カウンティング アルゴリズムは、1 次元、2 次元、および 3 次元空間のパターンに適用されています。^{[1] [2]この手法は通常、}デジタル メディアから抽出されたパターンで使用するためにソフトウェアで実装されますが、基本的な方法は、一部のパターンを物理的に調査するために使用できます。この手法は、フラクタル解析から生まれ、フラク​​タル解析で使用されています。また、ラキュナリティやマルチフラクタル解析などの関連分野にも応用されています。^{[3] [4]}

理論的には、ボックス カウンティングの目的はフラクタルスケーリングを定量化することですが、実際的な観点からは、スケーリングが事前にわかっている必要があります。これは、図 1 で確認できます。図 1 では、適切な相対サイズのボックスを選択すると、パターンがより小さなスケールでどのように繰り返されるかがすぐにわかります。ただし、フラクタル解析では、スケーリング係数が常に事前にわかっているとは限らないため、ボックス カウンティング アルゴリズムは、スケーリング係数を明らかにするパターンの最適な切り分け方法を見つけようとします。これを行うための基本的な方法は、任意の数 (便宜上 と呼びます) のサイズまたは口径で構成される測定要素のセット (ボックス)から始まります。これを のセットと呼びます。次に、これらのサイズのボックスをパターンに適用してカウントします。これを行うには、 の各について、通常は に対応する辺の長さを持つ 2 次元の正方形または 3 次元のボックスである測定要素を使用して、所定のスキャン計画に従ってパターンまたはデータセット（画像またはオブジェクトなど）をスキャンし、データセットの関連部分をカバーし、スキャンの各ステップで測定要素内でキャプチャされた関連の特徴を記録、つまりカウントします。 ^{[3] [4]}${\displaystyle \mathrm {E} }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \mathrm {E} }$${\displaystyle \epsilon }$

ボックスカウンティング中に収集される関連機能は、調査対象と実行される分析の種類によって異なります。たとえば、ボックスカウンティングのよく研究されている2つの対象は、バイナリ（通常は白黒の2色のみを意味する）^[2]とグレースケール^[5]の デジタル画像（jpeg、tiffなど）です。ボックスカウンティングは一般に、このような静止画像から抽出されたパターンに対して行われます。この場合、記録される生の情報は、通常、所定の色値や色の範囲や強度などのピクセルの特徴に基づいています。ボックスカウンティングがボックスカウンティング次元と呼ばれるフラクタル次元を決定するために行われる場合、記録される情報は通常、ボックスに所定の色または範囲のピクセルが含まれていたかどうかについての「はい」または「いいえ」です（つまり、それぞれで関連ピクセルを含むボックスの数がカウントされます）。他の種類の分析では、測定ボックス内に含まれるピクセルの数、^[4]色や強度の範囲や平均値、各ボックス内のピクセル間の空間配置、平均速度（粒子の流れなど）などの特性が求められる場合があります。^{[5] [6] [7] [8]}${\displaystyle \epsilon }$

すべてのボックス カウント アルゴリズムには、データの収集方法、つまりパターンを含む空間上でボックスを移動する方法を説明するスキャン プランがあります。ボックス カウント アルゴリズムではさまざまなスキャン戦略が使用されており、サンプリング、分析方法などの問題に対処するためにいくつかの基本的なアプローチが変更されています。

従来のアプローチは、重なり合わない規則的なグリッドまたは格子パターンでスキャンすることです。^{[3] [4]}説明のために、図 2a は、図 1 に示すフラクタル輪郭や、ボックス カウンティング ディメンションを見つける方法を説明するためによく使用される英国の海岸線の古典的な例など、輪郭のバイナリ デジタル画像に抽出されたパターンからボックス カウンティング ディメンションを計算するソフトウェアで使用される一般的なパターンを示しています。 この戦略は、画像に重ねられたグリッドの一部であるかのように正方形のボックスを繰り返し配置することをシミュレートし、各ボックスが以前あった場所と重ならないようにします (図 4 を参照)。 これは、各ボックスを使用して対象領域全体をスキャンし、関連情報が記録されるまで行われます。^{[9] [10]}ボックス カウンティング ディメンションを見つけるために使用される場合、この方法は最適なカバーを見つけるように変更されます。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

使用されている別のアプローチは、スライディングボックスアルゴリズムです。このアルゴリズムでは、各ボックスが画像上でスライドされ、前の配置と重なります。図2bは、スライディングボックスを使用したスキャンの基本パターンを示しています。固定グリッドアプローチは、水平方向と垂直方向の増分が に等しいスライディングボックスアルゴリズムと見ることができます。スライディングボックスアルゴリズムは、ラキュナリティ分析でテクスチャを分析するためによく使用され、マルチフラクタル分析にも適用されています。^{[2] [8] [11] [12] [13]}${\displaystyle \epsilon }$

ボックスカウントは、パターン全体を表すグローバルな尺度ではなく、ローカルな変動を判断するためにも使用できます。ローカルな変動は、データが収集され分析された後に評価できます (たとえば、一部のソフトウェアでは、各サブサンプルのフラクタル次元に応じて領域が色分けされます)。ただし、ボックスカウントの 3 番目のアプローチは、関心のあるピクセルに関連する何らかの特徴に従ってボックスを移動することです。たとえば、ローカル接続次元ボックスカウントアルゴリズムでは、図 2c に示すように、各ボックスは関心のある各ピクセルの中心に配置されます。^[7]${\displaystyle \epsilon }$

ボックスカウントアルゴリズムの実装では、使用する最小サイズと最大サイズ、サイズ間の増分方法など、 の実際の値を決定する方法など、特定の詳細を指定する必要があります。このような詳細の多くは、デジタル画像のサイズなどの実用的な問題だけでなく、データに対して実行される特定の分析に関連する技術的な問題も反映しています。${\displaystyle \mathrm {E} }$大きな注目を集めているもう一つの問題は、ボックスカウント次元を決定し、マルチフラクタルスケーリングを評価するためのいわゆる「最適被覆」をどのように近似するかである。^{[5] [14] [15] [16]}

この点に関する既知の問題の 1 つは、ボックス カウント戦略で使用される制限が収集されるデータに影響を及ぼす可能性があるため、デジタル画像内の有用な情報の境界を構成するものを決定することです。

アルゴリズムでは、ボックス サイズ間で使用する増分のタイプ (線形と指数など) を指定する必要があり、これはスキャンの結果に大きな影響を与える可能性があります。

図4が示すように、箱の全体的な配置も箱カウントの結果に影響を与えます。この点に関する1つのアプローチは、複数の方向からスキャンし、平均化または最適化されたデータを使用することです。^{[17] [18]}

さまざまな方法論的考慮事項に対処するために、一部のソフトウェアはユーザーが多くの詳細を指定できるように書かれており、また、行われている分析の種類に合わせて事後にデータを平滑化するなどの方法が含まれているものもあります。^[19]

• フラクタル解析
• フラクタル次元
• ミンコフスキー・ブーリガン次元
• マルチフラクタル解析
• 欠落性