接線四辺形

ユークリッド幾何学において、接線四辺形（接線四辺形と呼ばれることもある）または外接四辺形は、すべての辺が四辺形内の単一の円に接することができる凸 四辺形である。この円は四辺形の内接円または内接円と呼ばれ、中心は内心、半径は内接半径と呼ばれる。これらの四辺形は内円を囲むか外接するように描くことができるため、外接可能四辺形、外接四辺形、外接可能四辺形とも呼ばれる。^{[1]接線四辺形は}接多角形の特殊なケースである。

このクラスの四辺形には、他にあまり使用されない名前として、内接四辺形、内接可能四辺形、円周四辺形、共円周四辺形などがあります。^{[1] [2]}円周四辺形や内接四辺形と呼ばれる外接円を持つ四辺形と混同する恐れがあるため、最後の5つの名前は使用しないことをお勧めします。^[1]

すべての三角形は内接円を持つことができますが、すべての四辺形がそうであるわけではありません。接線を形成できない四辺形の例としては、正方形でない長方形があります。以下のセクションの特徴付けでは、四辺形が内接円を持つために満たさなければならない必要条件と十分条件について説明します。

接線四辺形の例としては凧形が挙げられ、凧形には菱形が含まれ、菱形には正方形が含まれます。凧形はまさに接線四辺形であり、また直交対角線でもあります。^[3]直凧形は外接円を持つ凧形です。四辺形が接線かつ円環である場合は二心四辺形と呼ばれ、接線かつ台形である場合は接線台形と呼ばれます。

接線四辺形では、4つの角の二等分線が内接円の中心で交わります。逆に、4つの角の二等分線が1点で交わる凸四辺形は接線であり、共通点は内心です。^[4]

ピトーの定理によれば、接線四辺形の2組の向かい合う辺の合計長さは同じになり、これは四辺形の 半周長 sに等しくなります。

${\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.}$

逆にa + c = b + dとなる凸四辺形は必ず接線となる。^{[1] : p.65  [4]}

凸四辺形ABCD （台形ではない）の反対側の辺がEとFで交差する場合、その四辺形が接線となるのは、次のいずれかの場合のみである。 ^[4]

${\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF}$

または

${\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC:}$

もう一つの必要十分条件は、凸四辺形ABCDが接線であるのは、2つの三角形ABCとADCの内接円が互いに接している場合のみであるということです。 ^{[1] ：p.66}

対角線BDと四辺形ABCDの4辺によって形成される角度に関する特徴付けは、イオシフェスクによるものである。彼は1954年に、凸四辺形に内接円が存在するのは、 ^[5]の場合のみであることを証明した。

${\displaystyle \tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.}$

さらに、連続する辺a、b、c、dを持つ凸四辺形が接線となるのは、

${\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}$

ここで、R _a、R _b、R _c、R _{d は}それぞれ辺a、b、c、dに外接する円の半径と、各辺の隣接する2辺の延長線である。^{[6] : p.72}

対角線によって形成される 4 つの部分三角形には、さらにいくつかの特徴が知られています。

内接円は、各辺と 1 つの接点で接します。これらの 4 つの点は、最初の四辺形の内側に新しい四辺形を定義します。接触四辺形は、最初の四辺形の内接円に内接するため、循環的です。

接線四辺形の8 つの接線長(右の図のe、f、g、h ) は、頂点から接点までの線分です。各頂点からは、等しい2 つの接線長があります。

接線四辺形の2 つの接線弦(図のkとl ) は、反対側の接触点を結ぶ線分です。これらは接触四辺形の 対角線でもあります。

接線四辺形の面積Kは次のように 表される。

${\displaystyle \displaystyle K=r\cdot s,}$

ここでsは半周長、rは内接円の半径である。別の式は^{[7]である。}

${\displaystyle \displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}}$

これは、接線四辺形の 対角線p、qと辺a、b、c、dに基づいて面積を与えます。

面積は4つの接線の長さだけで表すこともできる。これらがe、f、g、hの場合、接線四辺形の面積は^{[3]となる。}

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}$

さらに、接線四辺形の面積は、辺a、b、c、dと、それに続く接線の長さe、f、g、hで次のように表すことができます^{[3] ：p.128}

${\displaystyle K={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.}$

eg = fhとなるのは接線四辺形も巡回的であり、したがって双心的である場合のみであるため、 ^[8]は、最大面積は接線四辺形が双心的である場合にのみ発生することを示しています。 ${\displaystyle {\sqrt {abcd}}}$

