グループの例

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数学におけるグループの基本的な例がグループ (数学)にいくつか示されています。その他の例については、こちらを参照してください。

最初は RGB の順に配置された 3 つの色のブロック (赤、緑、青) を考えます。aを「最初のブロックと 2 番目のブロックを交換する」操作、b を「2 番目のブロックと 3 番目のブロックを交換する」操作とします。

「最初にy を実行し、次にx を実行する」という操作をxy と記述できます。したがって、ab はRGB → RBG → BRG という操作であり、「最初の 2 つのブロックを 1 つ右に移動し、3 番目のブロックを最初の位置に配置する」と説明できます。「ブロックをそのままにする」 (恒等演算) をe と記述すると、3 つのブロックの 6 つの順列を次のように記述できます。

• e  : RGB → RGB
• a  : RGB → GRB
• b  : RGB → RBG
• ab  : RGB → BRG
• ba  : RGB → GBR
• aba  : RGB → BGR

aa はRGB → GRB → RGB という効果があることに注意してください。したがって、 aa = eと書くことができます。同様に、bb = ( aba )( aba ) = e ; ( ab )( ba ) = ( ba )( ab ) = eであるため、すべての要素には逆があります。

検査により結合性と閉包性を判定できます。特に、( ba ) b = bab = b ( ab )であることに注意してください。

これは基本演算aとbから構築されるため、集合 { a ,  b }はこの群を生成すると言えます。対称群S ₃と呼ばれるこの群は、位数が6 で非可換群です(たとえば、ab ≠ baであるため)。

平面の平行移動とは、平面上のすべての点を一定の距離だけ一定の方向に動かすことです。たとえば、「北東方向に 2 キロメートル移動する」は平面の平行移動です。aとbのような 2 つの平行移動を組み合わせて、次のように新しい平行移動a  ∘  bを作成できます。まずbの規定に従い、次にaの規定に従います。たとえば、

a = 「北東に3キロメートル移動する」

そして

b = 「南東に4キロメートル移動する」

それから

a  ∘  b = 「方位 8.13° に 5 キロメートル移動する」（方位は反時計回りに東から測定されます）

あるいは、

a = 「方位 36.87° に 3 キロメートル移動する」（方位は反時計回りに東から測定されます）

そして

b = 「方位 306.87° に 4 キロメートル移動します」（方位は反時計回りに東から測定されます）

それから

a  ∘  b = 「東に 5 キロメートル移動する」

(幾何学的になぜそうなるのかについては、 ピタゴラスの定理を参照してください)。

合成を演算とする平面のすべての平行移動の集合は、次のグループを形成します。

1. aとb が変換である場合、a  ∘  bも変換です。
2. 翻訳の合成は結合的です: ( a  ∘  b ) ∘  c = a  ∘ ( b  ∘  c )。
3. このグループのアイデンティティ要素は、「任意の方向に 0 キロメートル移動する」という指示を伴う翻訳です。
4. 平行移動の逆は、反対方向に同じ距離を歩くことで得られます。

これはアーベル群であり、リー群の最初の（非離散的な）例です。リー群は多様体でもある群です。

グループは、幾何学的(四面体など) または代数的 (方程式のセットなど) なオブジェクトの対称性を説明するために非常に重要です。例として、特定の厚さのガラスの正方形(異なる位置を区別できるように、文字「F」が書かれています) を考えます。

対称性を説明するために、視覚的に違いを生まない正方形のすべての固定された動きの集合を形成します (「F」を除く)。たとえば、物体を時計回りに 90 度回転させても同じに見える場合、その動きは集合の 1 つの要素 (たとえばa ) になります。また、垂直軸を中心に反転させて、底面が上面になり、左端が右端になるようにすることもできます。この動きを行った後も、ガラスの正方形は同じに見えるため、これも集合の要素となり、bと呼びます。何も起こらない動きはeで示されます。

このような 2 つの動きxとy が与えられた場合、上記のようにx  ∘  yの構成を定義することができます。最初に動きyが実行され、次に動きxが実行されます。結果として、スラブは以前と同じように見えます。

重要なのは、合成を操作とするこれらすべての動きの集合がグループを形成するということです。このグループは、正方形の対称性を最も簡潔に記述したものです。化学者は、このタイプの対称性グループを使用して、結晶と分子の対称性を記述します。

正方形の対称群をもう少し調べてみましょう。現在、要素はa、b、eですが、簡単にさらに作成できます。たとえば、a  ∘  aはa ²とも表記され、180° 回転です。 a ^{3 は}時計回りに 270° 回転 (または反時計回りに 90° 回転) です。また、b ² = eであり、a ⁴ = eであることもわかります。ここで興味深い点があります。a  ∘  b は何をしますか? まず水平に反転し、次に回転します。 a  ∘  b = b  ∘  a ³であることを視覚化してみてください。また、a ²  ∘  b は垂直反転で、 b  ∘  a ²と等しくなります。

要素aとb が グループを 生成すると言います。

この 8 次群には次のケーリー表があります。

グループ内の任意の 2 つの要素について、その構成が表に記録されます。ここでは、a ³  ∘  bの省略形として「 a ³ b 」と書きました。

数学では、この群は位数 8 の二面体群として知られ、慣例に応じて Dih ₄、 D ₄ 、または D ₈と表記されます。これは非可換群の例です。ここでの演算 ∘ は可換ではなく、これは表からわかります。表は主対角線に対して対称ではありません。

