歴史 円盤モデルは、ベルンハルト・リーマン が1854年の講演（1868年出版）で初めて記述し、エウジェニオ・ベルトラーミ が1868年に論文を発表するきっかけとなった。[ 2 ] [ 3 ] 科学と仮説』 [ 4 ]
例えば、大きな球体で囲まれた世界を考えてみましょう。この世界は、以下の法則に従います。温度は均一ではなく、中心で最も高く、球体の円周に向かって徐々に低下し、円周上では絶対零度 になります。この温度の法則は次のとおりです。R {\displaystyle R} r {\displaystyle r} R 2 − r 2 {\displaystyle R^{2}-r^{2}} さらに、この世界では全ての物体が同じ膨張係数を 持つと仮定し、任意の物体の線形膨張はその絶対温度に比例するものとします。最後に、異なる温度の地点から別の地点へ移動した物体は、瞬時に新しい環境と熱平衡状態にあると仮定します。…もし彼らが幾何学を構築するならば、それは私たちの幾何学、すなわち不変の固体の運動の研究とは異なり、彼らがこのように区別した位置の変化の研究であり、「非ユークリッド変位」であり、これが非ユークリッド幾何学となるでしょう 。したがって、そのような世界で教育を受けた私たちのような存在は、私たちの幾何学と同じ幾何学を持たないでしょう。」[ 4 ]
ポアンカレの円盤は、空間幾何学の選択が事実に基づくものではなく慣習的なものであるという仮説の重要な証拠であり、特にルドルフ・カルナップ [ 5 ] ハンス・ライヘンバッハ [ 6 ]
線と距離 3本の超平行 （双曲線）直線を持つポアンカレ円盤双曲線直線 または測地線は 、円盤内に含まれるユークリッド円のすべての弧のうち、円盤の境界に直交するものと、円盤のすべての直径から構成される。
このモデルにおける距離はケイリー・クライン計量 です。円盤内部の異なる 2 つの点p とqに対して、それらを結ぶ唯一の双曲線は境界と 2 つの 理想点 a とb で交わります。点が順にa 、p 、q 、b となるようにラベルを付けます。つまり、| aq | > | ap | | pb | > | qb |
p とq の間の双曲線距離は[ 7 ]
d （ p 、 q ） = ln | 1 q | | p b | | 1 p | | q b | 。 {\displaystyle d(p,q)=\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}.}
縦棒は、モデル内の点間の線分（円弧に沿った線分ではない）のユークリッド長を示します。ln は自然対数 です。
同様に、u とvが通常のユークリッドノルムを持つ実 n 次元ベクトル空間R nの 等長不変量を 次のように定義できます。
δ （ u 、 v ） = 2 ‖ u − v ‖ 2 （ 1 − ‖ u ‖ 2 ） （ 1 − ‖ v ‖ 2 ） 、 {\displaystyle \delta (u,v)=2{\frac {\lVert uv\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}\,,} どこ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \lVert \cdot \rVert }
d （ u 、 v ） = アルコッシュ （ 1 + δ （ u 、 v ） ） = 2 アルシン δ （ u 、 v ） 2 = 2 ln ‖ u − v ‖ + ‖ u ‖ 2 ‖ v ‖ 2 − 2 u ⋅ v + 1 （ 1 − ‖ u ‖ 2 ） （ 1 − ‖ v ‖ 2 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}d(u,v)&=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v))\\&=2\operatorname {arsinh} {\sqrt {\frac {\delta (u,v)}{2}}}\\\,&=2\ln {\frac {\lVert uv\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-2u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}}.\end{aligned}}} このような距離関数は、ノルムが1未満の任意の2つのベクトルに対して定義され、そのようなベクトルの集合を、定曲率 -1の双曲空間のモデルである計量空間にする。このモデルは、双曲空間における2つの交差する曲線の間の角度が、モデルにおける角度と同じであるという等角性を持つ。
