正投影法

正射影、または直交投影（アナレンマ^{[ a ]}とも呼ばれる）は、 3次元オブジェクトを2次元で表現する方法です。正射影は、投影線がすべて投影面に直交する平行投影の一種であり^{[ 2 ]、}その結果、シーンのすべての平面がビューイングサーフェス上でアフィン変換で表示されます。正射影の裏側は斜投影であり、これは投影線が投影面に直交しない平行投影です。

正投影という用語は、多面投影において、主軸または対象の平面が投影面と平行になるようにして主投影図を作成する手法を意味することがあります。^{[ 2 ]} 正投影図において、対象物の主平面または主軸が投影面と平行でない場合、その図は軸測投影図または補助投影図と呼ばれます。（軸測投影は平行投影と同義です。）主投影図のサブタイプには、平面図、立面図、断面図があり、補助投影図のサブタイプには、等角投影、二等角投影、三等角投影があります。

正投影を提供するレンズは、物体空間テレセントリックレンズである。

平面z = 0への単純な正射影は、次の行列で定義できます。

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

各点v = ( v _x , v _y , v _z ) に対して、変換された点Pv は次のようになります。

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\end{bmatrix}}}$

多くの場合、同次座標を使用する方が便利です。上記の変換は、同次座標では次のように表すことができます。

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

各同次ベクトルv = ( v _x , v _y , v _z , 1) に対して、変換されたベクトルPv は次のようになります。

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\\1\end{bmatrix}}}$

コンピュータグラフィックスでは、正射影に使用される最も一般的な行列の 1 つは、クリッピングプレーンを定義する6 タプル( left、right、bottom、top、near、far )で定義できます。これらのプレーンは、最小の角が ( left、bottom、 - near ) にあり、最大の角が ( right、top、 - far ) にあるボックスを形成します。^{[ 3 ]}

ボックスの中心が原点になるように移動した後、最小の角が (−1,−1,−1) にあり、最大の角が (1,1,1) にある単位立方体に拡大縮小します。

正射変換は、次の行列で表されます。

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

これは、スケーリングSに続いて次の形式の変換Tとして与えることができる。

${\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

投影行列P ⁻¹の逆行列（非投影行列として使用可能）は次のように定義される。

${\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

正投影には、視点が直交軸からどれだけずれているかによって、等角投影、二等角投影、三等角投影の 3 つのサブタイプがあります。 ^{[ 2 ] [ 4 ]}通常、アクソノメトリック図では、他のタイプの図と同様に、空間の 1 つの軸が垂直であることが示されます。

等角投影は、工学製図で最も一般的に使用される軸測投影の形式であり、^{[ 5 ]}視線方向は、空間の 3 つの軸が均等に短縮されて見えるようにし、それらの間に 120° の共通角度があります。短縮によって生じる歪みは均一であるため、長さ間の比例関係が維持され、軸は共通のスケールを共有します。これにより、図面から直接測定することが容易になります。もう 1 つの利点は、コンパスと定規のみを使用して 120° の角度を簡単に作図できることです。

二等分投影では、視線の方向によって空間の3つの軸のうち2つが等しく短縮されて見えるようになり、それに伴う縮尺と表示角度は視線の角度に応じて決定されます。3つ目の方向の縮尺は別途決定されます。

三次元投影では、視線の方向によって空間の3つの軸すべてが不均等に短縮されて見える。3つの軸それぞれの縮尺とそれらの間の角度は、視線の角度に応じて個別に決定される。三次元透視図法は、技術図面ではほとんど使用されない。^{[ 4 ]}

多面投影では、対象物の最大 6 つの画像が生成され、これらは主投影図と呼ばれ、各投影面は対象物の座標軸のいずれかに平行です。これらの投影図は、第一角法または第三角法のいずれかの方式に従って互いに相対的に配置されます。どちらの方式でも、投影図の外観は、対象物の周囲に 6 面のボックスを形成する平面に投影されていると考えることができます。6 つの異なる面を描くことができますが、通常、図面の 3 つのビューで、3 次元の対象物を作成するのに十分な情報が得られます。これらのビューは、正面図(または立面図)、上面図(または平面図)、および端面図として知られています。描かれている対象物の平面または軸が投影面に平行ではなく、同じ画像で対象物の複数の面が見える場合、それは補助投影図と呼ばれます。したがって、等角投影、二等角投影、および三等角投影は、多面投影における補助投影図とみなされます。多面投影の典型的な特徴は、空間の 1 つの軸が通常垂直に表示されることです。

正射投影図は、地図作成における地図投影法です。立体投影やグノモニック投影と同様に、正射投影は透視投影（または方位投影）であり、球面を接平面または割線平面に投影します。正射投影の透視点は無限遠にあります。これは、地平線が大円である宇宙から見た地球の半球を描写します。形状と領域は、特に端付近で歪みます。 ^{[ 6 ] [ 7 ]}

正射投影法は古代から知られており、地図作成におけるその用途は十分に記録されている。紀元前2世紀、ヒッパルコスはこの投影法を用いて星の出没位置を決定した。紀元前14年頃、ローマの技術者マルクス・ウィトルウィウス・ポッリオはこの投影法を用いて日時計を製作し、太陽の位置を計算した。^{[ 7 ]}

ウィトルウィウスは、投影法を表す用語として、ギリシャ語のorthos（「まっすぐな」）とgraphē （「描く」）を組み合わせたorthographicという用語も考案したようだ。しかし、緯度と経度を示す日時計を意味するanalemmaという名称が、1613年にアントワープのフランソワ・ダギロンが現在の名称を広めるまで、一般的な名称であった。^{[ 7 ]}

この投影法で現存する最古の地図は、1509年（作者不明）、1533年と1551年（ヨハネス・シェーナー）、1524年と1551年（アピアン）の木版画の地球儀である。^{[ 7 ]}

• Normale (直交) Axonometrie (ドイツ語)
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