基本的な周期のペア

数学において、基本周期対は、複素平面上の格子を定義する複素数の順序付き対です。このタイプの格子は、楕円関数とモジュラー形式を定義する基礎となるオブジェクトです。

周期の基本ペアは、その比が実数ではない複素数のペアです。 のベクトルとして考えると、2つは線形独立です 。とによって生成される格子は、${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \omega _{2}/\omega _{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \Lambda =\left\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

この格子は、およびに依存することを明確にするために と表記されることもあります。また、 または、あるいは単に と表記されることもあります。 2 つの生成元と は、格子基底と呼ばれます。頂点を持つ平行四辺形は、基本平行四辺形と呼ばれます。 ${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}.}$${\displaystyle \Omega {\vphantom {(}}}$${\displaystyle \Omega (\omega _{1},\omega _{2}),}$${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2}).}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle (0,\omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2},\omega _{2})}$

基本ペアは格子を生成しますが、格子には一意の基本ペアは存在しません。実際、無限の数の基本ペアが同じ格子に対応します。

以下にリストされているいくつかのプロパティを確認できます。

2組の複素数とが 同じ格子を生成する場合、それらは同値であると呼ばれます。つまり、${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})}$${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\Lambda (\alpha _{1},\alpha _{2}).}$

基本平行四辺形には、その内部または境界にそれ以上の格子点が含まれません。逆に、この特性を持つ格子点のペアはどれも基本ペアを構成し、さらに同じ格子を生成します。

2つのペアとが同値なのは、 2 × 2行列に整数要素と行列式が存在し、 ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})}$${\textstyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}},}$

つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}=a\omega _{1}+b\omega _{2},\\[5mu]\alpha _{2}=c\omega _{1}+d\omega _{2}.\end{aligned}}}$

この行列はモジュラー群 に属します。この格子の同値は、楕円関数(特にワイエルシュトラスの楕円関数) とモジュラー形式 の多くの特性の基礎となるものと考えることができます。${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} ).}$

アーベル群は 複素平面を基本平行四辺形に写像します。つまり、基本平行四辺形内の 点を持つ整数に対して、すべての点をと表すことができます。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z=p+m\omega _{1}+n\omega _{2}}$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle p}$

このマッピングは平行四辺形の反対側の辺が同じであると特定するため、基本平行四辺形はトーラスの位相を持ちます。同様に、商多様体はトーラスであると言えます。 ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

を半周期比と定義します。すると、格子基底は常に、基本領域と呼ばれる特別な領域内に存在するように選択できます。あるいは、格子基底を別の基底にマッピングし、基本領域内に存在する ような射影特殊線型群の要素が常に存在します。${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \tau}$

基本領域は、集合と境界の一部で構成される集合によって与えられます。${\displaystyle D,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

上半平面はどこにあるか。 ${\displaystyle H}$

次に、左側の境界と下部の弧の半分を追加して 基本領域を構築します。${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,\operatorname {Re} (z)=-{\tfrac {1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,\operatorname {Re} (z)\leq 0\right\}.}$

該当するケースは 3 つあります。

• かつの場合、基本領域に同じ を持つ格子基底がちょうど 2 つ存在する。${\displaystyle \tau \neq i}$${\textstyle \tau \neq e^{i\pi /3}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle (-\omega _{1},-\omega _{2}).}$
• の場合、4つの格子基底は同じです。つまり、上記の2つ、および、${\displaystyle \tau =i}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle (-\omega _{1},-\omega _{2})}$${\displaystyle (i\omega _{1},i\omega _{2})}$${\displaystyle (-i\omega _{1},-i\omega _{2}).}$
• の場合、 、、およびそれらの負の値を持つ 6 つの格子基底が存在します。${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}}$${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle (\tau \omega _{1},\tau \omega _{2})}$${\displaystyle (\tau ^{2}\omega _{1},\tau ^{2}\omega _{2})}$

基本領域の閉包において：そして${\displaystyle \tau =i}$${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}.}$

• 格子と基本対にはいくつかの代替表記法があり、代わりに使用されることが多い。たとえば、ノーム、楕円係数、四分の一周期、半周期比に関する記事を参照。
• 楕円曲線
• モジュラー形式
• エイゼンシュタインシリーズ

• Tom M. Apostol、 「Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory」（1990 年）、Springer-Verlag、ニューヨーク。ISBN 0-387-97127-0  （第 1 章と第 2 章を参照。）
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002)、Springer-Verlag、ニューヨーク。ISBN 3-540-43299 -X (第 2 章を参照)