超八面体群

超八面体群は、超立方体または交差多面体の対称性の群として生じる数学的な群の一種です。1930 年にアルフレッド ヤングによって命名されました。このタイプの群は、超立方体の次元であるパラメーターnによって識別されます。

コクセター群としてはB _n = C _n型であり、ワイル群としては奇数次元のシンプレクティック群および直交群に関連付けられている。花輪積としては であり、ここでS _{n は}次数nの対称群である。置換群としては、群は集合⁠ ⁠または集合 ⁠ ⁠ のいずれかの置換 πの符号付き対称群であり、すべての iに対して⁠ ⁠となる。行列群としては、要素がすべて整数であるn × n直交行列の群として記述できる。同様に、これは0、1、または –1 のみの要素を持ち、逆行列であり、各行または各列に 0 以外の要素が 1 つだけあるn × n行列の集合である。超八面体群の表現論は、(Young 1930) によって (Kerber 1971、p. 2) に従って記述された。 ${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$${\displaystyle \{-n,-n+1,\cdots ,-1,1,2,\cdots ,n\}}$${\displaystyle \{-n,-n+1,\cdots ,n\}}$${\displaystyle \pi (i)=-\pi (-i)}$

3次元では、超八面体群はO × S ₂として知られています。ここで、 O ≅ S ₄は八面体群、S _{2 は}位数2の対称群（ここでは巡回群）です。この対称群を持つ3次元の幾何学的図形は、正八面体、または3正方格子にちなんで、八面体対称性を持つと言われています。4次元では、正16セル、または4正方格子にちなんで、 1616対称性と呼ばれます。2次元では、超八面体群構造は位数8の抽象的な二面体群であり、正方形、または2正方格子 の対称性を記述します。

超八面体群は、 B _n、括弧表記、またはコクセター群グラフとして 命名できます。

注目すべき指数 2 の部分群があり、これはコクセター群D _nと半超立方体 の対称性に対応しています。 リース積として見ると、超八面体群から位数 2 の巡回群への自然な写像が 2 つあります。1 つは「のn個のコピーにおけるすべての要素の符号を乗算する」ことからの写像で、もう 1 つは置換の偶奇性から生じる写像です。これらを掛け合わせると、3 番目の写像 が得られます。最初の写像の核はコクセター群 です。符号付き置換 を行列として考えると、この 3 番目の写像は単なる行列式であり、最初の 2 つは「非ゼロ要素の乗算」と「基になる (符号なし) 置換の偶奇性」に対応します。これらは一般に行列には意味がありませんが、 の場合はリース積との一致により意味を持ちます。 ${\displaystyle \{\pm 1\}}$${\displaystyle C_{n}\to \{\pm 1\}}$${\displaystyle D_{n}.}$

これら 3 つの写像の核は、以下の H1: アーベル化で説明するように、すべて超八面体群の 3 つの指数 2 の部分群であり、それらの共通部分は指数 4 (クラインの 4 群の商) の導来部分群であり、これは半超立方体の回転対称性に対応します。

反対方向では、中心はスカラー行列の部分群 {±1} です。幾何学的には、これをで割ることは射影直交群を通過することに相当します。

次元 2 では、これらのグループは、位数 8 の二面体群 Dih ₄である超八面体群を完全に記述し、2.V (位数 2 の巡回群による 4 群の拡張) です。一般に、サブ商 (導来部分群、mod 中心) を通過することは、射影半超立方体の対称群です。

超八面体部分群、次元による D _{n :}

カイラル超八面体対称性は、超八面体対称性の指数 2 の直接部分群です。

もう一つの注目すべき指数2のサブグループは、次元によって超ピリトヘドラル対称性と呼ばれることができます。 ^[5]これらのグループは、n次元 にn個の直交ミラーを持ちます。

超八面体群の群ホモロジーは対称群の群ホモロジーと類似しており、安定ホモトピー理論の意味で安定化を示します。

最初のホモロジー群はアーベル化と一致し、クラインの 4 元群で安定し、次のように与えられます。

${\displaystyle H_{1}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0\\\mathbf {Z} /2&n=1\\\mathbf {Z} /2\times \mathbf {Z} /2&n\geq 2\end{cases}}.}$

これは直接簡単に確認できます。要素は 2 次 ( では空でない) で、すべて共役であり、 の転置( では空でない) も同様で、これらは 2 つの別々のクラスです。これらの要素はグループを生成するため、非自明なアーベル化は 2 群へのものだけであり、これらのクラスは 2 つの別々のクラスであるため、どちらも に独立して送ることができます。マップは、( のn個のコピーにおける)「すべての要素の符号の積」と、順列の符号として明示的に与えられます。これらを掛け合わせると、3 番目の非自明なマップ (これらのクラスの両方を に送る行列の行列式) が生成され、自明なマップとともに 4 群を形成します。 ${\displaystyle -1}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle -1\in \{\pm 1\},}$${\displaystyle \{\pm 1\}}$${\displaystyle -1}$

2番目のホモロジー群は、古典的にはシュアー乗数として知られており、(Ihara & Yokonuma 1965)で計算されました。

彼らです：

${\displaystyle H_{2}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4\end{cases}}.}$