八角形

正八角形は、辺の長さと内角の大きさが等しい閉じた図形です。8本の線対称と8次の回転対称を持ちます。正八角形はシュレーフリ記号{8}で表されます。正八角形の各頂点の内角は135 °です（${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}}$ラジアン)。中心角は45°です(${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}}$ラジアン）。

辺の長さがaの正八角形の面積は次のように表される。

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828\,a^{2}.}$

外接半径Rに関して言えば、面積は

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\approx 2.828\,R^{2}.}$

アポセムrに関して言えば（内接図も参照）、面積は

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\approx 3.314\,r^{2}.}$

これら最後の2つの係数は、単位円の面積であるπの値を挟んでいます。

この領域は次のように表現することもできます。

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

ここで、Sは八角形のスパン、つまり 2 番目に短い対角線の長さであり、aは辺、つまり底辺の長さです。これは、八角形を取り、その外側に正方形を描き（8 辺のうち 4 辺が正方形の 4 辺と重なるように）、次に角の三角形 ( 45-45-90 の三角形) を取り、直角が内側を向くように配置して正方形を形成すれば簡単に証明できます。この正方形の各辺の長さは底辺の長さです。

辺の長さaが与えられた場合、スパンSは

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}$

したがって、スパンは銀の比率に辺の長さ a を掛けたものに等しくなります。

その領域は上記のとおりです。

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}$

スパンで表すと、面積は

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.}$

面積の別の簡単な公式は

${\displaystyle \ A=2aS.}$

多くの場合、スパンSは既知であり、辺の長さaを決定する必要がある。例えば、正方形の材料を正八角形に切断する場合などである。上記より、

${\displaystyle a\approx S/2.414.}$

各辺の両端の長さe（正方形から切り取られた三角形（画像中の緑色）の辺の長さ）は、${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$次のように計算できます。

${\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}$

正八角形の外接円半径は辺の長さaで表すと^{[ 3 ]} となります。

${\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a\approx 1.307a,}$

そして内半径は

${\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a\approx 1.207a.}$

（つまり、銀の比率の半分に辺の長さaを掛けたもの、またはスパンSの半分です。）

内半径は外半径から次のように計算できます。

${\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{8}}}$

正八角形は、辺の長さaに関して、3 種類の異なる対角線を持つ。

• 短い対角線。
• 中程度の対角線（スパンまたは高さとも呼ばれる）は、内半径の2倍の長さである。
• 長い対角線は、外接円の半径の2倍の長さである。

それぞれの公式は幾何学の基本原理から導き出されます。長さの公式は次のとおりです。^{[ 4 ]}

• 短い対角線：${\displaystyle a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ ;
• 中程度の対角線：${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a}$ （銀比率×a）
• 長い対角線：${\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$。

与えられた外接円を持つ正八角形は、次のように作図できます。

1. 円と直径AOEを描きます。ここで、Oは円の中心であり、AとEは外接円上の点です。
2. AOEに垂直な別の直径GOCを描きます。
3. （ちなみに、A、C、E、Gは正方形の頂点である。）
4. 直角GOAとEOGの二等分線を描き、さらに2つの直径HODとFOBを作成します。
5. A、B、C、D、E、F、G、Hは八角形の頂点です。

与えられた外接円における八角形

指定された辺の長さを持つ八角形のアニメーション（作図方法は、指定された辺の長さを持つ十六角形 の作図方法と非常によく似ています。）

正八角形は定規とコンパスを使って作図できる。なぜなら8 = 2³ ^、つまり2のべき乗だからである。

正八角形はメカノの棒を使って組み立てることができます。必要な材料は、サイズ4の棒が12本、サイズ5の棒が3本、サイズ6の棒が2本です。

正八角形の各辺は、その頂点を結ぶ円の中心において半直角をなす。したがって、その面積は8つの二等辺三角形の面積の合計として計算でき、次の結果が得られる。

${\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}$

一辺の長さがaの八角形の場合。

原点を中心とし、辺の長さが2である正八角形の頂点の座標は次のとおりです。

• (±1, ±(1+ √2 ) )
• (±(1+ √2 ), ±1 )

コクセターは、すべてのゾノゴン（対辺が平行で長さが等しい2 m角形）はm ( m -1)/2 個の平行四辺形に分割できると述べています。^{[ 5 ]} 特に、これは辺の数が均等な正多角形に当てはまり、この場合、平行四辺形はすべて菱形になります。正八角形の場合、m = 4 であり、6 つの菱形に分割できます。1 つの例を以下に示します。この分解は、テセラクトのペトリー多角形投影面の 24 面のうち 6 面として見ることができます。リスト( OEISのシーケンスA006245 )は、この 1 つの分割の 8 つの方向により、解の数を 8 つと定義しています。これらの正方形と菱形は、アマン-ビーンカー タイリングで使用されます。

正八角形は、 A ₇、B ₄、および D ₅コクセター平面におけるこれらの歪直交投影で示される、これらの高次元正多面体および均一多面体のペトリー多角形です。

切頂正方形である八角形は、切頂超立方体の系列の最初のものです。

拡張された正方形として、それは拡張された超立方体のシーケンスの最初のものでもある。