一方の点が原点であり、点間のユークリッド距離がr である場合に特化すると、双曲線距離は次のようになります。 ln （ 1 + r 1 − r ） = 2 アルタン r {\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=2\operatorname {artanh} r} アルタン {\displaystyle \operatorname {artanh} } は双曲線正接 の逆双曲線関数 です。2つの点が同じ半径と点上にある場合x ′ = （ r ′ 、 θ ） {\displaystyle x'=(r',\theta )} x = （ r 、 θ ） {\displaystyle x=(r,\theta )} ln （ 1 + r 1 − r ⋅ 1 − r ′ 1 + r ′ ） = 2 （ アルタン r − アルタン r ′ ） 。 {\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\cdot {\frac {1-r'}{1+r'}}\right)=2(\operatorname {artanh} r-\operatorname {artanh} r').} r ′ = 0 {\displaystyle r'=0}
計量と曲率 双曲正二十面体ハニカム 構造のポアンカレ「球 」モデル図、{3,5,3}ポアンカレ円盤モデルの関連する計量テンソルは [ 8 ]で与えられる。
d s 2 = 4 ∑ 私 d x 私 2 （ 1 − ∑ 私 x 私 2 ） 2 = 4 ‖ d x ‖ l 2 （ 1 − ‖ x ‖ l 2 ） 2 {\displaystyle ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1-\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{2}}}={\frac {4\,\lVert d\mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}}{{\bigl (}1-\lVert \mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}} ここで、x i は周囲のユークリッド空間のデカルト座標である。（比較すると、単位球の立体投影 に対応する計量の式は、分母の符号が異なる点を除けば、同等に見える。）
このリーマン計量に関する正規直交フレームは次のように与えられる。
e 私 = 1 2 （ 1 − | x | 2 ） ∂ ∂ x 私 、 {\displaystyle e_{i}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}1-|\mathbf {x} |^{2}{\Bigr )}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},} 1形式の双対コフレームを持つ
θ 私 = 2 1 − | x | l 2 d x 私 。 {\displaystyle \theta ^{i}={\frac {2}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}\,dx^{i}.}
2次元 2次元では、これらのフレームとレヴィ・チヴィタ接続 に関して、接続形式は1形式の一意な歪対称行列によって与えられる。ω {\displaystyle \omega } ねじれ のない行列、すなわち、行列方程式を満たす行列0 = d θ + ω ∧ θ {\displaystyle 0=d\theta +\omega \wedge \theta } ω {\displaystyle \omega }
ω = 2 （ y d x − x d y ） 1 − | x | l 2 （ 0 1 − 1 0 ） 、 {\displaystyle \omega ={\frac {2(y\,dx-x\,dy)}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},} ここで曲率行列は
Ω = d ω + ω ∧ ω = d ω + 0 = − 4 d x ∧ d y （ 1 − | x | l 2 ） 2 （ 0 1 − 1 0 ） 。 {\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =d\omega +0={\frac {-4\,dx\wedge dy}{{\bigl (}1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.} したがって、双曲円盤の曲率は
K = Ω 2 1 （ e 1 、 e 2 ） = − 1. {\displaystyle K=\オメガ _{2}^{1}(e_{1},e_{2})=-1.}
線路の建設
解析幾何学によって 解析幾何学 の基本的な構成は、与えられた2点を通る直線を求めることである。ポアンカレ円盤モデルでは、平面上の直線は、次の形式の方程式を持つ円の一部によって定義される。
x 2 + y 2 + 1 x + b y + 1 = 0 、 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0\,,} これは、単位円に直交する円の一般形、または直径によって表されます。円盤内の直径上にない2点u = (u 1 ,u 2 ) とv = (v 1 ,v 2 ) が与えられた場合、両方の点を通るこの形の円を解くことができ、次の式が得られます。
