等脚台形

等脚台形
対称軸を持つ等脚台形
タイプ	四角形、台形
エッジと頂点	4
対称グループ	Dih 1、[ ]、(*)、順序 1
プロパティ	凸、循環
デュアルポリゴン	凧

ユークリッド幾何学において、等脚台形（じょうぎだいとうだい、英: isosceles trapezium）は、一対の向かい合う辺を二等分する対称線を持つ凸四辺形である。台形の特殊なケースである。あるいは、両脚と両底角が等しい台形として定義されることもある。 ^[1]あるいは、対角線の長さが等しい台形^{[2] 。長方形でない}平行四辺形は、2 番目の条件のため、または対称線がないため、等脚台形ではないことに注意する。どの等脚台形でも、向かい合う 2 辺 (底辺) は平行であり、他の 2 辺 (脚) の長さは等しく (平行四辺形と共有される特性)、対角線の長さは等しい。二等辺台形の底角は大きさが等しいです (実際には底角が等しい 2 組があり、一方の底角は他方の底角の補角 です)。

長方形と正方形は通常、等脚台形の特殊なケースであると考えられていますが、いくつかの資料ではそれらを除外しています。^[3]

もう一つの特殊なケースは、3辺が等しい台形であり、三辺台形^[4]または三等辺台形と呼ばれることもあります。これらは、5辺以上の正多角形から4つの連続する頂点を切り取ったものとして 解剖することもできます。

対称軸が1つだけある、自己交差しない四辺形は、等脚台形か凧形のいずれかでなければなりません。^[5]しかし、交差が許される場合、対称四辺形の集合は、交差した等脚台形、交差する辺の長さが等しく、他の辺が平行である交差四辺形、および反対の辺の長さが等しい交差四辺形である逆平行四辺形も含むように拡張されなければなりません。

すべての反平行四辺形は等脚台形を凸包として持ち、等脚台形の対角線と非平行辺（長方形の場合は反対側の辺のいずれか）から形成される。^[6]

四辺形が台形であることが分かっている場合、脚の長さが同じかどうかを確認するだけでは、それが二等辺台形であることを知るのに十分ではありません。なぜなら、菱形は脚の長さが等しい台形の特殊なケースですが、反対側の辺の中点を通る対称線がないため二等辺台形ではないからです。

等脚台形は、以下のいずれかの特性によって他の台形と区別されます。

• 対角線の長さは同じです。
• 底角の大きさは同じです。
• 平行な辺の中点を結ぶ線分は、それらの辺に対して垂直になります。
• 向かい合う角は補角であり、これは二等辺台形が周期的な四辺形であることを意味します。
• 対角線は、互いに等しい長さの線分に分割します。下の図では、AE = DE、BE = CE です(長方形を除外する場合はAE ≠ CEです)。

等脚台形の場合、底角は 2 つとも大きさが同じです。下の図では、角 ∠ ABCと ∠ DCB は同じ大きさの鈍角ですが、角 ∠ BADと ∠ CDAは同じ大きさの 鋭角です。

線分ADと線分BCは平行なので、反対の底辺に隣接する角は補角、つまり角∠ABC + ∠BAD = 180°となります。

等脚台形の対角線の長さは同じです。つまり、すべての等脚台形は正対角四辺形です。さらに、対角線は互いに同じ比率で分割します。図に示すように、対角線ACとBD は同じ長さ ( AC = BD ) で、互いに同じ長さの線分 ( AE = DEおよびBE = CE ) に分割します。

各対角線を分割する比率は、それらが交差する平行辺の長さの比率に等しい。つまり、

${\displaystyle {\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.}$

各対角線の長さは、プトレマイオスの定理によれば、次のように表される。

${\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2}}}}$

ここで、aとb は平行な辺ADとBCの長さであり、c は各辺ABとCDの長さです。

高さは、ピタゴラスの定理によれば、次のように表される。

${\displaystyle h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(ab)^{2}}}.}$

点Eから底辺ADまでの距離は次のように表される。

${\displaystyle d={\frac {ah}{a+b}}}$

ここで、aとbは平行な辺ADとBCの長さであり、hは台形の高さです。

二等辺台形（または任意の台形）の面積は、底辺と上辺（平行な辺）の長さの平均に高さを掛けたものに等しい。隣の図で、AD = a、 BC = bと書き、高さhをADとBCの間にある、それらに垂直な線分の長さとすると、面積Kは

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left(a+b\right)h.}$

台形の高さの代わりに、脚の共通の長さAB = CD = cがわかっている場合は、ブラフマグプタの円周四辺形の面積の公式を使用して面積を計算できます。この公式は、2辺が等しい場合、次のように簡略化されます。

${\displaystyle K=(sc){\sqrt {(sa)(sb)}},}$

ここで、は台形の半周長です。この公式は三角形の面積を計算する ヘロンの公式に似ています。面積の前の公式は次のようにも書けます。${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)}$

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4}}{\sqrt {(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}$

外接円の半径は^{[7]で与えられる。}

${\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(ab)^{2}}}}.}$

a = bの長方形では、これは と簡略化されます。 ${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}$

• 等脚接線台形

• 等脚台形に関するいくつかの工学式