平方ピラミッド数

数学において、ピラミッド数または正方ピラミッド数は、正方形の底面を持つピラミッドに積み重ねられた球の数を数える自然数です。これらの数の研究は、アルキメデスとフィボナッチにまで遡ります。これらは、さまざまな形状内で規則的なパターンを形成する点の数を表す 図形数というより広いテーマの一部です。

これらの数は、ピラミッド内の球の数を数えるだけでなく、最初の正の平方数の和、または3次多項式の値として代数的に記述できます。これらは、正方形のグリッド内の正方形の数を数えることや、奇数正多角形の頂点から形成される鋭角三角形を数えることなど、他のいくつかの計数問題を解くために使用できます。これらは、連続する四面体数の合計に等しく、より大きな四面体数の4分の1です。2つの連続する正方形ピラミッド数の和は、八面体数です。 ${\displaystyle n}$

錐体数は、ギリシャ数学で研究された数少ない3次元の図形数の一種で、ニコマコス、スミュルナのテオン、イアンブリコスの著作に見られる。^[1]連続する平方を足して3次多項式を得る公式（その値は平方錐数）は、アルキメデスによって与えられている。アルキメデスはこの和を円錐の体積の研究の一環として補題として用い、^[2]またフィボナッチは、平方数列の和を求める公式を求める問題に対するより一般的な解法の一部として用いている。^{[3]平方錐数は、和算時代の}日本の数学者によって研究された図形数族の一つでもあり、彼らはこれを「奇零再乗蓑深」と名付けた。^[4]

同じ問題は、四角錐の中の砲弾を数える問題として定式化され、 1500年代後半に航海中のウォルター・ローリーから数学者トーマス・ハリオットに出された。1と4900以外の平方数である四角錐数が存在するかどうかを問う砲弾問題は、このやり取りから生まれたと言われている。エドゥアール・ルーカスは、 4900個の砲弾からなるピラミッドを平方数の砲弾で発見し、砲弾問題をより広く知らしめるにあたり、それが唯一の非自明な解であると示唆した。^[5]ルーカスとクロード・セラファン・モレ・ブランによる不完全な証明の後、 1918年にGNワトソンが、そのような数は他に存在しないという最初の完全な証明を与えた。 ^[6]

球が1、2、3などの層の四角錐に詰められている場合、各ピラミッド内の球の数を表す四角錐数は次のようになる: ^{[7] [8]}

これらの数は、次のように代数的に計算することができます。球のピラミッドを、各層に平方数の球がある正方形の層に分解すると、 球の総数は各正方形の球の数の合計として数えられ 、この合計を解くと3次多項式が得られます。これは、いくつかの同等の方法で記述できます。 この平方和の式は、ファウルハーバーの累乗和の公式 の特殊なケースであり、数学的帰納法によって証明できます。^[9]${\displaystyle P_{n}}$$${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},}$$$${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$$

より一般的には、図形数は、特定の形状内で規則的なパターンに配置された幾何学的点の数を数える。球のピラミッド内の球の中心はこれらのパターンの 1 つを形成しますが、他の多くのタイプの図形数では、点を球の中心と考えるのは意味をなさない。^{[8]現代数学では、}整数多面体 の点を数える関連問題は、エアハルト多項式によって形式化されている。これらは、エアハルト多項式の場合、点が常に整数格子内に配置され、問題の形状にもっと注意深く適合された配置になるのではなく、点が適合する形状が格子点を頂点とする多面体であるという点で、図形数と異なる。具体的には、整数多面体Pのエアハルト多項式L ( P , t )は、すべての座標に数tを乗じて拡張されたPのコピー内の整数点を数える多項式である。通常の対称形の四角錐は、単位正方形を底辺としており、頂点が整数点ではないため、整数多面体ではありません。代わりに、エアハルト多項式は、単位正方形の底辺と、底辺から 1 単位上にある任意の整数点を頂点とする非対称の四角錐Pに適用できます。このPを選択した場合、ピラミッドのエアハルト多項式は⁠( t + 1)( t + 2)(2 t + 3)/6⁠ = P _{t + 1} . ^[10]