x 2 + y 2 + u 2 （ v 1 2 + v 2 2 + 1 ） − v 2 （ u 1 2 + u 2 2 + 1 ） u 1 v 2 − u 2 v 1 x + v 1 （ u 1 2 + u 2 2 + 1 ） − u 1 （ v 1 2 + v 2 2 + 1 ） u 1 v 2 − u 2 v 1 y + 1 = 0 。 {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&{}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x\\[8pt]&{}+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.\end{aligned}}} 点u とv が直径の端点ではない円盤の境界上の点である場合、上記は次のように簡略化されます。
x 2 + y 2 + 2 （ u 2 − v 2 ） u 1 v 2 − u 2 v 1 x + 2 （ v 1 − u 1 ） u 1 v 2 − u 2 v 1 y + 1 = 0 。 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{\frac {2(v_{1}-u_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.}
角度 単位ベクトルu とv で端点（理想点 ）が与えられる円弧と、その端点が s とt である円弧との間の角度は、公式を用いて計算できます。クラインモデルとポアンカレ円盤モデルでは理想点が同じであるため、公式はどちらのモデルでも同一です。
両方のモデルの線が直径である場合、つまりv = − u およびt = − s の場合、2 つの単位ベクトル間の角度を求めるだけであり、角度 θ の式は次のようになります。
コス （ θ ） = u ⋅ s 。 {\displaystyle \cos(\theta )=u\cdot s\,.} v = − u だがt = − s ではない場合、式はウェッジ積 の観点から次のように表される（∧ {\displaystyle \wedge }
コス 2 （ θ ） = P 2 Q R 、 {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},} どこ
P = u ⋅ （ s − t ） 、 {\displaystyle P=u\cdot (st)\,,} Q = u ⋅ u 、 {\displaystyle Q=u\cdot u\,,} R = （ s − t ） ⋅ （ s − t ） − （ s ∧ t ） ⋅ （ s ∧ t ） 。 {\displaystyle R=(st)\cdot (st)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.} 両方の弦が直径でない場合、一般式は次のようになります。
コス 2 （ θ ） = P 2 Q R 、 {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}\,,} どこ
P = （ u − v ） ⋅ （ s − t ） − （ u ∧ v ） ⋅ （ s ∧ t ） 、 {\displaystyle P=(uv)\cdot (st)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t)\,,} Q = （ u − v ） ⋅ （ u − v ） − （ u ∧ v ） ⋅ （ u ∧ v ） 、 {\displaystyle Q=(uv)\cdot (uv)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)\,,} R = （ s − t ） ⋅ （ s − t ） − （ s ∧ t ） ⋅ （ s ∧ t ） 。 {\displaystyle R=(st)\cdot (st)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.} ビネ・コーシーの恒等式 とこれらが単位ベクトルであるという事実を用いると、上記の式 を純粋に内積で表すと次のようになる。
P = （ u − v ） ⋅ （ s − t ） + （ u ⋅ t ） （ v ⋅ s ） − （ u ⋅ s ） （ v ⋅ t ） 。 {\displaystyle P=(uv)\cdot (st)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t)\,.} Q = （ 1 − u ⋅ v ） 2 、 {\displaystyle Q=(1-u\cdot v)^{2}\,,} R = （ 1 − s ⋅ t ） 2 。 {\displaystyle R=(1-s\cdot t)^{2}\,.}
サイクル ユークリッド平面では、一般化された円 （曲率が一定の曲線）は直線と円です。球面上では、 大円と小円 になります。双曲平面では、一般化された円またはサイクル には、円、ホロサイクル、ハイパーサイクル、測地線（または「双曲線」）の4つの異なる種類があります。ポアンカレ円盤モデルでは、これらすべてが直線または円で表されます。
ユークリッド円：
ディスクの内側に完全に含まれるのは双曲線円 である。 円盤の内側にあり、境界に接しているものはホロサイクル である。 境界線と直交する直線は 双曲線 であり、 境界と直交しない形で交差するものはハイパーサイクル である。 境界円のユークリッド弦：
