一般化順列行列

数学において、一般化置換行列（または単項式行列）とは、置換行列と同じ非ゼロパターンを持つ行列、すなわち各行と各列にちょうど1つの非ゼロ要素を持つ行列のことです。非ゼロ要素が1でなければならない置換行列とは異なり、一般化置換行列では非ゼロ要素は任意の非ゼロ値をとることができます。一般化置換行列の例は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}$

可逆行列Aは、可逆対角行列Dと (暗黙的に可逆な)置換行列Pの積として書ける場合に限り、一般化置換行列である。すなわち、

${\displaystyle A=DP.}$

• 正則行列とその逆行列が両方とも非負行列（つまり、非負の要素を持つ行列）である場合、その行列は一般化置換行列である。
• 一般化置換行列の行列式は次のように表される。$${\displaystyle \det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},}$$どこ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\pi )}$順列の符号​${\displaystyle \pi }$関連する${\displaystyle P}$ そして$d_{11},\ldots ,d_{nn}}$は、${\displaystyle D}$。

要素が体ではなく環に属することを許容することで、さらに一般化することができる。この場合、非ゼロ要素が環の単元である必要があるとすれば、再び群が得られる。一方、非ゼロ要素が非ゼロであるだけで、必ずしも可逆である必要がないとすれば、この行列の集合は半群を形成する。

非ゼロ要素が群Gに属することを概略的に許容することもできるが、その場合、行列の乗算は群要素の「加算」ではなく、群要素の単一のペアの乗算のみを含むという理解が必要となる。これは、乗算される行列の要素は乗算と加算の両方を許容する必要があるため、表記の濫用ではあるが、（形式的に正しい）抽象群を示唆する概念である。${\displaystyle G\wr S_{n}}$（群Gと対称群の積であるリース）

符号付き置換行列は、非ゼロ要素が±1である一般化置換行列であり、整数逆行列を持つ整数一般化置換行列です。

• ジョイナー、デイビッド（2008）。群論の冒険。ルービックキューブ、マーリンのマシン、その他の数学玩具（第2版改訂 版）。メリーランド州ボルチモア：ジョンズ・ホプキンス大学出版局。ISBN 978-0-8018-9012-3. Zbl 1221.00013 .