これらの数字は、ピラミッド内の球の数を数えるだけでなく、他のいくつかの計数問題を解決するためにも使用できます。たとえば、一般的な数学パズルでは、 n× nの大きな正方形のグリッド内の正方形を数えます。^[11]この数は次のように導き出すことができます。

• グリッド内の1 × 1 の正方形の数はn ²です。
• グリッド内の2 × 2 の正方形の数は( n − 1) ²です。これらは、 2 × 2 の正方形の左上隅の可能なすべての数を数えることによって数えることができます。
• グリッド内のk × k個の正方形(1 ≤ k ≤ n )の数は( n − k + 1) ^{2です。これらは、} k × k個の正方形の左上隅の可能性のあるすべての数を数えることによって数えることができます。

したがって、 n × nの正方格子内の正方形の数は次のように表される。 ^[12] つまり、パズルの解はn番目の正方錐数で与えられる。^[7]正方格子内の長方形の数は、三角数の二乗で与えられる。^[13]$${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}$$

正方錐数は、辺を持つ正多角形の頂点から形成される鋭角三角形の数も数えます。たとえば、正三角形には 1 つの鋭角三角形 (それ自体) しか含まれず、正五角形には5 つの鋭角黄金三角形が含まれ、正七角形には 2 つの形状の鋭角三角形が 14 個含まれます。^{[7]より抽象的に、}行列の行または列の順列が同等であると見なされる場合、が奇数であるときに、負でない整数係数の合計が になる行列の数は、正方錐数です。^[14]${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle (2n+1)}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

砲弾問題は、砲弾のピラミッドの大きさを問い、そのピラミッドを広げて正方形の配列を形成するか、または同等に、どの数が正方形かつ正方形ピラミッド型であるかを問うものである。1 の他に、この特性を持つ数は 4900 のみであり、これは 70 番目の平方数であり、24 番目の正方形ピラミッド型数でもある。^[6]

平方ピラミッド数は二項係数の和として表すことができる：^{[15] [16]} $${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}={\binom {n+1}{2}}+2{\ビノム {n+1}{3}}.}$$

この表現に現れる二項係数は四面体数であり、この式は、平方数が2つの連続する三角数に分割されるのと同じように、四面体数の2つの合計として四角錐数を表します。^{[8] [15]}

四面体をその面の1つで反転すると、2つのコピーは三角錐を形成します。 四角錐数は三角錐の図形数でもあり、この式は四角錐数と三角錐数の等式として解釈できます。^[7]同様に、四角錐を底面で反転すると八面体が生成され、そこから各八面体の数は2つの連続する四角錐数の合計であることがわかります。^[17]

四角錐数は四面体数と異なる形で関連している。同じ四角錐の4つのコピーの点を並べ替えると、各辺の点の数が2倍になる単一の四面体が形成される。つまり、^[18] $${\displaystyle 4P_{n}=Te_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.}$$

これを確認するには、各四角錐を、各層が前の層の真上になるように配置します。たとえば、高さは

4321
3321
2221
1111

これらのうち 4 つを高さ4 の柱で結合すると、層状の均一な四角錐が形成されます。 ${\displaystyle 4,16,36,\dots }$

各層は連続する三角数の合計、つまり合計すると四面体数になります。 ${\displaystyle (1+3),(6+10),(15+21),\dots }$

二乗ピラミッド数を分母とする単位分数の交互級数は、πのライプニッツの公式と密接に関連しているが、より速く収束する。それは次の通りである。^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&=1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac {1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\approx 0.849556.\\\end{aligned}}}$$

近似理論では、奇数列、奇数和（平方数）、平方数和（平方錐数）などが、チェビシェフ近似を多項式に変換する方法の係数を形成します。^[20]

• ワイスシュタイン、エリック W.、「平方ピラミッド数」、MathWorld