中心を通る線は双曲線であり、 中心を通らないものはハイパーサイクルである。
円 円（平面上の、ある点（中心）から一定の距離にあるすべての点の集合）
ハイパーサイクル ハイパーサイクル 直角 で交わる、境界円の弧または弦である。その軸は、同じ2つの理想点 を共有する双曲線である。これは等距離曲線とも呼ばれる。
ホロサイクルズ ポアンカレ円盤モデルにおける青色のホロサイクルといくつかの赤色の法線。法線は漸近的に上部中心理想点 に収束する。 ホロサイクル 法線 または垂直 測地線が極限平行線 であり、すべてが漸近的に同じ理想点 に収束する曲線）とは、円盤の境界円に接する円盤内部の円のことである。境界円に接する点はホロサイクルの一部ではない。それは理想点であり、ホロサイクルの双曲中心である。また、すべての垂直測地線が収束する点でもある。
ポアンカレ円盤モデルでは、ホロサイクルの両端を表すユークリッド点は境界円上で中心に収束するが、双曲平面ではホロサイクルの各点は中心から無限遠にあり、両端は繋がっていない。（境界円上ではモデルのスケールが無限大になるため、ユークリッド的な直感は誤解を招く可能性がある。）
双曲幾何学の他のモデルとの関係 ポアンカレ円盤モデル（線P ）と、他の モデル との関係
クライン円盤モデルとの関連性 ベルトラミ・クラインモデル （またはクライン円盤モデル）とポアンカレ円盤は、いずれも双曲平面全体を円盤 に投影するモデルです。これら2つのモデルは、 半球モデル への、あるいは半球モデルからの投影によって関連付けられています。クライン円盤モデルは半球モデルへの正射影であり、ポアンカレ円盤モデルは 立体射影 です。
クライン円盤モデルの利点は、このモデルにおける線がユークリッド幾何学上の直線弦 であることです。欠点は、クライン円盤モデルが等角写像で はないこと（円や角が歪むこと）です。
両方のモデルで同じ線を1枚の円盤に投影すると、両方の線は同じ2つの理想点 を通ります（理想点は同じ場所に留まります）。また、クライン円盤モデルにおける弦の極 は、ポアンカレ円盤モデルにおける弧 を含む円の中心です。
ポアンカレ円盤モデルにおける点( x , y )は、 （ 2 x 1 + x 2 + y 2 、 2 y 1 + x 2 + y 2 ） {\textstyle \left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}}\ ,\ {\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)}
クラインモデルにおける点( x , y )は、 （ x 1 + 1 − x 2 − y 2 、 y 1 + 1 − x 2 − y 2 ） {\textstyle \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\ ,\ \ {\frac {y}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\right)}
理想的なポイントx 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} x = x 、 y = y {\displaystyle x=x\ ,\ y=y}
もしu {\displaystyle u} s = 2 u 1 + u ⋅ u 。 {\displaystyle s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.}
逆に、ベクトルからs {\displaystyle s} u = s 1 + 1 − s ⋅ s = （ 1 − 1 − s ⋅ s ） s s ⋅ s 。 {\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\right)s}{s\cdot s}}.}
ポアンカレ円盤モデルとポアンカレ半平面モデルは メビウス変換 によって関連付けられている。u ∈ D {\displaystyle u\in \mathbb {D} } 複素数 である。z ∈ H {\displaystyle z\in \mathbb {H} } C : H → D {\textstyle C:\mathbb {H} \to \mathbb {D} } C − 1 （ u ） = z = 私 1 + u 1 − u 。 {\displaystyle C^{-1}(u)=z=i{\frac {1+u}{1-u}}.} C − 1 {\displaystyle C^{-1}} { 0 、 1 、 − 私 、 私 } ∈ D {\displaystyle \{0,1,-i,i\}\in \mathbb {D} } { 私 、 ∞ 、 1 、 − 1 } ∈ H {\displaystyle \{i,\infty ,1,-1\}\in \mathbb {H} }
実座標で表すと、ディスクモデルにおける点( x , y )は、 （ 2 x x 2 + （ 1 − y ） 2 、 1 − x 2 − y 2 x 2 + （ 1 − y ） 2 ） {\textstyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\ ,\ {\frac {1-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\right)\,}
