チェビシェフ距離

数学において、チェビシェフ距離（またはチェビシェフ距離）、最大メトリック、またはL∞メトリック^{[ 1 ]}_は、実座標空間上で定義されるメトリックであり、2点間の距離は任意の座標次元に沿ったそれらの差の最大値である^{[ 2 ]} 。これはパフヌティ・チェビシェフにちなんで名付けられた。

チェス盤距離とも呼ばれます。チェスでは、キングがチェス盤上の1つのマスから別のマスに移動するために必要な最小移動回数は、マス目の中心間のチェビシェフ距離に等しくなります。ただし、マス目は辺の長さが1で、軸が盤の端に揃った2次元空間座標で表されます。^{[ 3 ]}例えば、f6とe2の間のチェビシェフ距離は4です。

標準座標系における2つのベクトルまたは点aとb間のチェビシェフ距離${\displaystyle a_{i}}$そして${\displaystyle b_{i}}$それぞれ、

$${\displaystyle D(a,b)=\max _{i}(|a_{i}-b_{i}|).}$$これはL _pメトリック の極限に等しい。 $${\displaystyle D(a,b)=\lim _{p\to \infty }{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}-b_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p},}$$_{そのため、 L∞}メトリック とも呼ばれる。

数学的に言えば、チェビシェフ距離は上限ノルムまたは一様ノルムによって誘導される距離です。これは単射距離の一例です。

2次元、つまり平面幾何学において、点aと点bがデカルト座標を持つ場合${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$そして${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$チェビシェフ距離は

$${\displaystyle D_{\rm {Chebyshev}}=\max \left(\left|x_{2}-x_{1}\right|,\left|y_{2}-y_{1}\right|\right).}$$

この尺度では、中心点からチェビシェフ距離rにある点の集合である半径rの円は、辺の長さが2rで座標軸に平行な正方形である。

チェス盤では、連続的なチェビシェフ距離ではなく離散的なチェビシェフ距離を用いる場合、半径rの円は、正方形の中心から測った辺の長さが2rの正方形となり、各辺には2r +1個の正方形が含まれます。例えば、チェス盤上の半径1の円は3 × 3の正方形です。

一次元の場合、すべてのL _pメトリックは等しく、それらは単に差の絶対値になります。

2次元マンハッタン距離は、座標軸に対してπ/4（45°）の角度で配置された、辺の長さが√2rの正方形の形をした「円」、つまりレベルセットを持つため、平面チェビシェフ距離は、回転とスケーリングによって平面マンハッタン距離と等価（つまり線形変換）と見なすことができます。

しかし、L ₁メトリックと L _∞メトリックの間のこの幾何学的等価性は、より高次元には一般化されません。チェビシェフ距離をメトリックとして形成した球は、各面が座標軸のいずれかに垂直な立方体ですが、マンハッタン距離を使用して形成された球は正八面体です。これらは双対多面体ですが、立方体の中では、正方形（および 1 次元の線分）のみが自己双対多面体です。とはいえ、すべての有限次元空間において、L ₁メトリックと L _∞メトリックは数学的に互いに双対であることは事実です。

グリッド（チェス盤など）上では、ある点からチェビシェフ距離が1である点の集合が、その点のムーア近傍である。

チェビシェフ距離は次数-の極限ケースである。${\displaystyle p}$ミンコフスキー距離、${\displaystyle p}$無限大に達する。

チェビシェフ距離は、倉庫物流で使われることがあります^{[ 4 ]。}これは、天井クレーンが物体を移動するのにかかる時間を効果的に測定するためです（クレーンはx軸とy軸で同時に移動できますが、各軸に沿って同じ速度で移動できます）。

また、電子コンピュータ支援製造（CAM）アプリケーション、特にこれらの最適化アルゴリズムにおいて広く利用されている。

実数または複素数の無限長数列の数列空間の場合、チェビシェフ距離は次のように一般化されます。${\displaystyle \ell ^{\infty }}$-ノルム。このノルムはチェビシェフノルムと呼ばれることもあります。実数値または複素数値の関数の空間では、チェビシェフ距離は一様ノルムに一般化されます。

• キングのグラフ
• タクシーの形状