物事の対称性

『The Symmetries of Things』は数学的対称性と幾何学的物体の対称性に関する本で、さまざまなレベルの読者を対象としています。ジョン・ホートン・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウスによって何年もかけて執筆され、 ^[1] 2008年にAKピーターズによって出版されました。批評家の評価はまちまちで、ある評論家は、その分かりやすく徹底した素材へのアプローチと多くの刺激的なイラストを賞賛しましたが、 ^{[2] [3] [4] [5]}一方で、その難しさのレベルに一貫性がなく、 ^[6]新語が多用され、先行研究が適切に引用されておらず、技術的なエラーがあると不満を漏らす評論家もいました。 ^[7]

『The Symmetries of Things』は3つの主要なセクションから成り、26の章に分かれている。^[8]最初のセクションでは、幾何学的オブジェクトの対称性について論じている。2次元および3次元の有限オブジェクトの対称性と、フリーズパターンやテッセレーションなどの2次元無限構造の両方が含まれ、^{[2] 、}アレクサンダー・マレー・マクビースの研究に基づいてこれらの対称性の新しい表記法を開発している。著者らは、リーマン・フルヴィッツの公式の簡略化された形式を使用して、この表記法がすべての可能性をカバーしていることを証明している。^[9]その他のトピックには、オイラーの多面体公式や2次元表面の分類がある。^{[8]この本には、} MCエッシャー^[2]やバトシェバ・グロスマン^{[3] [4]}の作品など、これらの対称性を描いた芸術作品やオブジェクト、および著者らがカスタムソフトウェアを使用して作成した新しいイラストが多数掲載されている。^[2]

本書の第2節では、対称性をより抽象的かつ組み合わせ的に考察し、有色物体の色保存対称性、オービフォールドで記述される位相空間の対称性、群論と群の表現で記述される対称性の抽象形式の両方を考慮します。この節は、最大2009個の要素を持つすべての有限群の分類で終わります。 ^[2]

本書の第3節では、3次元空間群の分類^[2]と、ウィア・フェラン構造などのハニカムの例が示されています。^[3]また、あまり知られていない幾何学の対称性、つまり高次元空間、非ユークリッド空間 [2] 、3次元平坦多様体 [9] についても考察され^ています^。双曲群は、太鼓の形を聞き分ける問題に対する新しい説明を提供するために使用されています。^{[8] [9]} 1965年にコンウェイとリチャード・K・ガイによって発表された4次元凸一様多面体の初めての公開された分類と、本書の出版直前にグリゴリー・ペレルマンによって証明されたウィリアム・サーストンの幾何化予想に関する議論が含まれています。これによれば、すべての3次元多様体は対称空間として実現できます。^[2]ジャロン・ラニアーが嘆いた1つの欠落は、11セルなどの正則射影多面体の集合です。^[4]

評論家のダレン・グラスは、この本の各部が異なる読者層を対象としており、その結果「さまざまなレベルで楽しめる素晴らしい本」^{[2]となり、}一般向けの数学書としては異例の奥深さを提供していると書いている。^[5]低次元ユークリッド空間の対称性に関する第 1 部は一般読者向けである。第 2 部では、学部数学の学生に期待される群論の理解が求められ、後半では抽象代数の知識も求められる。第 3 部はより専門的で、主にこれらのトピックの研究者を対象としているが^[2] 、学部レベルでも理解できる内容が多数ある。^{[9]また、演習問題も含まれているため教科書としても役立ち、カラーイラストを多用しているため}、コーヒー テーブル ブックとしても適している。^[2]しかし、評論家のロバート・モイヤーは、難易度の異なる資料を収録するという選択に難色を示し、読者の大半にとって、本書の大部分は読めないだろうと書いている。^[6]

この本の内容の多くは新しいものか、専門家向けの技術出版物でしか知られていなかったものであり^{[1] [6] [8]}、この本で紹介されている既知の内容の多くは新しい表記法と命名法で説明されている。^{[1] [8]}対称性に関する本は他にもたくさんあるが^[2]、評論家のNG Macleodは、この本が「この分野で長年にわたり決定的なガイドになるだろう」と書いている。^[3] Jaron Lanierは、この本を「遊び道具であり、読者の脳を無限に拡張する訓練であり、芸術作品であり、数学の文化がどのようなものであるかを大胆に表現した作品」であり、「傑作」と呼んでいる。^[4]

これらの肯定的なレビューにもかかわらず、幾何学的対称性の権威であるブランコ・グリュンバウムはそれほど熱心ではなく、この本には「いくつかの重大な欠点」があると書いている。これには、すでによく確立された用語がある概念に「かわいい」新語を不必要に使用している、本の表記法に対するマクビースとアンドレアス・ドレスの貢献が適切に扱われていない、いくつかの議論の推論がずさんである、新規性の主張が不正確で、色付き平面パターンの分類における先行研究が考慮されていない、この分類に事例が欠けている、他のより技術的な部分におそらく誤りがある、校正が不十分である、明確な定義がないため、円の対称性などの中心的な概念が省略され、なぜ省略されたのか説明がない、などが含まれる。^[7]