正方形を正方形にする

正方形の二乗は、整数正方形を他の整数正方形のみを使用してタイル張りする問題です。(整数正方形とは、辺の長さが整数である正方形です。) この名前は、円の二乗とのユーモラスな類似性から付けられました。正方形の二乗は、追加の条件が設定されない限り、簡単な作業です。最も研究されている制約は、二乗が完全であること、つまり小さい正方形のサイズがすべて異なることです。関連する問題に平面の二乗がありますが、これは、各自然数がタイル張りの正方形のサイズとしてちょうど 1 回出現するという制約があっても実行できます。正方形の二乗の位数は、それを構成する正方形の数です。

「完全な」正方形とは、それぞれの小さな正方形のサイズが異なる正方形のことです。

1936 年から 1938 年にかけて、ケンブリッジ大学でRL ブルックス、CAB スミス、AH ストーン、WT タット(総称して「ブランシュ・デカルト」)が完全正方形を研究しました。彼らは正方形を上下の端で隣接する正方形と接続する抵抗器と見なし、正方形のタイルを同等の電気回路に変換しました。これを「スミス図」と呼び、次にその回路にキルヒホッフの回路法則と回路分解技法を適用しました。彼らが最初に発見した完全正方形は、次数が 69 でした。

最初に発表された完全な平方数は、辺の長さが4205、次数が55の複合平方数であり、1939年にローランド・スプレイグによって発見されました。 ^[1]

マーティン・ガードナーは、 1958年11月の数学ゲームコラムで、 WTタットが書いた平方根の初期の歴史に関する詳細な記事を掲載した。^[2]

「単純な」正方形とは、複数の正方形の部分集合が長方形または正方形を形成しない正方形のことです。正方形に正方形または長方形の部分集合がある場合、それは「複合」です。

1978年、AJW Duijvestijn  [de]はコンピュータ検索を使用して、最小の数の正方形を持つ、辺が112の単純な完全正方形を発見しました。彼のタイリングには21個の正方形が使用され、最小であることが証明されました。^{[3]この正方形は、}トリニティ数学協会のロゴを形成しています。また、 Journal of Combinatorial Theoryの表紙にも掲載されています。

デュイヴェスティンは、辺の長さが110で、それぞれが22個の正方形で構成されている単純な完全正方形を2つ発見した。アマチュア数学者でフェアリーチェスの作曲家でもあるテオフィラス・ハーディング・ウィルコックスも別の正方形を発見した。1999年、I. ガンビーニは、これら3つが辺の長さで最小の完全正方形であることを証明した。^[4]

最も正方形の数が少ない完全な複合平方数は、1946年にTHウィルコックスによって発見され、24個の正方形で構成されていました。しかし、1982年になってようやく、デュイヴェスティン、パスクアーレ・ジョセフ・フェデリコ、P.レーウが、これが最低次の例であることを数学的に証明しました。^[5]

すべての正方形が異なるサイズであるという制約を緩めると、小さい正方形の辺の長さの公約数が 1 を超えない正方形は「パーキンス夫人のキルト」と呼ばれます。言い換えると、すべての小さい辺の長さの最大公約数は 1 である必要があります。パーキンス夫人のキルト問題は、与えられた正方形に対して最も少ないピースを持つパーキンス夫人のキルトを求めるものです。必要なピースの数は、少なくとも 、 ^[6]最大でです。^[7]コンピューター検索により、 の値が小さい場合(最大 18 ピースを必要とするほど小さい)の正確な解が見つかりました。 ^[8]必要なピースの数 は、${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \log_{2}n}$${\displaystyle 6\log _{2}n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

2、3、5以外の整数の場合、正方形を1つまたは2つの異なるサイズの正方形に分割することができます。^[9]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

