クリフォードトーラス

幾何学的位相幾何学において、クリフォード・トーラスは、 2つの円Sの直積の最も単純かつ最も対称的な平面埋め込みである。 ¹
_人とS^1b
_...（円筒の表面が「平ら」であるのと同じ意味で）。ウィリアム・キングドン・クリフォードにちなんで名付けられました。R 3^ではなくR ⁴にあります。R ^{4 が}必要な理由を理解するには、 S¹
_人とS^1b
_...それぞれが独自の独立した埋め込み空間Rに存在する²
_aとR^2b
_...、結果として得られる積空間はR ³ではなくR ⁴になります。対照的に、 2 つの円の直積はR ³トーラスであるという歴史的に人気のある見解では、最初の円がxと y を消費した後、その円には1 つの独立した軸zしか利用できないため、 2 番目の円に回転演算子を非常に非対称に適用する必要があります。

言い換えると、 R ³に埋め込まれたトーラスは、R ⁴に埋め込まれた最大対称クリフォード トーラスの非対称縮小次元投影です。この関係は、立方体のエッジを紙に投影する関係に似ています。このような投影は、立方体のエッジの接続性を正確に捉えた低次元画像を作成しますが、立方体の 3 つの完全に対称で交換可能な軸の 1 つを任意に選択して削除する必要もあります。

Sの場合¹
_人とS^1b
_...それぞれの半径は⁠1/√2​⁠ 、それらのクリフォード・トーラス積は、 R ⁴の 3 次元部分多様体である単位3 球面 S ³内に完全に適合します。数学的に都合がよい場合、クリフォード・トーラスは複素座標空間C ²内に存在すると見なすことができます。これは、 C ^{2 が}R ⁴と位相的に同等である。

クリフォード トーラスは、正方トーラスの一例です。これは、反対側の辺が特定された正方形と等長であるためです。(アステロイドなどの一部のビデオ ゲームは、正方トーラス上でプレイされます。画面の 1 つの端から外れたものは、同じ方向で反対側の端に再び表示されます。) これは、ユークリッド 2 トーラス(「2」は位相次元) としても知られています。このトーラス上に描かれた図形は、ユークリッド幾何学^{[明確化が必要]}に従って平らであるかのように描かれますが、一般的な「ドーナツ」形状のトーラスの表面は、外縁が正に湾曲し、内縁が負に湾曲しています。正方トーラスは、3 次元ユークリッド空間へのトーラスの標準的な埋め込みとは異なる幾何学を持っていますが、ナッシュ埋め込み定理によって 3 次元空間に埋め込むこともできます。1 つの可能な埋め込みでは、表面に沿って 2 つの垂直方向に走るフラクタルな波紋のセットによって、標準的なトーラスが変更されます。 ^[1]

R ²の単位円 S ^{1 は}角度座標によってパラメータ化できます。

${\displaystyle S^{1}={\bigl \{}(\cos \theta ,\sin \theta )\,{\big |}\,0\leq \theta <2\pi {\bigr \}}.}$

R ²の別のコピーに、単位円のコピーをもう1つ取ります。

${\displaystyle S^{1}={\bigl \{}(\cos \varphi ,\sin \varphi )\,{\big |}\,0\leq \varphi <2\pi {\bigr \}} 。}$

クリフォードトーラスは

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta ,\sin \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi )\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

S ¹の各コピーはR ²の埋め込み部分多様体であるため、クリフォードトーラスはR ² × R ² = R ⁴の埋め込みトーラスです。

R ⁴が座標( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ )で与えられる場合、クリフォードトーラスは次のように与えられる。

${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

これは、 R ⁴においてクリフォード・トーラスが単位 3 次元球面S ³の部分多様体であることを示しています。

クリフォード・トーラスがS ³の極小面であることは簡単に確認できます。

クリフォード トーラスをC ²に埋め込まれたトーラスとして考えることも一般的です。Cの 2 つのコピーには、次の単位円があります (角度座標によってパラメーター化されています)。

${\displaystyle S^{1}=\left\{\left.e^{i\theta }\,\right|\,0\leq \theta <2\pi \right\}}$

そして

${\displaystyle S^{1}=\left\{\left.e^{i\varphi }\,\right|\,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

クリフォード・トーラスは次のように表される。

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{i\theta },e^{i\varphi }\right)\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

以前と同様に、これはC ²の単位球面S ³内の埋め込み部分多様体です。

C ²が座標( z ₁ , z ₂ )で与えられる場合、クリフォードトーラスは次のように与えられる。

${\displaystyle \left|z_{1}\right|^{2}=\left|z_{2}\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

上で定義したクリフォードトーラスでは、クリフォードトーラスの任意の点からC ²の原点までの距離は

${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left|e^{i\theta }\right|^{2}+{\tfrac {1}{2}}\left|e^{i\varphi }\right|^{2}}}=1.}$

