六角形

正六角形
正六角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	6
シュレーフリ記号	{6}、t{3}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 6）、順序2×6
内角（度）	120°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学において、六角形（ギリシア語の ἕξ、hexは「6」を意味し、γωνία、goníaは「角、角度」を意味する）は、6辺を持つ多角形である。^[1]任意の単純な（交差しない）六角形 の内角の合計は720°である。

正六角形はシュレーフリ記号{6} ^[2]で表され、2種類の辺が交互に並ぶ切頂 正三角形t{3}としても表される。

正六角形は、等辺かつ等角の六角形として定義されます。これは双心六角形であり、つまり、円状（外接円を持つ）かつ接線状（内接円を持つ） であることを意味します。

辺の共通の長さは、外接円または外接円の半径に等しく、これは、周長（内接円の半径）の倍に等しくなります。すべての内角は120度です。正六角形には、 6 つの回転対称性（6 次回転対称性）と 6 つの反射対称性（6 つの対称線）があり、二面体群D ₆を構成します。正六角形の最も長い対角線は、正反対の頂点を結び、 1 辺の長さの 2 倍になります。このことから、正六角形の中心に頂点があり、 1 辺を正六角形と共有する三角形は正三角形であり、正六角形は 6 つの正三角形に分割できることがわかります。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}}$

正方形や正三角形 と同様に、正六角形は隙間なくぴったりと合って平面を敷き詰めるため（3 つの六角形が頂点ごとに交わる）、モザイク細工の構築に役立ちます。蜂の巣の巣 のセルが六角形なのは、この理由と、その形状により空間と建築資材を効率的に使用できるためです。正三角格子のボロノイ図は、六角形のハニカムモザイク細工です。

最大直径（六角形の長い対角線に相当） Dは、最大半径または外接半径Rの 2 倍で、これは辺の長さt に等しくなります。最小直径または内接円の直径（平行辺の間隔、平面間の距離、短い対角線または平らな底面に置いたときの高さ）dは、最小半径または内接半径rの2 倍です。最大値と最小値は同じ係数によって関連しています。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}d=r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t}$   そして同様に、${\displaystyle d={\frac {\sqrt {3}}{2}}D.}$

正六角形の面積

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\[3pt]&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\[3pt]&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}.\end{aligned}}}$

正多角形の場合、面積は、円周長 aと周長pで表すこともできます。正六角形の場合、これらはa = r、pで表されます。 ${\displaystyle {}=6R=4r{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}}$

正六角形は、その外接円の一部を埋めます。 ${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270}$

正六角形に連続する頂点 A、B、C、D、E、F があり、B と C の間の外接円上の任意の点が P である場合、PE + PF = PA + PB + PC + PDとなります。

円周半径と内接半径の比から、正六角形の高さと幅の比は 1:1.1547005 であることがわかります。つまり、長い対角線が1.0000000 の六角形の場合、平行な辺間の距離は 0.8660254 または cos(30°) になります。

円周半径が の正六角形の平面上の任意の点について、正六角形の重心と6つの頂点までの距離がそれぞれと で ある場合、^[3]${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right).}$

正六角形の頂点からその外接円上の任意の点までの距離が[ ^3]${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.}$

正六角形はD ₆対称性を持つ。16 個の部分群がある。同型を除くと 8 個: それ自体 (D ₆ )、2 個: (D _3, D ₂ )、4個: (Z ₆ , Z ₃ , Z ₂ , Z ₁ )、および自明な (e) がある。

これらの対称性は、正六角形の 9 つの異なる対称性を表しています。ジョン・コンウェイは、これらを文字とグループの順序でラベル付けしています。^[4] r12 は完全な対称性で、a1 は対称性がありません。3つの鏡で構成された等角六角形p6 は、長辺と短辺が交互になることができます。d6 は、等しい辺の長さで構築された等角六角形ですが、頂点は 2 つの異なる内角が交互になります。これらの 2 つの形式は互いの双対であり、正六角形の半分の対称順序を持ちます。i4形式は、1 つの対称方向に沿って平坦化または引き伸ばされた正六角形です。これは細長い菱形と見なすことができ、d2とp2 は水平方向と垂直方向に細長い凧と見ることができます。反対側の辺が平行なg2六角形は、六角平行四辺形とも呼ばれます。

