外接円

幾何学では、三角形の外接円または外接円は、3 つの頂点すべてを通過する円です。この円の中心は三角形の外心と呼ばれ、その半径は外接半径と呼ばれます。外心は、三角形の3辺の垂直二等分線の交点であり、三角形の中心です。

より一般的には、すべての頂点が同じ円（外接円とも呼ばれる）上にあるn辺の多角形は、循環多角形、または特殊なケースn = 4では循環四辺形と呼ばれます。すべての長方形、二等辺台形、直角三角形、正多角形は循環ですが、すべての多角形が循環であるわけではありません。

三角形の外心は、 3 本の垂直二等分線のうち 2 本を描くことで作図できます。3 点が同一線上にない場合、これらの 2 本の線は平行にはならず、外心はそれらの交点になります。二等分線上の任意の点は、それが二等分する 2 点から等距離にあり、したがって、両方の二等分線上のこの点は、三角形の 3 つの頂点すべてから等距離にあることになります。外接半径は、そこから 3 つの頂点のいずれかまでの距離です。

外心を決定する別の方法は、共通の辺に対して角度をなして頂点の 1 つから出発する任意の 2 本の線を引くことです。共通の出発角度は、90° から反対側の頂点の角度を引いた角度です。(反対側の角度が鈍角の場合、負の角度で線を引くことは三角形の外側に行くことを意味します。)

沿岸航行では、コンパスが利用できない場合に六分儀を使用して位置線を取得する方法として、三角形の外接円が使用されることがあります。2 つのランドマーク間の水平角によって、観測者が位置する外接円が定義されます。

ユークリッド平面では、内接三角形の頂点の 直交座標を用いて外接円の方程式を明示的に与えることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}}$

は点A、B、Cの座標である。外接円は、次の式を満たす直交平面上の 点の軌跡である。${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{ 2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{整列}}}$

点A、B、C、v がすべて円の共通の中心から同じ距離rにあることを保証する。偏光恒等式を使用すると、これらの式は行列${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&- 2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end {bマトリックス}}}$

は非ゼロの核を持ちます。したがって、外接円は、この行列の 行列式の零点の軌跡として記述することもできます。

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{ y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}$

補因子展開を用いて、

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\ \|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x} &|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b& =\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\ end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

すると、次の式が得られます。また、3 点が一直線上にないと仮定すると (そうでない場合、外接円はSが無限大にある一般化された円としても見られる直線です)、外心と外接半径が得られます。同様のアプローチで、四面体の外接球面の方程式を導き出すことができます。 ${\displaystyle a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0}$${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),}$${\displaystyle \left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {| \mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},}$${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {S} }{a}}}$${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}.}$

円を含む平面に 垂直な単位ベクトルは次のように表される。

${\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}$

したがって、半径r、中心P _c、円上の点P ₀、円を含む平面の単位法線が与えられている場合、点P ₀から始まり、 ⁠ ⁠ を中心に${\displaystyle {\widehat {n}},}$正の方向（つまり、右手方向）に進む円の1つのパラメトリック方程式は次のようになります。 ${\displaystyle {\widehat {n}}}$

${\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}$

三線座標系 x  : y  : zにおける外接円の方程式は[ ^1]、 重心座標系x  : y  : zにおける外接円の方程式は${\displaystyle {\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0。 }$

外接円の等角共役は無限遠直線であり、三線座標では次のように表され、重心座標では次のように表される。${\displaystyle ax+by+cz=0}$${\displaystyle x+y+z=0.}$

さらに、3 次元に埋め込まれた三角形の外接円は、一般化された方法を使用して見つけることができます。A、B、C を三角形の頂点を形成する 3 次元の点とします。まず、システムを転置してC を原点に配置します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

円周半径rは

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}$

ここでθ はaとb の間の内角である。外心p ₀は次のように与えられる。

${\displaystyle p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}$

この式は、外積が他の次元では定義されていないため、3 次元でのみ機能しますが、外積を次の恒等式に置き換えることで、他の次元に一般化できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}}$

これにより、円周半径rに関する次の式が得られます。

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2{\sqrt {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}}}}$

外心p ₀については次の式が成り立ちます。

${\displaystyle p_{0}={\frac {((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} -((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }$

これは次のように簡略化できます。

${\displaystyle p_{0}={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} +\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )}{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }$

外心の直交座標は ${\displaystyle U=\left(U_{x},U_{y}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$

と

${\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}$

一般性を失うことなく、頂点Aを直交座標系の原点に移動した後、これを簡略化した形で表現することができます。つまり、この場合、頂点の座標と頂点A'からこれらの頂点へのベクトルを表します。この単純な移動はすべての三角形に対して可能であり、三角形△ A'B'C'の外心は次のように表される ことに注意してください。${\displaystyle A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).}$${\displaystyle B'=B-A}$${\displaystyle C'=C-A}$${\displaystyle U'=(U'_{x},U'_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}}$

と

${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$

頂点Aを原点に移動すると、円周半径rは次のように計算できる。

${\displaystyle r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}}$

そして△ ABCの実際の外心は

${\displaystyle U=U'+A}$

外心は三線座標系である^[2]

${\displaystyle \cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma }$

ここで、α、β、γは三角形の角度です。

辺の長さa、b、cに関して、三線は^[3]

${\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}$

外心は重心座標を持つ^[4]

${\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,}$

ここで、a、b、cはそれぞれ三角形の 辺の長さBC、CA、ABです。

三角形の角度α、β、γに関して、外心の重心座標は^{[3]である。}

${\displaystyle \sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .}$

任意の点の直交座標は頂点の座標の加重平均であり、加重は点の重心座標を1に正規化したものであるため、外心ベクトルは次のように表される。

${\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}$

ここでUは外心のベクトル、A、B、Cは頂点ベクトルです。ここでの除数は16 S ²で、Sは三角形の面積です。前述のように

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

ユークリッド空間では、任意の3点P ₁、P ₂、P ₃を通る唯一の円が存在します。これらの点を空間ベクトルとして表すために直交座標を使用すると、ドット積とクロス積を使用して円の半径と中心を計算 できます。