C ²の原点から距離 1 にあるすべての点の集合は単位 3 次元球面であり、したがってクリフォード トーラスはこの 3 次元球面の内側に位置します。実際、クリフォード トーラスはこの 3 次元球面を 2 つの合同な立体トーラスに分割します(ヒーガード分割^[2]を参照)。

O(4) は直交変換によってR ⁴に作用するので、上で定義した「標準」クリフォード・トーラスを、剛体回転によって他の同等のトーラスに移動できます。これらはすべて「クリフォード・トーラス」と呼ばれます。6 次元群 O(4) は、3 次元球面内にあるすべてのそのようなクリフォード・トーラスの空間に推移的に作用します。ただし、この作用には 2 次元の安定化作用があります (群作用を参照)。これは、トーラスの子午線方向と縦方向の回転によってトーラスが保存されるからです (別のトーラスに移動する場合とは対照的です)。したがって、実際にはクリフォード・トーラスの 4 次元空間が存在します。^[2]実際、単位 3 次元球面のクリフォード・トーラスと極大円 (つまり、最大限に離れた大円) のペアの間には 1 対 1 の対応があります。クリフォード・トーラスが与えられた場合、関連する極大円は、2 つの相補領域のそれぞれのコア円です。逆に、任意の極大円のペアが与えられた場合、関連するクリフォード トーラスは、2 つの円から等距離にある 3 次元球面の点の軌跡になります。

単位 3 次元球面S ³内の平坦トーラスは、 1 つの 2 次元平面R ²内の半径rの円と別の 2 次元平面 R 2 内の^半径√ 1 − r ^{2 の}円の積であり、「クリフォード トーラス」と呼ばれることもあります。

同じ円は、 0 ≤ θ ≤ ⁠の範囲の角度θに対して、 cos θとsin θ の半径を持つと考えられる。π/2⁠ （ここでは退化した場合θ = 0およびθ = ⁠ を含むπ/2⁠）。

0 ≤ θ ≤ ⁠の和集合π/2⁠これらすべての形のトーラス

${\displaystyle T_{\theta }=S(\cos \theta )\times S(\sin \theta )}$

（ここで、S ( r ) は、中心が(0, 0)、半径がrである平面R ²上の円を表す）は、3次元球面S ^{3である。2つの退化ケース}θ = 0とθ = ⁠ を含める必要があることに注意する。π/2⁠ 、それぞれがS ³の大円に対応し、一緒に一対の極大円を構成します。

このトーラスTθ_は面積が

${\displaystyle \operatorname {area} \left(T_{\theta }\right)=4\pi ^{2}\cos \theta \sin \theta =2\pi ^{2}\sin 2\theta ,}$

トーラスTのみ_{⁠π/4⁠ は}最大面積2 π ²を持ちます。このトーラスT _{⁠π/4⁠ は、}最も一般的には「クリフォード トーラス」と呼ばれるトーラスT _θであり、 S ³の極小面である唯一のT _θでもあります。

偶数次元ユークリッド空間R ^{2 n} = C ⁿ内の任意の単位球面S ^{2 n −1}は、複素座標で次のように表すことができます。

${\displaystyle S^{2n-1}=\left\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}=1\right\}.}$

そして、 r ₁ ² + ... + r _n ² = 1となる任意の非負数r ₁、...、r _nに対して、一般化クリフォード・トーラスを次のように定義できます。

${\displaystyle T_{r_{1},\ldots ,r_{n}}={\bigl \{}(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{k}|=r_{k},~1\leqslant k\leqslant n{\bigr \}}.}$

これらの一般化されたクリフォードトーラスは、すべて互いに素です。ここでも、これらのトーラスT _{r 1、...、r n}のそれぞれの和集合は、単位(2 n − 1)球面S ^{2 n −1であると結論付けることができます (ここでも、半径}r _k = 0の少なくとも 1 つの退化したケースを含める必要があります)。

• クリフォード トーラスは「平坦」です。標準的な回転トーラスとは異なり、すべての点には、歪みなく平面の一部に平坦化できる近傍があります。
• クリフォード トーラスは、3 次元球面を 2 つの合同な立体トーラスに分割します。(立体投影では、クリフォード トーラスは標準的な回転トーラスとして表示されます。3 次元球面を均等に分割するということは、投影されたトーラスの内部が外部と等しいことを意味します。)

シンプレクティック幾何学では、クリフォード トーラスは、標準的なシンプレクティック構造を持つC ^{2 の埋め込みラグランジアン サブマニフォールドの例です。(もちろん、 C 内の埋め込み円の積はいずれも C 2}のラグランジアントーラスを与えるため^、これらはクリフォード トーラスである必要はありません。)

ローソン予想は、円形計量を持つ3次元球面上のすべての最小埋め込みトーラスはクリフォードトーラスでなければならないというものである。この予想の証明は、2013年にサイモン・ブレンドルによって発表された^。[3]

クリフォードトーラスと共形変換によるそれらの像は、ウィルモア汎関数の大域的最小化子です。

• デュオシリンダー
• ホップファイブレーション
• クリフォード平行線とクリフォード面
• ウィリアム・キングダム・クリフォード