各サブグループの対称性により、不規則な形状に対して 1 つ以上の自由度が許可されます。g6サブグループのみ自由度はありませんが、有向エッジとして見ることができます。

対称六角形g2、i4、r12は平行四辺形として、平行移動によってユークリッド平面をタイル張りすることができます。その他の六角形は、異なる方向で平面をタイル張りすることができます。

単純リー群 A2の6つの根はディンキン図で表される。 は、正六角形のパターンになっています。2 つの単純ルートの間の角度は 120° です。

例外リー群 G2の12個の根。ディンキン図で表される。 も六角形のパターンになっています。2 つの長さの 2 つの単純ルートの間の角度は 150° です。

コクセターは、あらゆる六角形（向かい合う辺が平行で長さが等しい2 m角形）は1 ⁄ 2 m ( m − 1)の平行四辺形に分割できると述べています。^[5]特に、これは辺の数が同じ正多角形に当てはまり、その場合平行四辺形はすべて菱形になります。この正六角形の分解は、6 つの面のうち 3 つが正方形の立方体のペトリ多角形投影に基づいています。立方体のその他の平行四辺形と射影方向は、直方体内で分割されます。

正六角形のシュレーフリ記号は{6} です。正六角形は、正六角形のタイル張り{6,3} の一部であり、各頂点の周りに 3 つの六角形の面があります。

正六角形は、シュレーフリ記号 t{3} を持つ切頂 正三角形として作成することもできます。2 種類 (色) の辺で見ると、この形式は D ₃対称性のみを持ちます。

切頂六角形t{6} は、2 種類 (色) の辺が交互になっている12 角形{12} です。交互六角形 h{6} は正三角形{3} です。正六角形は、辺に正三角形を配置して星形にすることができ、六芒星を作成できます。正六角形は、中心点を追加することで 6 つの正三角形に分割できます。このパターンは、正三角形のタイリング内で繰り返されます。

正六角形は、その周りに正方形と正三角形を交互に追加することで、正十二角形に拡張できます。このパターンは、菱形三角形のタイリング内で繰り返されます。

正六角形の 頂点配置を持つ自己交差六角形は6 つあります。

ミツバチの巣からジャイアンツ・コーズウェイまで、六角形のパターンは効率性が高いため自然界に広く見られます。六角形の格子では、広い面積をできるだけ少ない六角形で埋めるために、各線は可能な限り短くなっています。つまり、ハニカムの構築に必要なワックスが少なく、圧縮時の強度が増すということです。

平行な向かい合った辺を持つ不規則な六角形は平行四辺形と呼ばれ、平行移動によって平面を敷き詰めることもできます。3 次元では、平行な向かい合った面を持つ六角柱は平行面体と呼ばれ、平行移動によって 3 次元空間を敷き詰めることができます。

平面の一意のタイル張りを決定する正六角形に加えて、コンウェイ基準を満たす不規則な六角形であれば、平面をタイル張りすることができます。

パスカルの定理（「六角形の神秘の定理」とも呼ばれる）は、任意の六角形が任意の円錐曲線に内接し、向かい合う辺のペアが出会うまで延長された場合、3 つの交点は直線、つまりその構成の「パスカル線」上に存在することを述べています。

ルモワーヌ六角形は、三角形の辺の 6 つの交点と、その対称点を通る辺に平行な 3 本の線によって頂点が決まる環状六角形 (円に内接する六角形)です。

環状六角形の連続する辺がa、b、c、d、e、fである場合、3つの主対角線が1点で交差するのは、ace = bdfの場合のみです。^[6]