このバージョンのケイリー表は、このグループに赤い背景で示される 1 つの正規サブグループがあることを示しています。この表では、r は回転、f は反転を意味します。サブグループは正規なので、左のコセットは右のコセットと同じです。

2 つの生成元aとb を持つ自由群は、 4つの記号a、a ⁻¹、b、b ⁻¹から形成できるすべての有限文字列/単語で構成され、 a はa ⁻¹のすぐ隣には現れず、b はb ⁻¹のすぐ隣には現れません。このような 2 つの文字列を連結し、このタイプの文字列に変換できます。これを行うには、「禁止」部分文字列を空の文字列に繰り返し置き換えます。たとえば、「abab ⁻¹ a ⁻¹」を「abab ⁻¹ a」と連結すると、「abab ⁻¹ a ⁻¹ abab ⁻¹ a」になり、これが「abaab ⁻¹ a」に縮小されます。この操作により、これらの文字列のセットが、空の文字列 ε := "" を単位元とするグループを形成することを確認できます (通常、引用符は省略されます。これが記号 ε が必要な理由です)。

これはもう一つの無限非可換群です。

自由群は代数的位相幾何学において重要であり、2つの生成元における自由群はバナッハ・タルスキーのパラドックスの証明にも使用されます。

G を群、S を集合とする。写像の集合M ( S ,  G ) はそれ自体が群である。すなわち、SからGへの 2 つの写像f、  gに対して、 Sのすべてのxに対して ( fg )( x ) =  f ( x ) g ( x )となる写像をfgと定義し、f ^−1をf ⁻¹ ( x ) =  f ( x ) ⁻¹となる写像と定義する。

M ( S ,  G )の写像f、g、hを取ります。Sの任意のxについて、f ( x ) とg ( x ) は両方ともGに含まれ、 ( fg )( x ) も両方 G に含まれます。したがって、fgもM ( S ,  G ) に含まれます。つまり、M ( S ,  G ) は閉じています。 M ( S ,  G ) は結合的です。なぜなら、 (( fg ) h )( x ) = ( fg )( x ) h ( x ) = ( f ( x ) g ( x )) h ( x ) =  f ( x )( g ( x ) h ( x )) =  f ( x )( gh )( x ) = ( f ( gh ))( x ) であるためです。また、 i ( x ) =  eとなる写像iが存在します。ここでe はGの単位元です。写像i は、 M ( S ,  G )内のすべてのfに対してfi  =  if  =  fが成り立つ ような写像です。つまり、i はM ( S ,  G )の単位元です。したがって、M ( S ,  G ) は実際には群です。

G がアーベル行列であれば、( fg )( x ) =  f ( x ) g ( x ) =  g ( x ) f ( x ) = ( gf )( x ) であり、したがってM ( S ,  G ) もアーベル行列である。

G を集合Sからそれ自身への全単射写像の集合とします。すると、 G は通常の写像の合成のもとで群を形成します。この群は対称群と呼ばれ、一般に、Σ _S、または と表記されます。 Gの恒等元はSの恒等写像です。 G内の2 つの写像f、  gが全単射である場合、fgも全単射です。したがって、G は閉じています。写像の合成は結合的であるため、Gは群です。Sは有限または無限のいずれかです。 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (S)}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{S}}$

n が正の整数である場合、たとえば、実数成分を持つn行 n列の可逆なすべての 行列の集合を考えることができます。これは、演算として行列の乗算を持つグループです。これは一般線型群と呼ばれ、GL _n ( R ) または GL( n , R ) と表記されます (ここで、Rは実数の集合)。幾何学的には、これは、与えられた点 (原点)を固定するn次元ユークリッド空間の回転、反射、拡大、およびスキュー変換のすべての組み合わせを含みます。

行列式が 1 の行列に限定すると、別のグループ、特殊線型グループSL _n ( R ) または SL( n , R ) が得られます。幾何学的には、これはユークリッド空間内のさまざまな幾何学的立体の方向と体積の両方を保存するGL _n ( R )のすべての要素で構成されます。

代わりに直交行列に限定すると、直交群O _n ( R ) または O( n , R ) が得られます。幾何学的には、これは原点を固定する回転と反射のすべての組み合わせで構成されます。これらはまさに長さと角度を保存する変換です。

最後に、両方の制限を課すと、回転のみで構成される 特殊直交群SO _n ( R ) または SO( n , R ) が得られます。

これらの群は、無限非可換群の最初の例です。これらは、偶然にもリー群でもあります。実際、重要なリー群のほとんど (すべてではありませんが) は、行列群として表現できます。

この考え方を複素数を要素とする行列に一般化すると、ユニタリ群U( n )などのさらに有用なリー群が得られます。四元数を要素とする行列も考えられます。この場合、行列式の明確な概念はありません (したがって、四元数の「体積」を定義する適切な方法はありません) が、直交群に類似した群、シンプレクティック群Sp( n ) を定義することはできます。

さらに、この考え方は任意の体上の行列を使って純粋に代数的に扱うことができますが、その場合、群はリー群ではありません。

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