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数学において、剛体変換（ユークリッド変換またはユークリッド等長変換とも呼ばれる）とは、ユークリッド空間の幾何学的変換であり、すべての点のペア間のユークリッド距離を保持するものである。 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]
剛体変換には、回転、平行移動、鏡映、またはこれらの任意の組み合わせが含まれます。鏡映は、変換がユークリッド空間における物体の左右対称性も保持することを条件とすることで、剛体変換の定義から除外される場合があります。（鏡映は左右対称性を保持しません。例えば、左手を右手に変換します。）曖昧さを避けるため、左右対称性を保持する変換は、剛体運動、ユークリッド運動、または適切な剛体変換と呼ばれます。
2次元では、剛体運動は並進運動か回転運動のいずれかである。3次元では、すべての剛体運動は回転と並進の合成として分解できるため、回転並進運動と呼ばれることもある。3次元では、すべての剛体運動はらせん運動でもある（これはシャールの定理である）。
次元が最大で３の場合、不適切な剛体変換は、不適切な回転とそれに続く平行移動、または一連の反射に分解できます。
適切な剛体変換を行った後でも、物体の形状と大きさは変化しない。
すべての剛体変換はアフィン変換の例です。すべての（適切なおよび不適切な）剛体変換の集合は、ユークリッド群と呼ばれる数学群であり、n次元ユークリッド空間ではE( n )と表記されます。剛体運動の集合は特殊ユークリッド群と呼ばれ、SE( n )と表記されます。
運動学では、剛体の変位を表すために、3次元ユークリッド空間における剛体運動が用いられる。シャールの定理によれば、すべての剛体変換はねじ運動として表現できる。
剛体変換は、任意のベクトルvに作用したときに、次の形式の変換されたベクトルT ( v )を生成する変換として正式に定義されます。
ここで、RT = R −1 (つまり、Rは直交変換) であり、tは原点の並進を表すベクトルです。
適切な剛体変換には、さらに、
つまり、Rは鏡映変換を起こさないため、回転（向きを保存する直交変換）を表します。実際、直交変換行列が鏡映変換を起こす場合、その行列式は-1になります。
変換が剛体であることを確認するには、点間の距離の尺度、つまりメトリックが必要です。R nのユークリッド距離の公式は、ピタゴラスの定理の一般化です。この公式は、2 点XとYの間の距離の 2 乗を、座標軸に沿った距離の 2 乗の和として 与えます。 ここで、 X = ( X 1 , X 2 , ..., X n )およびY = ( Y 1 , Y 2 , ..., Y n )であり、ドットはスカラー積を表します。
この距離公式を用いると、剛体変換g : R n → R nは次の性質を持つ。
ベクトル空間の平行移動は、空間内のすべてのベクトルにベクトルdを追加することであり、これは変換である。
平行移動されたベクトル間の距離が元のベクトル間の距離と等しいことを示すことで、これが剛体変換であることを容易に示すことができる。
ベクトル空間の線形変換L : R n → R nは、線形結合を保存します。 線形変換Lは行列で表すことができ、それはつまり
ここで、[ L ]はn × n行列である。
線形変換は、次の条件を満たす場合、剛体変換である。 それは ここで、2つのベクトルvとwのスカラー積は、行列の転置を表すTを用いて、vTwという行列演算として表せるという事実を利用すると、 次のように なる。 したがって、線形変換Lは、その行列が条件を満たす場合に剛体である。 ここで、[ I ]は単位行列です。この条件を満たす行列は直交行列と呼ばれます。 この条件は実際には、これらの行列の列が直交単位ベクトルであることを要求します。
この条件を満たす行列は、行列乗算の演算の下で数学的な群を形成し、n×n行列の直交群と呼ばれ、O ( n )と表記されます。
直交行列の条件の行列式を計算して、 これは、行列[ L ]の行列式が +1 または −1 のいずれかになることを示しています。行列式が −1 の直交行列は鏡映であり、行列式が +1 の直交行列は回転です。直交行列の集合は、特異行列の集合によって隔てられたR n × n内の 2 つの多様体から構成されていると考えることができることに注意してください。
回転行列の集合は特殊直交群と呼ばれ、SO( n )と表記される。これは多様体の構造を持つため、リー群の一例である。
![{\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95d5d088ebfd3c1a83d9632aef170d7ce89c7ce)
![{\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )\cdot ([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1561e0e6f1c153f1b8a660cc137813fb1efa8ff)
![{\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )^{\mathsf {T}}[L]^{\mathsf {T}}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69df9a7512bc5ed4778c97c08617b2de944d1c75)
![{\displaystyle [L]^{\mathsf {T}}[L]=[I],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbfef3a9e5057b903d2a200f02f8f1c33677732)
![{\displaystyle \det \left([L]^{\mathsf {T}}[L]\right)=\det[L]^{2}=\det[I]=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb98c4e139d1342f866cef17d1ba228a841ac3b)