環状六角形の各辺について、隣接する辺を交点まで延長して、その辺の外側に三角形を形成する場合、向かい合う三角形の外心を結ぶ線分は互いに等しい。^[7]

六角形が、鋭角三角形の外接円上の6つの点（三角形の頂点3つを含む）に頂点を持つ場合、六角形の面積は三角形の面積の2倍になります。^{[8] : p. 179}

ABCDEF を円錐曲線の6 本の接線によって形成される六角形とします。ブリアンションの定理によれば、3 つの主対角線 AD、BE、CF は 1 点で交差します。

円に接し、連続する辺a、b、c、d、e、fを持つ六角形において、^[9]

${\displaystyle a+c+e=b+d+f.}$

任意の六角形の各辺の外側に正三角形を作図すると、向かい合う三角形の重心を結ぶ線分の中点が別の正三角形を形成します。^{[10] : Thm. 1}

斜め六角形は、6 つの頂点と辺を持ちますが、同じ平面上に存在しない斜めの多角形です。このような六角形の内部は一般に定義されていません。斜めジグザグ六角形は、 2 つの平行な平面間で頂点が交互に配置されます。

正六角形は頂点推移的で辺の長さが等しい。3次元ではジグザグ六角形となり、同じ D _3d、[2 ⁺ ,6] 対称性、次数 12 の三角形の逆柱の頂点と側辺に見られる。

立方体と八面体（三角錐と同じ）は、ペトリ多角形として正六角形を斜めにしています 。

正斜交六角形は、次の斜交直交投影で示される高次元の正多面体、一様多面体、双対多面体および多面体のペトリー多角形です。

六角形の主対角線は、六角形を四辺形に分割する対角線である。共通の辺aを持つ任意の凸正六角形（すべての辺が等しい六角形）には、主対角線d 1が存在_し、[ ^{11] : p.184, #286.3}

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leq 2}$

そして主対角線d ₂は

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}.}$

正六角形のみでできたプラトン立体は存在しない。なぜなら、六角形はモザイク状になっており、その結果を「折り畳む」ことができないからである。六角形の面を持つアルキメデスの立体には、切頂四面体、切頂八面体、切頂二十面体（サッカーボールやフラーレンで有名）、切頂八面体、切頂二十二十十二面体がある。これらの六角形は切頂三角形とみなすことができ、コクセター図は次のようになる。そして。

ゴールドバーグ多面体G(2,0) のように、引き伸ばされたり平らになったりした六角形を持つ対称多面体も存在します。

正六角形を持つ ジョンソン立体も 9 個あります。

六角形を「六角形」と呼ぶべきかどうかの議論は、その語源に根ざしています。接頭辞「hex-」はギリシャ語の「hex」に由来し、6 を意味します。一方、「sex-」はラテン語の「sex」に由来し、これも 6 を意味します。一部の言語学者や数学者は、英語の数学用語の多くがラテン語に由来するため、「sexagon」の使用はこの伝統に沿うと主張しています。歴史的議論は、数学者が幾何学の用語を標準化し始めた 19 世紀にまで遡ります。しかし、「hexagon」という用語は一般的な用法や学術文献で広く使われており、「sexagon」の歴史的議論にもかかわらず、数学用語における地位を固めています。ギリシャ語に由来し、数学で確立された使用法を反映して、「hexagon」が適切な用語であるという意見が依然として一致しています ( Numeral_prefix#Occurrences を参照)。

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• Weisstein、Eric W.「Hexagon」。MathWorld。

• インタラクティブなアニメーションとコンパスと定規を使用した六角形の定義と特性。
• 六角形数学に特化したウェブサイト Hexnet の六角形幾何学入門。
• 六角形はYouTubeの Bestagons です。これは、CGP Greyによる六角形に関するアニメーション インターネット ビデオです。