二等分

• 線分の垂直二等分線とは、線分の中点で垂直に交わる直線のことである。
• 線分の垂直二等分線${\displaystyle AB}$また、その各点が${\displaystyle X}$線分ABの両端から等距離にある。

（D）${\displaystyle \quad |XA|=|XB|}$。

証明は以下から得られる。${\displaystyle |MA|=|MB|}$そしてピタゴラスの定理：

${\displaystyle |XA|^{2}=|XM|^{2}+|MA|^{2}=|XM|^{2}+|MB|^{2}=|XB|^{2}\;.}$

性質（D）は通常、垂直二等分線の作図に使用されます。

古典幾何学において、二等分はコンパスと定規を用いた簡単な作図であり、その可能性は半径が等しく中心が異なる円弧を描く能力に依存する。

セグメント${\displaystyle AB}$半径が等しい交差する円を描くことで二等分される${\displaystyle r>{\tfrac {1}{2}}|AB|}$中心が線分の両端である2つの円。2つの円の交点によって決まる線分は、線分の垂直二等分線です。 線分の中点を知らなくても二等分線を作図できるため、${\displaystyle M}$構造は決定するために使用されます${\displaystyle M}$二等分線と線分の交点として。

この作図法は、与えられた線に垂直な線を作図する際に実際に用いられます。${\displaystyle g}$ある時点で${\displaystyle P}$: 中心が${\displaystyle P}$線と交差するように${\displaystyle g}$2つのポイント${\displaystyle A,B}$そして、作図する垂線は、二等分線分である。${\displaystyle AB}$。

もし${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$は2点の位置ベクトルです${\displaystyle A,B}$すると、その中点は${\displaystyle M:{\vec {m}}={\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}}$およびベクトル${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}}$は垂直線分二等分線の法線ベクトルです。したがって、そのベクトル方程式は${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})=0}$挿入 ${\displaystyle {\vec {m}}=\cdots }$そして、この方程式を展開すると、ベクトル方程式が得られる。

（V）${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

と${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),B=(b_{1},b_{2})}$座標形式で方程式を得ると次のようになる。

（C）${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2})\;.}$

または明示的に： （E）${\displaystyle \quad y=m(x-x_{0})+y_{0}}$、 どこ${\displaystyle \;m=-{\tfrac {b_{1}-a_{1}}{b_{2}-a_{2}}}}$、${\displaystyle \;x_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})\;}$、 そして${\displaystyle \;y_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})\;}$。

垂直な線分二等分線は、さまざまな幾何学的問題を解決するために使用されました。

1. タレスの円の中心の構築、
2. 三角形の外接円の中心の作図、
3. ボロノイ図の境界は、そのような線または平面のセグメントで構成されます。

• 線分の垂直二等分線とは、線分の中点で垂直に交わる平面のことである。

そのベクトル方程式は、平面の場合と全く同じである。

（V）${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

と${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3}),B=(b_{1},b_{2},b_{3})}$座標形式で方程式を得ると次のようになる。

（C3）${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y+(a_{3}-b_{3})z={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2}+a_{3}^{2}-b_{3}^{2})\;.}$

性質（D）（上記参照）は空間においても文字通り真である： （D）線分の垂直二等分平面${\displaystyle AB}$どの時点でも${\displaystyle X}$物件：${\displaystyle \;|XA|=|XB|}$。

2つの外角の二等分線と、もう1つの内角の二等分線は一点で交わる。^{[ 3 ]： p.149}

3つの交点は、それぞれ外角の二等分線と反対側の延長線との交点であり、同一直線上にある（互いに同じ線上にある）。^{[ 3 ]： p.149}

3つの交点、すなわち内角の二等分線と対辺との間の2点と、もう一方の外角の二等分線と対辺の延長線との間の1点は、いずれも同一直線上にある。^{[ 3 ]： p.149}