辺a、b、c、dと2つの反対角による面積の三角法の公式は^{[7] [9] [10] [11]である。}

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

辺の長さが与えられた場合、面積が最大となるのは四辺形が円周状でもあり、したがって二心四辺形であるときである。このとき、対角は補角である。これは微積分を使って別の方法で証明することもできる。^[12]${\displaystyle K={\sqrt {abcd}}}$

二つの反対角を含む接線四辺形ABCDの面積の別の公式は^{[10] ：p.19 である。}

${\displaystyle K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin {\frac {A+C}{2}}}$

ここで、I は内心です。

実際、面積は2つの隣接する辺と2つの反対の角度だけで表すことができます^[7]

${\displaystyle K=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

さらにもう一つの面積公式は^[7]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,}$

ここで、θ は対角線間の角度のいずれかです。接線四辺形が凧形の場合、θは 90° であり、正接関数は定義されないため、この式は使用できません。

上で間接的に述べたように、 a、b、c、dの辺を持つ接線四辺 形の面積は、

${\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}}}$

二心四辺形である場合に限り、等しい。

TAイワノバ（1976年）によれば、接線四辺形の 半周長sは

${\displaystyle s\geq 4r}$

ここでrは内接円である。四辺形が正方形である場合にのみ等式が存在する。^[13]これは、面積K = rsに対して不等式が存在することを意味する。

${\displaystyle K\geq 4r^{2}}$

接線四辺形が正方形である場合にのみ等しくなります。

内接円の中心と四辺形に接する点との間の 4 つの線分は、四辺形を 4 つの直角三角形に分割します。

接線四辺形を面積と周長が等しい2つの多角形に切る線は内心を通ります。^[4]

連続する辺a、b、c、dを持つ接線四辺形の内接円の半径は^[7]で与えられる。

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {K}{a+c}}={\frac {K}{b+d}}}$

ここで、Kは四辺形の面積、s はその半周長です。辺が与えられた接線四辺形の場合、内接円の半径は、四辺形が円周でもあるとき（つまり二心四辺形であるとき）に最大になります。

接線の長さに関して、内接円の半径は^{[8]である：補題2  [14]}

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}$

内接円半径は、内心Iから接線四辺形ABCDの頂点までの距離で表すこともできます。u = AI、v = BI、x = CI、y = DIとすると、

${\displaystyle r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}}$

ここで。^[15]${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)}$

三角形ABC、BCD、CDA、DABの内接円がそれぞれ半径を持つ場合、接線四辺形ABCDの内接円の半径は次のように表される。 ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}}$

${\displaystyle r={\frac {G+{\sqrt {G^{2}-4r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}{2(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}$

ここで。^[16]${\displaystyle G=r_{1}r_{2}r_{3}+r_{2}r_{3}r_{4}+r_{3}r_{4}r_{1}+r_{4}r_{1}r_{2}}$

e、f、g、h がそれぞれ頂点A、B、C、Dから内接円が接四辺形ABCDの辺に接する点までの接線の長さである場合、四辺形の角度は^[3]から計算できます。

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}} 、}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}} 、}$

${\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}} 、}$

${\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}} 。}$

接線kとlの間の角度は^[3]で与えられる。

${\displaystyle \sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+ h)(h+e)}}}.}$

e 、f、g、hをそれぞれA、B、C、Dから内接円が接四辺形ABCDの辺に接する点までの接線の長さとすると、対角線の長さp = ACとq = BDは^[8]である^。補題3

${\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$

${\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.}$

e、f、g、hが接線四辺形の接線長である場合、接線弦の長さは^[3]

