スクワクル

スクエアクルは、正方形と円の中間の形状です。現在使用されている「スクエアクル」の定義は少なくとも 2 つあり、最も一般的なものは超楕円に基づいています。「スクエアクル」という言葉は、「正方形」と「円」を組み合わせた造語です。スクエアクルは、デザインや光学に応用されてきました。

超楕円ベースのスクエアクル

デカルト座標系では、超楕円は次式で定義されます。ここで、 $r$ $a$ と $r$ $b$ はそれぞれ長半径と短半径、 $a$ と $b は$ 楕円の中心の $x$ 座標と $y$ $座標、 n$ は正の数です。スクエアクルは、 $r$ $a$ $=$ $r$ $b$ および $n$ $= 4$ の超楕円として定義されます。その式は次のとおりです。^[1] ここで、 $r$ はスクエアクルの短半径、長半径は正方形と円の幾何平均です。これを円の式と比較してください。スクエアクルの中心が原点にある場合、 $a$ $=$ $b$ $= 0$ となり、これはラメの特殊四次方程式と呼ばれます。 $\left|{\frac {xa}{r_{a}}}\right|^{n}+\left|{\frac {yb}{r_{b}}}\right|^{n}=1,$ $\left|xa\right|^{4}+\left|yb\right|^{4}=r^{4}$

スクエアクルの内側の面積はガンマ関数Γを用いて次のように表すことができます[ 1 ] $。$ ここ^で r $は$ スクエアクルの短半径、はレムニスケート定数です。 $\mathrm {面積} =4r^{2}{\frac {\left(\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {2}{4}}\right)}}={\frac {8r^{2}\left(\operatorname {\Gamma } \left({\frac {5}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}=\varpi {\sqrt {2}}\,r^{2}\approx 3.708149\,r^{2},$ $\varpi$

p-ノルム表記

$R$ $2$ 上の $p$ ノルム $‖ \cdot ‖ p$ を用いて、スクエアクルは次のように表現できます。ここで、 $p$ $= 4$ 、 $x$ $c$ $= ($ $a$ $,$ $b$ $)$ はスクエアクルの中心を表すベクトル、 $x$ $= ($ $x$ $,$ $y$ $)$ です。実質的には、これは中心から距離 $rにある点の「円」ですが、距離の定義が異なります。比較すると、通常の円は$ $p$ $= 2$ の場合ですが、正方形は $p$ $\to \infty$ の場合（上限ノルム）で与えられ、回転した正方形は $p$ $= 1$ で与えられます（タクシーノルム）。 $\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{c}\right\|_{p}=r$ $これにより、 R$ $3$ の球面立方体、またはスプヒューブ、または高次元の超スプヒューブへの直接的な一般化が可能になります。 ^[2]

フェルナンデス・グアスティのスクワクル

もうひとつのスクエアクルは光学の研究から生まれました。^[3]^[4]これは、その考案者の一人にちなんで、フェルナンデス-グアスティのスクエアクルと呼ばれ、上記の超楕円関連のスクエアクルと区別されます。^[2]原点を中心とするこの種のスクエアクルは、次の方程式で定義できます。ここで、 $r$ はスクエアクルの短半径、 $s$ は直角度パラメータ、 $x$ と $y は$ 区間 $[-$ $r$ $,$ $r$ $]$ 内にあります。 $s$ $= 0$ の場合、方程式は円です。 $s$ $= 1の場合、これは正方形です。この方程式により、$ 無限大を含まずに、円から正方形への移行をスムーズにパラメータ化できます。 $x^{2}+y^{2}-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}x^{2}y^{2}=r^{2}$

周期的なスクワクル

別のタイプのスクワクルは三角法から生じる。^[5]このタイプのスクワクルは $R 2$ で周期的であり、次の式で表される。

$\cos \left({\frac {s\pi x}{2r}}\right)\cos \left({\frac {s\pi y}{2r}}\right)=\cos \left({\frac {s\pi }{2}}\right)$

ここでrはスクエアクルの短半径、sは直角度パラメータ、xとyは[−r, r]の区間内にあります。s が極限で0に近づくと、方程式は円になります。s = 1のとき、方程式は正方形です。この形状は、 Desmosなどのオンライングラフ計算機を使用して視覚化できます。^[6]

類似の形状

スクワクルに似た形状で、角丸正方形は、円を 4 等分してその端を直線で結ぶか、正方形の 4 辺を 4 等分して四分の一円で結ぶことによって生成できます。このような形状はスクエアクルと非常に似ていますが、同一ではありません。角丸正方形の構築は概念的にも物理的にも簡単かもしれませんが、スクエアクルの方程式はより単純で、はるかに簡単に一般化できます。この結果、スクエアクルやその他のスーパー楕円は、非常に簡単に拡大または縮小できます。これは、たとえば、入れ子になったスクエアクルを作成したい場合に便利です。

もう一つの類似した図形は切頂円です。これは、正方形と同心円で囲まれた領域の交差の境界であり、同心円の直径は正方形の辺の長さよりも大きく、かつ正方形の対角線の長さよりも小さい（そのため、各図形の内部点が他の図形の内部にない）ものです。このような図形には、超楕円と角丸正方形の両方が持つ接線連続性がありません。

丸い立方体は超楕円体で定義できます。

用途

スクエアクルは光学において有用である。光が2次元の正方形の開口部を通過する場合、回折パターンの中心点はスクエアクルまたは超円で近似的にモデル化することができる。長方形の開口部を使用する場合、その点は超楕円で近似することができる。^[4]

