チェス盤のパラドックス

チェス盤のパラドックス^{[1] [2]}またはロイドとシュレミルヒのパラドックス^[3]は、目の錯覚に基づく偽のパラドックスです。チェス盤、つまり 8 単位の辺を持つ正方形を 4 つに切ります。これらの 4 つのピースを使用して、辺の長さが 13 単位と 5 単位の長方形を形成します。したがって、4 つのピースすべてを合わせた面積は、正方形では 64 単位ですが、長方形では 65 単位の面積になります。この一見矛盾しているように見える理由は、4 つのピースが長方形にぴったり収まらず、長方形の対角線の周囲にほとんど見えない小さな隙間が残るため、目の錯覚によるものです。このパラドックスは、アメリカのパズル発明家サム・ロイド(1841–1911) とドイツの数学者オスカー・シュレミルヒ (1832–1901) に帰せられることがあります。

よく見ると、4つのピースはぴったりとは合わず、長方形の対角線の周りにかろうじて見える小さな隙間が残っていることがわかります。この隙間は平行四辺形の形状をしており、対角線の大きさが等しいことを示すことで確認できます。^[4]${\displaystyle DEBF}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle FDE&=90^{\circ }-\angle FDG-\angle EDI\\[6pt]&=90^{\circ }-\arctan \left({\frac {|EI|}{|DI|}}\right)-\arctan \left({\frac {|FG|}{|DG|}}\right)\\[6pt]&=90^{\circ }-\arctan \left({\frac {|5}{2}}\right)-\arctan \left({\frac {3}{8}}\right)\\[6pt]&=90^{\circ }-\arctan \left({\frac {|FJ|}{|BJ|}}\right)-\arctan \left({\frac {|EH|}{|BH|}}\right)\\[6pt]&=90^{\circ }-\angle FBJ-\angle EBH\\[6pt]&=\angle FBE\approx 1.24536^{\circ }\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle DEB&=360^{\circ }-\angle DEI-\angle IEH-\angle EBH\\[6pt]&=360^{\circ }-\arctan \left({\frac {|DI|}{|EI|}}\right)-90^{\circ }-\arctan \left({\frac {|DG|}{|FG|}}\right)\\[6pt]&=360^{\circ }-\arctan \left({\frac {|2}{5}}\right)-90^{\circ }-\arctan \left({\frac {8}{3}}\right)\\[6pt]&=360^{\circ }-\arctan \left({\frac {|BJ|}{|FJ|}}\right)-90^{\circ }-\arctan \left({\frac {|BH|}{|EH|}}\right)\\[6pt]&=360^{\circ }-\angle BFJ-\angle JFG-\angle GFD\\[6pt]&=\angle DFB\approx 178.75464^{\circ }\end{aligned}}}$

長方形に沿って 4 つのピースを正確にフィットさせるには、平行四辺形を線分に折りたたむ必要があります。つまり、次のサイズが必要になります。

${\displaystyle \angle FBE=\angle FDE=0^{\circ}}$

${\displaystyle \angle DFB=\angle DEB=180^{\circ}}$

実際の角度はこれらの値からわずかにずれているだけなので、平行四辺形が単なる線分であり、各部分がぴったり合っているかのような錯覚が生まれます。^[4]あるいは、反応角を座標系に配置し、辺の傾きやベクトル表現を比較することで平行性を検証することもできます。

平行四辺形の辺の長さと対角線は次のとおりです。

${\displaystyle |DE|=|FB|={\sqrt {2^{2}+5^{2}}}={\sqrt {29}}}$

${\displaystyle |DF|=|EB|={\sqrt {3^{2}+8^{2}}}={\sqrt {73}}}$

${\displaystyle |EF|={\sqrt {1^{2}+3^{2}}}={\sqrt {10}}}$

${\displaystyle |DB|={\sqrt {5^{2}+13^{2}}}={\sqrt {194}}}$

ヘロンの公式を使うと、平行四辺形（）の半分の面積を計算することができる。半分の円周は ${\displaystyle \triangle DFG}$

${\displaystyle s={\frac {|EF|+|DE|+|DF|}{2}}={\frac {{\sqrt {10}}+{\sqrt {29}}+{\sqrt {73}}}{2}}}$