${\displaystyle \displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}}}$

ここで、長さkの接線弦は長さa = e + fとc = g + hの辺を結び、長さlの接線弦は長さb = f + gとd = h + eの辺を結びます。接線弦の二乗比は^{[3]を満たします。}

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.}$

2つの接線弦

• 接線四辺形が外接円を持つ場合（つまり、双心四辺形の場合）に限り、2辺は直交する。[ ^{3] : p.124}
• 接線四辺形が凧形である場合に限り、長さが等しい。^{[17] ：p.166}

接線四辺形ABCDの辺ABと辺CDの間の接線が辺BCと辺DAの間の接線より長いのは、辺ABと辺CDの間の二中線が辺BCと辺DAの間の二中線より短い場合に限られる。^{[18] : p.162}

接線四辺形ABCDがAB上に接点Wを持ち、CD上に接点Yを持ち、接線弦WYが対角線BDとMで交差する場合、接線の長さの比は対角線BDの線分の比に等しくなります。^[19]${\displaystyle {\tfrac {BW}{DY}}}$${\displaystyle {\tfrac {BM}{DM}}}$

M ₁とM _{2 が}、内心をIとする接線四辺形ABCDの対角線ACとBDの中点であり、向かい合う辺のペアがJとKで交わり、 M _{3 が}JKの中点である場合、点M ₃、M ₁、I、およびM ₂は同一線上にあります。^{[4] : p.42}これらを含む直線が四辺形の ニュートン線です。

接線四辺形の対辺の延長線がJとKで交差し、接触四辺形の対辺の延長線がLとMで交差する場合、4点J、L、K、M は同一線上にあります。^{[20] : Cor.3}

内接円が辺AB、BC、CD、DAにそれぞれT ₁、T ₂、T ₃、T ₄で接し、 N ₁、N ₂、N ₃、N ₄がこれらの点の対応する辺に対する等方共役である場合（つまり、AT ₁ = BN ₁など）、接線四辺形のナーゲル点は線分N ₁ N ₃と線分N ₂ N ₄の交点として定義されます。これらの線は両方とも、四辺形の周囲を2つの等しい部分に分割します。さらに重要なのは、ナーゲル点N、"面積の重心" G、および内心I がこの順序で同一直線上にあり、NG = 2 GIであることです。この線は接線四辺形のナーゲル線と呼ばれます。 ^[21]

内心Iを持ち対角線がPで交わる接線四辺形ABCDにおいて、三角形AIB、BIC、CID、DIAの垂心をH _X、H _Y、H _Z、H _Wとする。すると点P、H _X、H _Y、H _Z、H _Wは同一線上にある。^{[10] : p.28}

2 つの対角線と 2 つの接線は互いに交わる。^{[11] [10] : p.11}これを捉える 1 つの方法は、ブリアンションの定理の極限ケースとして捉えることである。ブリアンションの定理は、すべての辺が単一の円錐曲線に接する六角形には、1 点で交わる 3 つの対角線があるというものである。接線四辺形から、2 つの新しい頂点を 2 つの反対の接点に配置することで、2 つの 180° の角度を持つ六角形を形成できる。この六角形の 6 つの辺はすべて、内接円に接する線上にあるため、対角線は 1 点で交わる。しかし、これらの対角線のうち 2 つは接線四辺形の対角線と同じであり、六角形の 3 番目の対角線は 2 つの反対の接点を通る線である。この同じ議論を他の 2 つの接点で繰り返すと、結果の証明が完了する。

接線四辺形の対辺の延長線がJとKで交差し、対角線がPで交差する場合、JKはIPの延長線に垂直であり、Iは内心である。^{[20] : Cor.4}

接線四辺形の内心はニュートン線（対角線の中点を結ぶ線）上にある。^{[22] : Thm. 3}

^{接線四辺形の2辺の比は、 [10]}に従って内心Iと頂点間の距離で表すことができる^：p.15

${\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {IA\cdot IB}{IC\cdot ID}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {IB\cdot IC}{ID\cdot IA}}.}$

