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数学において、正方格子は2次元ユークリッド空間における格子の一種である。これは整数格子の2次元版であり、 と表記される。[1]これは対称群によって分類される5種類の2次元格子のうちの1つである。[2]その対称群はIUC表記ではp4m、[3]コクセター表記では[4,4]、[4]オルビフォールド表記では*442である。[5]
格子の画像の2つの方向は、これまでのところ最も一般的です。これらは、直立正方格子と対角正方格子と呼ばれることがあります。後者は、中心正方格子とも呼ばれます。[6]これらは45°の角度で異なります。これは、チェッカーボードの色分けで明らかなように、正方格子を2つの正方格子に分割できるという事実に関連しています。
対称
正方格子の対称性カテゴリは壁紙群 p4mです。この並進対称格子のパターンは、格子自体よりも対称性が高くなることはありませんが、対称性が低くなることはあります。直立正方格子は、メッシュ サイズが √2 倍の対角正方格子に正方形の中心を加えたものと見ることができます。同様に、直立正方格子の正方形の中心を加えると、メッシュ サイズが元の格子の √2 倍の対角正方格子が得られます。4 回回転対称のパターンは、並進対称格子に対して √2 倍細かく、対角線方向に向いた 4 回回転中心の正方格子です。
反射軸に関しては、次の 3 つの可能性があります。
- なし。壁紙グループp4です。
- 4方向に。壁紙グループp4mです。
- 2 つの垂直方向。これは壁紙グループp4gです。反射軸の交点は、4 倍の回転中心の正方格子と同じ細かさで同じ向きの正方格子を形成し、これらの回転中心は反射軸によって形成される正方形の中心にあります。
クリスタルクラス
正方格子クラス名、シェーンフライス記法、ヘルマン・モーガン記法、オービフォールド記法、コクセター記法、壁紙グループを以下の表に示します。
参照
参考文献
- ^ コンウェイ、ジョン、スローン、ニール JA (1999)、球状パッキング、格子と群、シュプリンガー、p. 106、ISBN 9780387985855。
- ^ ゴルビツキー、マーティン、スチュワート、イアン（2003）、対称性の観点：位相空間と物理空間における平衡からカオスへ、数学の進歩、第200巻、シュプリンガー、p. 129、ISBN 9783764321710。
- ^ フィールド、マイケル、ゴルビツキー、マーティン（2009）、カオスの中の対称性：数学、芸術、自然におけるパターンの探求（第2版）、SIAM、p.47、ISBN 9780898717709。
- ^ ジョンソン、ノーマン W. ; ワイス、アジア・イヴィッチ (1999)、「二次整数とコクセター群」、カナダ数学ジャーナル、51 (6): 1307–1336、doi : 10.4153/CJM-1999-060-6特に1320ページの上部を参照してください。
- ^ Schattschneider, Doris ; Senechal, Marjorie (2004)、「Tilings」、Goodman, Jacob E. ; O'Rourke, Joseph (編)、 『離散幾何学と計算幾何学のハンドブック、離散数学とその応用 (第 2 版)』、CRC Press、pp. 53–72、ISBN 9781420035315特に、IUC 表記法と orbifold 表記法を関連付けた 62 ページの表を参照してください。
- ^ ジョンストン、バーナード L.; リッチマン、フレッド (1997)、数と対称性: 代数入門、CRC プレス、p. 159、ISBN 9780849303012。
ウィキメディア・コモンズには、正方格子に関連するメディアがあります。