平行四辺形全体の面積は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=2\cdot {\sqrt {s\cdot (s-|EF|)\cdot (s-|DE|)\cdot (s-|DF|)}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {({\sqrt {10}}+{\sqrt {29}}+{\sqrt {73}})\cdot (-{\sqrt {10}}+{\sqrt {29}}+{\sqrt {73}})\cdot ({\sqrt {10}}-{\sqrt {29}}+{\sqrt {73}})\cdot ({\sqrt {10}}+{\sqrt {29}}-{\sqrt {73}})}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot 2\\[5pt]&=1\end{aligned}}}$

したがって、隙間の面積は長方形の追加面積とまったく同じになります。

最後の章の図に現れる線分の長さは 2、3、5、8、13 です。これらはすべて連続したフィボナッチ数であり、フィボナッチ数に基づく分解スキームの一般化を示唆しています。フィボナッチ数の特性は、なぜこの錯覚がうまく機能するのかというより深い洞察も提供します。フィボナッチ数と同じ長さの正方形は、チェス盤が長さ 8、5、3の線分を使用して分解されたのと同じように、長さの線分を使用して分解できます(図を参照)。 ^[4]${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f_{n},f_{n-1},f_{n-2}}$

カッシーニの正体は次のように記されている: ^[4]

${\displaystyle f_{n+1}\cdot f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}}$

このことから、正方形と長方形の面積の差は常に 1 面積単位でなければならないことがすぐにわかります。特に、元のチェス盤のパラドックスの場合、次のようになります。

${\displaystyle 13\cdot 5-8^{2}=f_{7}\cdot f_{5}-f_{6}^{2}=(-1)^{6}=1}$

不均等なインデックスの場合、正方形の面積は 1 面積単位小さくなるのではなく、大きくなることに注意してください。この場合、4 つのピースを長方形に組み立てたときに小さな隙間ができるのではなく、わずかに重なり合います。面積の差は常に 1 面積単位なので、より大きなフィボナッチ数を使用して視覚的な錯覚を改善し、長方形の面積に対する隙間の割合を任意に小さくして、実用上は見えなくすることができます。 ${\displaystyle n}$

隣接するフィボナッチ数列の比率は黄金比 に対してかなり速く収束するため、次の比率も同様に速く収束します。 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {f_{n}}{f_{n-2}}}={\frac {f_{n}}{f_{n-1}}}\cdot {\frac {f_{n-1}}{f_{n-2}}}\rightarrow \varphi ^{2},\,{\frac {f_{n-2}}{f_{n}}}={\frac {f_{n-2}}{f_{n-1}}}\cdot {\frac {f_{n-1}}{f_{n}}}\rightarrow \varphi ^{-2}}$

正方形の 4 つの切り抜き部分がぴったりと収まって長方形を形成するには、小さな平行四辺形が 長方形の対角線となる線分に収束する必要があります。この場合、長方形の角度は平行線の対応する角度 であるため、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle DEBF}$

${\displaystyle \angle IDE=\angle HEB}$、、、​​${\displaystyle \angle DEI=\angle EBH}$${\displaystyle \angle FDG=\angle BFJ}$${\displaystyle \angle GFD=\angle JBF}$

その結果、次の直角三角形、 、 は相似であり、その辺の比は同じでなければなりません。 ${\displaystyle \triangle IED}$${\displaystyle \triangle HBE}$${\displaystyle \triangle DFG}$${\displaystyle \triangle FBJ}$

前述のように収束が速いため、組み立てられた長方形内のフィボナッチ数の比率はほぼ同じになります。^[4]

${\displaystyle {\frac {f_{n}}{f_{n-2}}}\approx {\frac {f_{n-1}}{f_{n-3}}},\,{\frac {f_{n-2}}{f_{n}}}\approx {\frac {f_{n-3}}{f_{n-1}}}}$

したがって、それらはほぼぴったりと合うため、視覚的な錯覚が生まれます。

元のチェス盤の分析と同様に、平行四辺形の角度を見ることもできます。これらの角度については、次の式を導き出すことができます。^[4]

${\displaystyle n\geq 4:\quad \angle FBE=\angle FDE=\arctan \left({\frac {1}{f_{2n-3}+2f_{n-3}f_{n-2}}}\right)\rightarrow 0^{\circ }}$