内心Iを持つ接線四辺形ABCDの2つの隣接する辺の積は^[23]を満たす。

${\displaystyle AB\cdot BC=IB^{2}+{\frac {IA\cdot IB\cdot IC}{ID}}.}$

Iが接線四辺形ABCDの内心である場合、^{[10] ：p.16}

${\displaystyle IA\cdot IC+IB\cdot ID={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.}$

接線四辺形ABCDの内心Iが四辺形の「頂点重心」と一致するのは、^{[10] : p.22 の場合のみである。}

${\displaystyle IA\cdot IC=IB\cdot ID.}$

M _pとM _qがそれぞれ内心Iを持つ接線四辺形ABCDの対角線ACとBDの中点である場合、^{[10] ：p.19  [24]}

${\displaystyle {\frac {IM_{p}}{IM_{q}}}={\frac {IA\cdot IC}{IB\cdot ID}}={\frac {e+g}{f+h}}}$

ここで、e、f、g、h はそれぞれA、B、C、Dにおける接線の長さです。最初の等式と前の性質を組み合わせると、接線四辺形の「頂点の重心」は、内心が対角線の中点を結ぶ線分の中点である場合に限り、内心と一致します。

4節リンク機構が接線四辺形の形で作られている場合、リンク機構がどのように曲げられても、四辺形が凸状のままであれば、接線は維持されます。 ^{[25] [26]}（したがって、たとえば、正方形が菱形に変形された場合、より小さな内接円ではありますが、接線は維持されます）。1辺が固定位置に保持されている場合、四辺形が曲げられると、内心は半径の円を描きます。ここで、a、b、c、dは順番に並んでいる辺であり、sは半周です。 ${\displaystyle {\sqrt {abcd}}/s}$

凸四辺形ABCDの対角線によって形成される重なり合わない三角形APB、BPC、CPD、DPAにおいて、対角線がPで交差する場合、接線四辺形の次の特徴があります。

r ₁、r ₂、r ₃、r _{4 はそれぞれ4つの三角形}APB、BPC、CPD、DPAの内接円の半径を表すものとする。チャオとシメオノフは、四辺形が接線であることは^[27]の場合にのみ証明した。

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.}$

_{この特徴づけは}、すでに5年前にヴァインシュテインによって証明されていた。^{[17] : p.169  [28]} 彼の問題の解決において、同様の特徴づけがヴァシリエフとセンデロフによって与えられた。h 1、h ₂、h ₃、h _{4 が同じ4つの三角形の}高さ（対角線の交点から四辺形の辺まで）を表す場合、四辺形が接線であるのは、次の場合のみである。 ^{[5] [28]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}.}$

同様の特徴付けは、同じ4つの三角形の外半径 r _a、r _b、r _c、r _dに関するものである（4つの外円はそれぞれ四辺形の1辺と対角線の延長線に接している）。四辺形が接線であるのは、^{[1] : p.70 のときのみである。}

${\displaystyle {\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{c}}}={\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{d}}}.}$

R ₁、R ₂、R ₃、R ₄がそれぞれ三角形APB、BPC、CPD、DPAの外接円の半径を表す場合、四辺形ABCDが接線となるのは、 ^{[29] : pp. 23–24 の}場合のみである。

${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}$

1996 年、Vaynshtejn はおそらく接線四辺形の別の美しい特徴付けを最初に証明した人物であり、これは後にいくつかの雑誌やウェブサイトに掲載されました。^{[1] : pp. 72–73}それによれば、凸四辺形が 2 つの対角線によって 4 つの重なり合わない三角形に分割される場合、4 つの三角形の内心が共円となるのは、四辺形が接している場合に限ります。実際、内心は直交対角の巡回四辺形を形成します。^{[1] : p.74}関連する結果として、内接円は同じ三角形の外円と交換できます (四辺形の辺と対角線の延長線に接します)。したがって、凸四辺形が接線となるのは、これら 4 つの外円の外心が巡回四辺形の頂点である場合に限ります。^{[1] : p. 73}