1975年、ソロモン・ゴロムは、各辺の長さが整数である正方形を平面全体に敷き詰めることができるかどうかという疑問を提起し、これを異種タイリング予想と呼んだ。この問題は後にマーティン・ガードナーによってサイエンティフィック・アメリカン誌のコラムで公表され、数冊の本に掲載されたが、30年以上も解決されなかった。

1987 年に出版されたTilings and patternsで、Branko Grünbaumと GC Shephard は、平面を整数の正方形でタイリングする方法を説明しています。これは、任意の完全な正方形を再帰的に取り、それを拡大して、それまで最小だったタイルが元の正方形のサイズになるようにし、このタイルを元の正方形のコピーで置き換えるというものです。再帰的なスケーリング プロセスにより、正方形のサイズが指数的に増加します(ほとんどの整数はスキップされます)。これは、当時知られていた平面の完全な整数タイリングのすべてに当てはまる特徴であると彼らは指摘しています。

2008 年、ジェームズ・ヘンレとフレデリック・ヘンレはゴロムの異種タイリング予想を証明した。平面を各整数サイズの正方形でタイリングできるという予想である。彼らの証明は構成的であり、異なるサイズの 2 つの横並びで水平に揃った正方形で形成された L 字型の領域を「膨らませて」、より大きな長方形領域を完全にタイリングし、次に、まだ使用されていない最小サイズの正方形を接続させて、別のより大きな L 字型の領域を得るという手順で進められる。膨らませる手順で追加された正方形のサイズは、構築時にはまだ現れておらず、手順は、結果として得られる長方形領域が 4 方向すべてに拡大するように設定されており、平面全体のタイリングにつながる。^[10]

立方体の 3 乗は、正方形の 2 乗の 3 次元版に相当します。つまり、立方体 Cが与えられ、それを互いに同型でない有限個の小さな立方体に分割する問題です。

難しいけれども解ける問題である正方形を二乗する場合とは異なり、完全な立方体は存在せず、より一般的には、直方体 Cを有限個の不等立方体に分割することもできません。

これを証明するには、まず次の主張から始めます。長方形を正方形に完全に分割する場合、この分割における最小の正方形は長方形の辺上にあり​​ません。実際、各角の正方形にはそれより小さい隣接する辺の正方形があり、最小の辺の正方形は辺上にない小さい正方形に隣接しています。

ここで、直方体を立方体で完全に分割すると仮定します。Cの面を水平底とします。底は、その上にある立方体によって完全な正方形Rに分割されます。 R内の最小の正方形s _{1は、それよりも}大きい、つまり高さの高い立方体に囲まれています。したがって、 s ₁上の立方体の上面は、その上にある立方体によって完全な正方形に分割されます。この分割における最小の正方形をs _{2とします。上記の主張により、これは 4 辺すべてで}s ₂よりも大きい、つまり高さの高い正方形に囲まれています。

正方形の列s ₁、s ₂、...は無限であり、対応する立方体の数は無限である。これは当初の仮定と矛盾する。^[11]

4 次元の超立方体を完全に超立方体にできる場合、その「面」は完全な立方体になりますが、これは不可能です。同様に、高次元のすべての立方体には解が存在しません。

• 正方形の中に正方形を詰める
• 正方形を相似形の長方形に分割する

ウィキメディア・コモンズには、 Squaring the squareに関連するメディアがあります。

• 完全な平方の正方形:
  • ボウカンプ、CJ; Duijvestijn、AJW (1994 年 12 月)。 「オーダー 26 の単純な完全二乗平方のアルバム」(PDF)。 EUT レポート 94-WSK-02。アイントホーフェン工科大学、数学・コンピュータ科学学部
  • http://www.squaren.net/ より
  • http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_12_01_03.html
  • http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/articles/honsberger2/index.shtml
  • https://web.archive.org/web/20030419012114/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/98/square_dissect
• どこにも整っていない四角形:
  • http://karlscherer.com/
• パーキンス夫人のキルト：
  • MathWorldの Mrs. Perkins のキルト