${\displaystyle n\geq 4:\quad \angle DFB=\angle DEB=180^{\circ }-\arctan \left({\frac {1}{f_{2n-3}+2f_{n-3}f_{n-2}}}\right)\rightarrow 180^{\circ }}$

したがって、角度は正確な適合に必要な値に急速に収束します。

しかし、面積の不一致を生じさせずに分割スキームを使用することは可能です。つまり、4つの切り抜きが正方形と同じ面積の長方形に正確に組み合わされます。フィボナッチ数を使用する代わりに、黄金比自体に直接分割を基づきます（図を参照）。辺の長さが正方形の場合、長方形の面積は次のようになります。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle (\varphi -1)a\cdot (\varphi a)=(\varphi ^{2}-\varphi )a^{2}=a^{2},}$

は黄金比の性質である。^[5]${\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi =1}$

フーパーのパラドックスはチェスのパラドックスの前身とみなすことができます。そこには、長方形に組み立てられた 4 つの駒の同じ図形がありますが、4 つの駒の元となる切断された形状はまだ正方形ではなく、関係する線分もフィボナッチ数に基づいていません。フーパーは、現在彼の名にちなんで名付けられているこのパラドックスを、著書「合理的レクリエーション」の中で「幾何学的貨幣」という名前で発表しました。しかし、これは彼の発明ではなく、彼の著書は基本的に1769 年にフランスで出版されたエドメ・ジル・ギヨ(1706–1786)の 「 Nouvelles récréations physiques et mathétiques」の翻訳でした。 ^[1]

実際のチェスのパラドックスに関する最初の出版物は、ドイツの数学者オスカー・シュレーミルヒによるものです。彼は1868年にドイツの科学雑誌Zeitschrift für Mathematik und Physikに「 Ein geometrisches Paradoxon （幾何学的パラドックス）」 というタイトルで発表しました。同じ雑誌で、ヴィクトール・シュレーゲルは1879年に「幾何学的パラドックスの一般化」という記事を発表し 、その中で構造を一般化し、フィボナッチ数列との関連を指摘しました。チェス盤のパラドックスは、イギリスの数学者で作家のルイス・キャロルも好んでいたもので、キャロルも一般化に取り組んでいましたが、それを発表しませんでした。これは後に彼の死後にメモで発見されました。アメリカのパズル発明家サム・ロイドは、1858年の世界チェス会議でチェス盤のパラドックスを発表したと主張し、後にサム・ロイドの『5,000のパズル、トリック、難問百科事典』（1914年）に収録され、死後に同名の息子によって出版された。息子は、4つのピースを63の面積単位の図形に組み立てるのは自分のアイデアだと述べた（上の図を参照）。しかし、これはすでに1901年に ウォルター・デクスターのポストカードパズルという記事で発表されていた。 ^{[1] [6]}

• 欠けている四角形のパズル

• ジャン＝ポール・ドラエー：「パラドックスを支払う」。 Humensis、2014、ISBN 9782842451363 (フランス語) 
• ミオドラグ・ペトコビッチ『偉大な数学者たちの有名なパズル』AMS、2009年、ISBN 9780821848142、pp. 14、30–31 
• AF Horadam: 「フィボナッチ数列と幾何学的パラドックス」。Mathematics Magazine、vol. 35、no. 1 (1962 年 1 月)、pp. 1–11 (JSTOR)
• デイビッド・シングマスター：「消失領域パズル」。レクリエーション数学マガジン、第 1 号、2014 年 3 月
• ジョン・F・ラム・ジュニア：「ラグカットパズル」。『数学教師』第80巻第1号（1987年1月）、12～14ページ（JSTOR）
• ウォーレン・ウィーバー：「ルイス・キャロルと幾何学的パラドックス」。アメリカ数学月刊誌、第45巻第4号（1938年4月）、234～236ページ（JSTOR）
• オスカー・シュレーミルヒ：「幾何学のパラドクソン」。掲載内容:数学と物理学の時代、vol. 13、1868、p. 162 (ドイツ語)
• ヴィクトル・シュレーゲル：「Verallgemeinerung eines geometrischen Paradoxons」。掲載内容:数学と物理学の時代、vol. 24、1879、123–128 ページ (ドイツ語)

ウィキメディア・コモンズには、 Missing square パズルに関連するメディアがあります。

• ジグソーパラドックス
• Weisstein、Eric W.「Dissection Fallacy」。MathWorld。