鋭角三角形と鈍角三角形

鋭角三角形（または鋭角三角形）は、 3 つの鋭角（90° 未満）を持つ三角形です。鈍角三角形（または鈍角三角形）は、1 つの鈍角（90° より大きい）と 2 つの鋭角を持つ三角形です。ユークリッド幾何学では三角形の角度の合計は 180° になる必要があるため、ユークリッド三角形は 1 つ以上の鈍角を持つことはできません。

鋭角三角形と鈍角三角形は、斜三角形の 2 つの異なるタイプです。斜三角形は、直角(90°) がないため、直角三角形ではありません。

すべての三角形において、重心（各頂点と反対側の辺の中点を結ぶ中線の交点）と内心（3 辺すべてに内部接する円の中心）は三角形の内側にあります。ただし、垂心と外心は鋭角三角形の内側にありますが、鈍角三角形の外側にあります。

垂心は、三角形の 3 つの高さの交点です。高さはそれぞれ、辺と反対側の頂点を垂直に結びます。鋭角三角形の場合、これら 3 つの線分はすべて三角形の内部にあり、したがって内部で交差します。しかし鈍角三角形の場合、2 つの鋭角の高さは、反対側の辺の延長線とのみ交差します。これらの高さは完全に三角形の外側にあるため、三角形の外部で互いの交差 (したがって、鈍角の頂点から延長された高さとの交差) が発生します。

同様に、三角形の外心（3 辺の垂直二等分線の交点、つまり 3 つの頂点すべてを通る円の中心）は、鋭角三角形の内側にありますが、鈍角三角形の外側にあります。

直角三角形は中間的なケースです。つまり、外心と垂心の両方が境界上にあります。

任意の三角形において、任意の2つの角度AとBの対辺aとbは^[1]に従って関係付けられる^{：p. 264}

${\displaystyle A>B\quad {\text{もしその場合}}\quad a>b.}$

これは、鈍角三角形の最長の辺が、鈍角の頂点の反対側にある辺であることを意味します。

鋭角三角形には3つの内接正方形があり、それぞれの1辺は三角形の一辺の一部に一致し、残りの2辺にある正方形の残りの2つの頂点と一致します。（直角三角形では、これらのうち2つが同じ正方形に統合されるため、内接正方形は2つしかありません。）しかし、鈍角三角形には1つの内接正方形があり、その1つの辺は三角形の最長辺の一部と一致します。^{[2] : p. 115}

オイラー線が一辺に平行な三角形はすべて鋭角三角形である。^[3]この性質は、BC辺に対して成立し、かつ次の場合に限る。 ${\displaystyle (\tan B)(\tan C)=3.}$

角Cが鈍角の場合、辺a、b、cは^{[4] ：p.1、#74}となる。

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}><a^{2}+b^{2}><c^{2},}$

左の不等式は、二等辺三角形の頂角が 180° に近づくときにのみ極限で等式に近づき、右の不等式は、鈍角が 90° に近づくときにのみ等式に近づきます。

三角形が鋭角の場合

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

C が最大角で、h _{c が}頂点Cからの高さである場合、鋭角三角形^{[4] : p.135、#3109}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}} <{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$

C が鈍角の場合は逆の不等式になります。

最長辺がcで、他の辺からの中線が m _aとm _bの^{場合、 [4] : p.136、#3110}

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$

鋭角三角形の場合は不等式が成り立ちますが、鈍角三角形の場合は不等式が逆になります。

最長辺からの中線m _{c は}^{、鋭角三角形または鈍角三角形の外接半径よりもそれぞれ大きいか小さいかである: [4] : p.136, #3113}

${\displaystyle m_{c}>R}$

鋭角三角形の場合はその逆、鈍角三角形の場合はその逆になります。

面積Aに対する小野の不等式、

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},}$

すべての鋭角三角形に当てはまりますが、すべての鈍角三角形に当てはまるわけではありません。

鋭角三角形の場合、角A 、 B 、 Cは^{[4] ：p.26、#954 となる。}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

外接半径Rの鋭角三角形の場合、^{[4] ：p.141、#3167}

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$

^[4] : ^p.155、#S25

${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$

鋭角三角形の場合、^{[4] ：p.115、#2874}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$

鈍角三角形の場合は逆の不等式になります。

鋭角三角形の場合、^{[4] ：p178、#241.1}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$