スクエアキュラーはディナープレートを作るのにも使われてきました。スクエアキュラーのプレートは同じ半径の円形のプレートよりも面積が大きく（そのためより多くの食べ物を入れることができます）、長方形や正方形の食器棚の中で占めるスペースは同じです。^[7]

多くのノキアの携帯電話モデルは、スクエアクル型のタッチパッドボタンを採用して設計されており、^[8]^{[9] 、}第2世代のマイクロソフトZuneも同様である。^[10] アップルは、 iOS、iPadOS、macOS、および一部のアップル製ハードウェアのホームボタンのアイコンにスクエアクルの近似形（実際は五次楕円）を使用している。 ^[11]Androidの「Oreo」オペレーティングシステムで導入されたアダプティブアイコンの形状の1つがスクエアクルである。^[12] サムスンは、 AndroidソフトウェアオーバーレイのOne UI、Samsung Experience、TouchWizでスクエアクル型のアイコンを使用している。^[13]

イタリアの自動車メーカー、フィアットは、第3世代パンダの内外装デザインに多数のスクエアクルを採用した。^[14]

参照

参考文献

^ ab Weisstein, Eric W.「Squircle」。MathWorld。
^ ab Chamberlain Fong (2016). 「Squircular Calculations」. arXiv : 1604.02174 [math.GM].
^ M. Fernández Guasti (1992). 「いくつかの直線図形の解析幾何学」Int. J. Educ. Sci. Technol . 23 : 895–901.
^ ab M. フェルナンデス・グアスティ; A. メレンデス・コバルビアス。 FJレネロ・カリーロ; A. コルネホロドリゲス (2005)。「LCD のピクセル形状と遠視野回折パターン」(PDF)。オプティック。116 (6): 265–269。Bibcode :2005Optik.116..265F。土井：10.1016/j.ijleo.2005.01.018 。2006 年11 月 20 日に取得。
^ C. Fong (2022). 「Squircular Implicit Surfaces の視覚化」. arXiv : 2210.15232 [cs.GR].
^ 「Desmos の周期的スクワール」。
^ 「Squircle Plate」。Kitchen Contraptions。2006年11月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年11月20日閲覧。
^ ノキアのデザイナー、マーク・デラニーは、ノキアのクラシックな携帯電話のデザインに関するビデオでスクワールについて言及している: Nokia 6700 – 携帯電話のリトルブラックドレス。2010年1月6日時点のオリジナルからアーカイブ。 2009年12月9日閲覧。ビデオの3:13を参照。
^ 「Clayton Millerが携帯電話プラットフォーム上の形状を評価」。2011年7月2日閲覧。
^ Marsal, Katie (2009年9月2日). 「Microsoftがハードドライブと「スクワール」をZuneラインナップから廃止」. Apple Insider . 2022年8月25日閲覧。
^ 「スクワクルの狩り」。2022年5月23日閲覧。
^ 「アダプティブアイコン」。2018年1月15日閲覧。
^ 「OneUI」。Samsung Developers 。 2022年4月14日閲覧。
^ 「PANDA DESIGN STORY」（PDF） . 2018年12月30日閲覧。

外部リンク

YouTubeのMatt Parkerによる「Squircle の面積はいくらですか?」
スーパー円とスーパー楕円のオンライン計算機
ウェブベースのスーパーサークルジェネレーター

[Weisstein-1] Weisstein, Eric W.「Squircle」。MathWorld。

[fong-2] Chamberlain Fong (2016). 「Squircular Calculations」. arXiv : 1604.02174 [math.GM].

[3] M. Fernández Guasti (1992). 「いくつかの直線図形の解析幾何学」Int. J. Educ. Sci. Technol . 23 : 895–901.

[optik-4] M. フェルナンデス・グアスティ; A. メレンデス・コバルビアス。 FJレネロ・カリーロ; A. コルネホロドリゲス (2005)。「LCD のピクセル形状と遠視野回折パターン」(PDF)。オプティック。116 (6): 265–269。Bibcode :2005Optik.116..265F。土井：10.1016/j.ijleo.2005.01.018 。2006 年11 月 20 日に取得。

[fong2-5] C. Fong (2022). 「Squircular Implicit Surfaces の視覚化」. arXiv : 2210.15232 [cs.GR].

[6] 「Desmos の周期的スクワール」。

[7] 「Squircle Plate」。Kitchen Contraptions。2006年11月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年11月20日閲覧。

[8] ノキアのデザイナー、マーク・デラニーは、ノキアのクラシックな携帯電話のデザインに関するビデオでスクワールについて言及している: Nokia 6700 – 携帯電話のリトルブラックドレス。2010年1月6日時点のオリジナルからアーカイブ。 2009年12月9日閲覧。ビデオの3:13を参照。

[9] 「Clayton Millerが携帯電話プラットフォーム上の形状を評価」。2011年7月2日閲覧。

[10] Marsal, Katie (2009年9月2日). 「Microsoftがハードドライブと「スクワール」をZuneラインナップから廃止」. Apple Insider . 2022年8月25日閲覧。

[11] 「スクワクルの狩り」。2022年5月23日閲覧。

[12] 「アダプティブアイコン」。2018年1月15日閲覧。

[13] 「OneUI」。Samsung Developers 。 2022年4月14日閲覧。

[14] 「PANDA DESIGN STORY」（PDF） . 2018年12月30日閲覧。