${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}$

すると円の半径は次のように表される。

${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}$

円の中心は線形結合で与えられる。

${\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}$

外心の位置は三角形の種類によって異なります。

• 鋭角三角形（すべての角度が直角より小さい）の場合、外心は常に三角形の内側にあります。
• 直角三角形の場合、外心は常に斜辺の中点にあります。これはタレスの定理の1つの形です。
• 鈍角三角形（一つの角が直角より大きい三角形）の場合、外心は常に三角形の外側にあります。

これらの位置的特徴は、外心について上記で与えられた三線座標または重心座標を考慮することで確認できます。つまり、任意の内部点については 3 つの座標すべてが正であり、任意の外部点については少なくとも 1 つの座標が負であり、三角形の辺上の頂点以外の点については 1 つの座標がゼロで 2 つの座標が正です。

外接円が三角形の辺となす角度は、辺同士が交わる角度と一致します。対角αの辺は円と 2 回交わります。各端で 1 回ずつ、いずれの場合も角度αで交わります (他の 2 つの角度についても同様)。これは、交互線分の定理によるもので、接線と弦の間の角度は交互線分の角度に等しいとされています。

このセクションでは、頂点の角度はA、B、Cとラベル付けされ、すべての座標は三線座標です。

• シュタイナー点: 外接円とシュタイナー楕円の交差点の頂点ではない点。

${\displaystyle {\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}}$

（シュタイナーの楕円は、中心が重心（ABC ）であり、 A、B、Cを通る面積が最小の楕円です。この楕円の方程式は です。）${\displaystyle {\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0}$

• タリー点：シュタイナー点の対蹠点

${\displaystyle \sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )}$

• キーパート放物線の焦点:

${\displaystyle \csc(B-C):\csc(C-A):\csc(A-B).}$

外接円の直径は外接直径と呼ばれ、外接半径の2倍に等しく、三角形の任意の辺の長さを反対角の正弦で割ることで計算できます。

${\displaystyle {\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}$

正弦定理の結果として、どの辺と反対の角度を取るかは問題ではなく、結果は同じになります。

外接円の直径は次のように表すこともできる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}$

ここで、a、b、cは三角形の辺の長さ、は半周長です。上記の式はヘロンの公式による三角形の面積です。^{[5]外接円の直径を表す三角法の式には[6]}があります。${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

${\displaystyle {\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}$

三角形の九点円の直径は外接円の半分です。

どのような三角形でも、外心は常に重心および垂心と同一線上にあります。これらすべてを通る線はオイラー線として知られています。

外心の等角共役は垂心です。

3 点の有効最小境界円は、外接円 (3 点が最小境界円上にある場合) または三角形の最長辺の 2 点 (2 点が円の直径を定義) のいずれかによって定義されます。最小境界円と外接円を混同することはよくあります。

3 つの同一直線上の点の外接円は、3 つの点が位置する線であり、しばしば無限半径の円と呼ばれます。ほぼ同一直線上にある点の場合、外接円の計算で数値的な不安定性が生じることがよくあります。

三角形の外接円は、点の集合のドロネー三角形分割と密接な関係があります。

幾何学におけるオイラーの定理によれば、外心Oと内心 Iの間の距離は

${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}},}$

ここでrは内接円の半径、Rは外接円の半径である。したがって外接円の半径は内接円の半径の少なくとも2倍である（オイラーの三角形の不等式）。等号は正三角形の場合のみ成立する。^{[7] [8]}

Oと垂心 Hの間の距離は^{[9] [10]}

${\displaystyle {\overline {OH}}={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}$

重心 Gと9点中心 Nについては、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {IG}}&<{\overline {IO}},\\2{\overline {IN}}&<{\overline {IO}},\\{\overline {OI}}^{2}&=2R\cdot {\overline {IN}}.\end{aligned}}}$

辺a、b、cを持つ三角形の内接円の半径と外接円の半径の積は^[11]である。

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

円周半径R、辺a、b、c、中線 m _a、m _b、m _cから、^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}}$

中線m、標高h、内二等分線tがすべて円周半径Rの三角形の同じ頂点から発せられる場合、^[13]

${\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}$

カルノーの定理によれば、外心から3辺までの距離の合計は、外接半径と内接半径の合計に等しい。^[14]ここで、線分の長さは、その線分が完全に三角形の外側にある場合にのみ負であるとみなされる。

三角形が特定の2つの円を外接円と内接円として持つ場合、同じ外接円と内接円を持ち、外接円上の任意の点を頂点とする三角形が無数に存在する。（これはポンスレのポリズムのn = 3の場合である。）このような三角形が存在するための必要十分条件は、上記の等式である^[15]。${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.}$

同じ円上にある点の集合は同心円と呼ばれ、頂点が同心円である多角形は円状多角形と呼ばれます。すべての三角形は同心円ですが、一般に、3 辺を超える多角形は同心円ではありません。

環状多角形、特に 4 辺の環状四辺形には、さまざまな特殊な性質があります。特に、環状四辺形の反対角は補角です(合計すると 180° または π ラジアンになります)。

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• 半正三角形と半正三角形: ダイナミック ジオメトリ スケッチ、インタラクティブなダイナミック ジオメトリ スケッチにおける長方形と菱形のそれぞれの一般化。
• Weisstein、Eric W.「外接円」、「循環多角形」。MathWorld。
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