半平面モデル内の点 ( x , y ) は、 （ 2 x x 2 + （ 1 + y ） 2 、 x 2 + y 2 − 1 x 2 + （ 1 + y ） 2 ） {\textstyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\ ,\ {\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\right)\,}
双曲面モデルとの関連性 ポアンカレ円盤モデルとベルトラミ・クラインモデルは、 双曲面モデルと 射影的 に関連しています。双曲面モデルの上平面上に点 [ t , x 1 , ..., x n ] があり、双曲面モデル内の点を定義している場合、点を [−1, 0, ..., 0] を通る直線と交差させることで、超平面t = 0 上に射影することができます。その結果得られるのが、ポアンカレ円盤モデルにおける対応する点です。
双曲面上のデカルト座標 ( t , x i y i y 私 = x 私 1 + t {\displaystyle y_{i}={\frac {x_{i}}{1+t}}} （ t 、 x 私 ） = （ 1 + ∑ y 私 2 、 2 y 私 ） 1 − ∑ y 私 2 。 {\displaystyle (t,x_{i})={\frac {\left(1+\sum {y_{i}^{2}},\,2y_{i}\right)}{1-\sum {y_{i}^{2}}}}\,.}
球面と平面における立体投影 の公式を比較してください。
参考文献 ↑ ペンローズ、ロジャー（2004）。『現実への道：宇宙の法則完全ガイド』 ページ 。ISBN 0-224-04447-8 。 ↑ ミルナー、ジョン・W.「双曲幾何学：最初の150年」アメリカ数学会紀要6巻1号（1982年）：9-24。
B. リーマン、「Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen」、Abh。 KGウィス。ゲッティンゲン 13 (1854 年の就任演説より)。
エウジェニオ・ベルトラミ。 「Teoria Fondamentale degli spazii di curvaturacostante」、Annali di mat。さん。 II 2、232-255 (Op. Mat. 1、406-429; Ann. École Norm. Sup. 6 (1869)、345-375)。 ↑ ポアンカレ、H. (1882-12-01)。 「テオリ・デ・グループ・フクシアン」 。 Acta Mathematica (フランス語)。 1 (1): 1–62 . 土井 : 10.1007/BF02592124 。 ISSN 1871-2509 。 S2CID 120406828 。 1 2 ポアンカレ、アンリ (1905)。 科学と仮説 。ロバーツ - トロント大学。ロンドン W. スコット。 ↑ Carus, AW; Friedman, Michael; Kienzler, Wolfgang; Richardson, Alan; Schlotter, Sven (2019-06-25). Rudolf Carnap: Early Writings: The Collected Works of Rudolf Carnap, Volume 1. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-106526-2 。↑ ライヘンバッハ、ハンス（2012年3月13日）。 空間と時間の哲学 。クーリエ・コーポレーション 。ISBN 978-0-486-13803-9 。↑ ベルガー、マルセル (1987) [1977]。「9.6 ポアンカレモデル」。 幾何学 II。M. コール、S. レヴィ訳。Springer。p. 339。 ↑ 「双曲幾何学のポアンカレ円盤モデルとクライン円盤モデルの計量テンソルの比較」 。Stack Exchange 。2015年5月23日。 ↑ エッシャーの円の限界探求
さらに読む ジェームズ・W・アンダーソン著、『双曲幾何学』 第2版、シュプリンガー社、2005年。 エウジェニオ・ベルトラミ、テオリア・フォンダメンタル・デグリ・スパジイ・ディ・カーヴァトゥーラ・ コスタンテ、アンナリ。 di Mat.、シリーズ II 2 (1868)、232–255。 ソール・スタール著『ポアンカレ半平面』 、ジョーンズ・アンド・バートレット社、1993年。
外部リンク ウィキメディア・コモンズにある ポアンカレ円盤モデル関連のメディア 
ウィキメディア・コモンズにあるポアンカレ円盤モデル関連のメディア
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&{}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x\\[8pt]&{}+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16afa80f4b34b6bd195672537bd9b6844fad533c)