角の二等分線定理

角の二等分線定理は、三角形の辺を対角を二等分する直線で分割した2つの線分の相対的な長さに関する定理です。この定理は、それらの線分の相対的な長さを、三角形の他の2辺の相対的な長さと等しくします。

凸四角形の内角二等分線は、円に内接する四角形（つまり、隣接する角二等分線の4つの交点が円に内接する）を形成するか、 ^{[ 8 ]} または一点に交わる。後者の場合、四角形は接線四角形である。

放物線の任意の点における接線は、その点と焦点を結ぶ線と、その点から準線に垂直に引いた線との間の角度を二等分する。

凸四角形の2つの二中線は、対向する辺の中点を結ぶ線分であり、それぞれが2辺を二等分します。2つの二中線と対角線の中点を結ぶ線分は、「頂点重心」と呼ばれる点で交わり、すべてこの点で二等分されます。^{[ 10 ]： p.125}

凸四角形の4つの「垂線」とは、ある辺に垂線を引いた線で、反対側の辺の中点を通り、その辺を二等分する線です。四角形が円に内接している場合、これらの垂線はすべて「反中心」と呼ばれる共通の点で交わります。

ブラフマグプタの定理は、円に内接する四角形が直交対角線を持つ場合（つまり、対角線が互いに垂直で ある場合）、対角線の交点から辺に下ろした垂線は必ず反対側の辺を二等分するというものである。

垂直二等分線作図法は、別の四角形の辺の垂直二等分線から四角形を形成する。

三角形の面積を二等分する線は無数に存在します。そのうち 3 つは三角形の中線(辺の中点と対向する頂点を結ぶ線) であり、これらは三角形の重心で交わります。実際、これらは重心を通る唯一の面積二等分線です。他の 3 つの面積二等分線は三角形の辺に平行です。これらの線はそれぞれ他の 2 つの辺と交わり、それらを比率が 1/2 の線分に分割します。${\displaystyle {\sqrt {2}}+1:1}$[ ^{11 ]これらの 6 つの線は 3 つずつ同時に交わっています。3 つの中央線が交わっていることに加えて、任意の}1 つの中央線は、2 つの平行な面積二等分線と交わっています。

無限の面積二等分線の包絡線はデルトイド（デルトイドの外側に対して凹な曲線で接続された3つの頂点を持つ図形として広く定義され、内部の点は非凸集合となる）である。[ 11 ]^{デルトイドの頂点}は中央線の中点にあり、デルトイド内部のすべての点は3つの異なる面積二等分線上にあり、デルトイド外部のすべての点は1つの面積二等分線上にあります。 デルトイドの辺は、三角形の延長辺に漸近する双曲線の弧である。 ^{[ 11 ]}面積二等分線の包絡線の面積と三角形の面積の比は、すべての三角形で不変であり、${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$つまり、0.019860...または2%未満。

三角形のクリーバーとは、三角形の周を二等分し、その一端が3辺のうちの1辺の中点にある線分のことです。3本のクリーバーはすべて、スピーカ円の中心（中点三角形の内接円）で交わります（すべてスピーカ円を通ります）。クリーバーは角の二等分線と平行です。

三角形の分割線とは、三角形の3つの頂点のいずれかを端点とし、周長を二等分する線分のことである。これら3つの分割線は、三角形のナーゲル点で交わる。

三角形の面積と周長を二等分する線は、三角形の内心（内接円の中心）を通ります。このような内心は、任意の三角形に対して1つ、2つ、または3つ存在します。内心を通る線は、面積または周長のどちらか一方を二等分する場合に限り、もう一方を二等分します。^{[ 12 ]}

平行四辺形の中点を通る任意の線は、面積^{[ 11 ]}と周囲を二等分します。

円やその他の楕円の面積二等分線と周長二等分線はすべて中心を通り、中心を通る弦は面積と周長を二等分します。円の場合、それらは円の直径になります。

平行四辺形の対角線は互いに二等分する。

四角形の対角線を結ぶ線分が両方の対角線を二等分する場合、この線分（ニュートン線）は頂点の重心によって二等分される。