方形波（波形）

方形波とは、振幅が一定の周波数で最小値と最大値の間を交互に変化し、最小値と最大値の持続時間が等しい非正弦波周期波形である。理想的な方形波では、最小値と最大値の間の遷移は瞬時に起こる。

方形波はパルス波の特殊なケースであり、最小振幅と最大振幅における持続時間を任意に設定できます。パルス波の高周期と全周期の比はデューティサイクルと呼ばれます。真の方形波はデューティサイクルが50%（高周期と低周期が等しい）です。

方形波は、電子工学や信号処理、特にデジタル電子工学やデジタル信号処理において頻繁に見られる。その確率的な対応物は、2状態軌道である。

方形波はデジタルスイッチング回路で広く用いられており、バイナリ（2値）論理素子によって自然に生成されます。方形波は、その高速な遷移特性により、同期論理回路を一定の間隔でトリガーするのに適しているため、タイミング基準、すなわち「クロック信号」として使用されます。しかし、周波数領域のグラフが示すように、方形波には広範囲の高調波が含まれており、これらが電磁波や電流パルスを発生させ、近傍の他の回路に干渉してノイズやエラーを引き起こす可能性があります。高精度アナログ・デジタル変換器などの非常に高感度な回路では、この問題を回避するために、タイミング基準として方形波の代わりに正弦波が使用されます。

音楽用語では、これらの音はしばしば空虚な響きを持つと表現され、そのため減算合成を用いて生成される管楽器の音の基礎として用いられます。また、多くの家庭、商業施設、産業施設で使用される「ビープ音」アラートの構成要素でもあります。さらに、エレキギターに使用されるディストーション効果は波形の最外縁部をクリッピングするため、ディストーションをかけるほど矩形波に近づいていきます。

単純な2レベルラデマッハー関数は方形波である。

数学における方形波には多くの定義があり、それらは不連続点を除いて等価である。

これは、単純に正弦波の 符号関数として定義できる。$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {2\pi t}{T}}\right)=\operatorname {sgn}(\sin 2\pi ft)\\v(t)&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {2\pi t}{T}}\right)=\operatorname {sgn}(\cos 2\pi ft),\end{aligned}}}$$ これは、正弦波が正の場合に 1、負の場合に -1、不連続点では 0 になります。ここで、Tは方形波の周期、 fはその周波数であり、これらはf = 1/ Tの式で関係付けられています。

方形波は、ヘヴィサイド階段関数u ( t ) または矩形関数Π( t ) に関して定義することもできます。$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=2\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {2(t-nT)}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1\\&=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[u\left({\frac {t}{T}}-n\right)-u\left({\frac {t}{T}}-n-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1.\end{aligned}}}$$

方形波は、floor関数を直接使用して生成することもできます。 $${\displaystyle x(t)=2\left(2\lfloor ft\rfloor -\lfloor 2ft\rfloor \right)+1}$$ そして間接的に： $${\displaystyle x(t)=\left(-1\right)^{\lfloor 2ft\rfloor }.}$$

フーリエ級数（下記）を用いると、床関数は三角関数の形で表すことができることが示される^{[ 1 ]。}$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\arctan \left(\tan \left({\frac {\pi ft}{2}}\right)\right)+{\frac {2}{\pi }}\arctan \left(\cot \left({\frac {\pi ft}{2}}\right)\right)}$$

周期周波数fと時間tを用いたフーリエ展開により、振幅 1 の理想的な方形波は、無限個の正弦波の和として表すことができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi (2k-1)ft\right)}{2k-1}}\\&={\frac {4}{\pi }}\left(\sin(\omega t)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega t)+{\frac {1}{5}}\sin(5\omega t)+\ldots \right),&{\text{ただし }}\omega =2\pi f.\end{aligned}}}$$

理想的な方形波は、奇数整数の高調波周波数（ 2π(2 k − 1) fの形）の成分のみを含みます。

方形波のフーリエ級数表現の収束における興味深い現象の一つに、ギブス現象がある。非理想的な方形波におけるリンギング現象は、この現象と関連していることが示されている。ギブス現象は、ランチョスシグマ因子を用いて数列の収束をより滑らかにするσ近似を用いることで防止できる。

理想的な数学的な方形波は、高状態と低状態の間を瞬時に、かつアンダーシュートやオーバーシュートなしに変化します。しかし、物理システムでは無限の帯域幅が必要となるため、これを実現することは不可能です。

物理システムにおける方形波は有限の帯域幅しか持たず、ギブス現象に似たリンギング効果や、σ近似に似たリップル効果を示すことが多い。

方形波の形状を適切に近似するには、少なくとも基本波と第3高調波が存在する必要があり、第5高調波が存在することが望ましい。これらの帯域幅要件は、方形波のような波形を有限帯域幅のアナログ近似で表現するデジタルエレクトロニクスにおいて重要である。（リンギング過渡現象は、回路の電気的定格限界を超えたり、不適切な位置にある閾値を複数回超過させたりする可能性があるため、電子回路上の重要な考慮事項となる。）

既に述べたように、理想的な方形波は、高レベルと低レベル間の遷移が瞬時に行われます。しかし実際には、波形を生成するシステムの物理的な制約により、このような理想的な波形は実現されません。信号が低レベルから高レベルまで上昇し、再び低レベルに戻るまでの時間を、それぞれ立ち上がり時間と立ち下がり時間と呼びます。

システムが過減衰の場合、波形は理論上の高レベルと低レベルに実際には到達しない可能性があり、システムが不足減衰の場合、波形は高レベルと低レベルを中心に振動してから安定します。このような場合、立ち上がり時間と立ち下がり時間は、5%と95%、または10%と90%などの指定された中間レベルの間で測定されます。システムの帯域幅は波形の遷移時間と関連しており、一方から他方を近似的に求めることができる式があります。

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• マルチバイブレータ
• ロンキー法則とは、画像処理に用いられる方形波状の縞模様のターゲットのことである。
• 海を渡る
• クラリネットは、方形波に近い奇妙な倍音を生み出す楽器である。

• 方形波のフーリエ分解。GeoGebraサイトからの正弦波を使用した方形波合成のインタラクティブなデモ。
• 正弦波による方形波の近似 正弦波を用いた方形波合成のインタラクティブなデモ。
• Flashアプレットによる方形波。