任意の三角形について、三重接線恒等式は、角度の接線の合計がそれらの積に等しいことを示しています。鋭角は正の接線値を持ち、鈍角は負の接線値を持つため、接線の積の式は次のようになります。

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$

鋭角三角形の場合は不等式の方向が逆になり、鈍角三角形の場合は不等式の方向が逆になります。

^[4] : ^p.26、#958

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$

鋭角三角形の場合は逆、鈍角三角形の場合は逆になります。

すべての鋭角三角形については、^{[4] : p.40、#1210}

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$

内接円半径 rと外接円半径 Rを持つすべての鋭角三角形について、^{[4] ：p.53、#1424}

${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

面積Kの鋭角三角形の場合、^{[4] ：p.103、#2662}

${\displaystyle ({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$

鋭角三角形では、外接半径Rと内接半径rの合計は、最も短い辺aとbの合計の半分未満です。^{[4] ：p.105、#2690}

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

一方、鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

中線が m _a、m _b、m _cで外接半径がRである鋭角三角形の場合、^{[4] ：p.26、#954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

一方、鈍角三角形の場合は逆の不等式が成立します。

また、鋭角三角形は^{[4] ：p.26、#954 を満たす。}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

外接円の半径r _a、 r _b、 r _cに関して、鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

半周長sの鋭角三角形の場合、^{[4] ：p.115、#2874}

${\displaystyle s-r>2R,}$

鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

面積Kの鋭角三角形の場合、^{[4] ：p.185、#291.6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$

鋭角三角形の場合、外心Oと垂心Hの間の距離は^[4]を満たす^{：p.26、#954}

${\displaystyle OH<R,}$

鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

鋭角三角形の場合、内接円の中心Iと垂心Hの間の距離は^[4]を満たす^{：p.26、#954}

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

ここで、r は内接円の半径であり、鈍角三角形の場合は逆の不等式となります。

鋭角三角形の内接正方形の1つの辺の長さがx _aで、もう1つの辺の長さがx _bでx _a < x _bの場合、^{[2] : p. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

2つの鈍角三角形の辺が( a,b,c )と( p,q,r )で、cとrがそれぞれ最も長い辺である場合、^{[4] ：p.29、#1030}

${\displaystyle ap+bq<cr.}$

カラビ三角形は、内部に収まる最大の正方形を 3 つの異なる方法で配置できる唯一の非正三角形であり、底角が 39.1320261...°、第 3 角が 101.7359477...° の鈍角二等辺三角形です。

3 つの 60° の角を持つ正三角形は鋭角です。

モーリーの三角形は、任意の三角形から隣接する角の三等分線の交点によって形成され、正三角形であるため鋭角です。

黄金三角形は、二等辺三角形の複製辺と底辺の比が黄金比に等しい三角形である。この三角形は鋭角で、角度は36°、72°、72°であり、角度の比率が1:2:2である唯一の三角形である。^[5]

七角形三角形は、辺が正七角形の辺、短い対角線、長い対角線と一致し、鈍角で、角度と${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$${\displaystyle 4\pi /7.}$

高さと辺が連続する整数である唯一の三角形は鋭角三角形であり、辺は (13,14,15) で、辺 14 からの高度は 12 に等しくなります。

等差数列の整数辺を持つ最小周囲三角形、および異なる辺を持つ最小周囲整数辺三角形は鈍角です。つまり、辺が (2, 3, 4) の三角形です。

1つの角度が他の角度の2倍で、等差数列の整数辺を持つ三角形は鋭角三角形のみである。すなわち、(4,5,6)三角形とその倍数である。^[6]

面積=周囲長 の鋭角整数辺三角形は存在しないが、辺^[7]が(6,25,29)、(7,15,20)、(9,10,17) である鈍角三角形が3つ存在する。

3つの有理数中線を持つ最小の整数辺三角形は鋭角三角形であり、辺の長さは^[8] （68、85、87）である。

ヘロン三角形は、辺の長さと面積が整数です。周囲が最小の斜ヘロン三角形は、辺の長さが (6, 5, 5) の鋭角三角形です。面積が最小の 2 つの斜ヘロン三角形は、辺の長さが (6, 5, 5) の鋭角三角形と辺の長さが (8, 5, 5) の鈍角三角形で、それぞれの面積は 12 です。

• スライバートライアングル

• ワイスタイン、エリック・W.「鋭角三角形」。マスワールド。
• Weisstein、Eric W.「鈍角三角形」。MathWorld。