対角線がPで交わる凸四辺形ABCDが接線である必要十分条件は、頂点 B と D に対向する三角形 APB 、 BPC 、 CPD 、 DPA の 4 つの外心が同心円状になることである。[1] : p. 79 R a 、 R b 、 R c 、 R d がそれぞれ頂点BとDに対向する三角形APB、BPC、^{CPD 、} DPA_の外半径_である場合_、別の_条件として、四辺形が接線である必要十分条件は、[ ^{1] : p. 80}

${\displaystyle {\frac {1}{R_{a}}}+{\frac {1}{R_{c}}}={\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{d}}}.}$

さらに、対角線がPで交差する凸四辺形ABCDが接線となるのは、^[5]

${\displaystyle {\frac {a}{\triangle (APB)}}+{\frac {c}{\triangle (CPD)}}={\frac {b}{\triangle (BPC)}}+{\frac {d}{\triangle (DPA)}}}$

ここで∆( APB )は三角形APBの面積です。

対角線交点Pが対角線ACを分割する線分をAP = p ₁、PC = p ₂と表し、同様にPが対角線BDを分割する線分をBP = q ₁、PD = q ₂と表す。このとき、四辺形が接線であるためには、次の等式のいずれかが成り立つ必要がある。^[30]

${\displaystyle ap_{2}q_{2}+cp_{1}q_{1}=bp_{1}q_{2}+dp_{2}q_{1}}$

または^{[1] :p.74}

${\displaystyle {\frac {(p_{1}+q_{1}-a)(p_{2}+q_{2}-c)}{(p_{1}+q_{1}+a)(p_{2}+q_{2}+c)}}={\frac {(p_{2}+q_{1}-b)(p_{1}+q_{2}-d)}{(p_{2}+q_{1}+b)(p_{1}+q_{2}+d)}}}$

または^{[1] :p.77}

${\displaystyle {\frac {(a+p_{1}-q_{1})(c+p_{2}-q_{2})}{(a-p_{1}+q_{1})(c-p_{2}+q_{2})}}={\frac {(b+p_{2}-q_{1})(d+p_{1}-q_{2})}{(b-p_{2}+q_{1})(d-p_{1}+q_{2})}}.}$

接線四辺形は、その対角が等しい場合にのみ菱形となる。 ^[31]

接線四辺形が凧型となるのは、以下の条件のうち1つが真である場合に限ります。^[17]

• 面積は対角線の積の半分です。
• 対角線は垂直です。
• 反対側の接点を結ぶ 2 つの線分の長さは等しくなります。
• 1 組の反対側の接線の長さは等しい長さです。
• 二中線の長さは等しい。
• 対辺の積は等しい。
• 内接円の中心は対称軸である対角線上にあります。

内接円がそれぞれW、X、Y、Zで辺AB、BC、CD、DAに接している場合、接線四辺形ABCDも、次の条件のいずれかが満たされる場合にのみ、巡回四辺形（したがって双心四辺形）である：^{[2] [3] ：p.124  [20]}

• WYはXZに垂直です
• ${\displaystyle AW\cdot CY=BW\cdot DY}$
• ${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}}$

これら 3 つのうち最初のものは、接触四辺形 WXYZが直交対角四辺形であることを意味します。

接線四辺形が双心四辺形であるためには、その内接半径が、同じ一連の辺の長さを持つ他の接線四辺形の内接半径よりも大きい必要がある。^{[32] : pp.392–393}

内接円がそれぞれWとYで辺ABとCDに接する場合、接線四辺形ABCDがABとCDが平行な台形であるための必要十分条件は^{[33] ：Thm. 2}

${\displaystyle AW\cdot DY=BW\cdot CY}$

そしてADとBCが台形の平行辺である場合、そしてその場合のみ、

${\displaystyle AW\cdot BW=CY\cdot DY.}$

• 外接円
• 外接四辺形
• 接線三角形
• 接線多角形

• ワイスシュタイン、エリック W.、「接線四辺形」、MathWorld