双曲面上の均一なタイリング

双曲幾何学において、一様双曲タイリング（または正多角形、準正多角形、半正多角形双曲タイリング）は、正多角形を面として持ち、頂点推移的（頂点上で推移的、等角的、つまり任意の頂点を他の任意の頂点に写像する等長変換が存在する）である双曲平面のエッジからエッジまでの充填である。その結果、すべての頂点は合同であり、タイリングは高度な回転対称性および並進対称性を持つ。

均一なタイリングは、頂点構成、つまり各頂点の周りの多角形の辺の数を表す一連の数字によって識別できます。たとえば、7.7.7 は、各頂点の周りに3 つの七角形がある七角形タイリングを表します。すべての多角形が同じサイズであるため、これは規則的であり、 Schläfli 記号{7,3} を付与することもできます。

均一なタイリングは、正則（面と辺も推移的である場合）、準正則（辺は推移的だが面は推移的でない場合）、または半正則（辺も面も推移的でない場合）のいずれかになります。直角三角形（p  q 2）の場合、 Schläfli 記号{ p , q } と { q , p } で表される 2 つの正則タイリングがあります。

シュワルツ三角形（pqr）に基づく均一なタイリングは無限に存在する。ここで、1/p⁠ + ⁠1/q⁠ + ⁠1/r⁠ < 1、ここでp、q、r はそれぞれ基本領域三角形の 3 つの点における反射対称性の次数です。対称群は双曲三角形群です。

各対称ファミリーには、ウィトフ記号またはコクセター・ディンキン図で定義される 7 つの均一なタイリングが含まれており、そのうち 7 つは 3 つのアクティブなミラーの組み合わせを表します。8 つ目は、すべてのミラーがアクティブな状態で、最も高いフォームから交互の頂点を削除する 交代操作を表します。

r = 2の族には、[7,3]、[8,3]、[9,3]、... [5,4]、[6,4]、...などの コクセター群によって定義される正則双曲型タイリングが含まれます。

r = 3以上の双曲族は( pqr )で与えられ、(4 3 3)、(5 3 3)、(6 3 3)...(4 4 3)、(5 4 3)、...(4 4 4)が含まれます。

双曲三角形 ( pqr ) は、コンパクトな均一な双曲タイリングを定義します。極限では、p、q、rのいずれかを∞ に置き換えることができ、これにより、パラコンパクト双曲三角形が定義され、単一の理想点に収束する無限の面 (アペイロゴンと呼ばれる) または同じ理想点から無限に多くの辺が分岐する無限頂点図形のいずれかを持つ均一なタイリングが作成されます。

三角形ではない基本領域から、より多くの対称性ファミリを構築できます。

以下に、選択された均一なタイリングのファミリーを示します (双曲面のポアンカレ ディスク モデルを使用)。これらのうち 3 つ (7 3 2)、(5 4 2)、(4 3 3) は、他の 3 つとは異なり、定義数のいずれかを小さい整数に置き換えると、結果として得られるパターンは双曲的ではなくユークリッド的または球状になるという意味で最小です。逆に、任意の数を (無限大まで) 増やすと、他の双曲的パターンが生成されます。

各ユニフォーム タイリングはデュアル ユニフォーム タイリングを生成し、それらの多くは以下にも示されています。

( pq 2)三角形群族は無限に存在します。この記事では、 p、q = 8までの規則的なタイリングと、12 の族における均一なタイリングを示します: (7 3 2)、(8 3 2)、(5 4 2)、(6 4 2)、(7 4 2)、(8 4 2)、(5 5 2)、(6 5 2)、(6 6 2)、(7 7 2)、(8 6 2)、(8 8 2)。

最も単純な双曲タイリングのセットは、正多面体タイリングとユークリッドタイリングとともに行列内に存在する正則タイリング { p , q } です。正則タイリング { p , q }には、テーブルの対角軸を横切る双対タイリング { q , p } があります。自己双対タイリング {2,2}、 {3,3}、{4,4}、{5,5}などは、テーブルの対角線に沿って下方に渡されます。

(7 3 2) 三角形群、コクセター群[7,3]、オービフォールド(*732)には、次の一様タイリングが含まれます。

(8 3 2) 三角形群、コクセター群[8,3]、オービフォールド(*832)には以下の一様タイリングが含まれる。

(5 4 2) 三角形群、コクセター群[5,4]、オービフォールド(*542)には、次の一様タイリングが含まれます。

(6 4 2)三角形群、コクセター群[6,4]、オービフォールド(*642)には、これらの一様タイリングが含まれています。すべての要素が偶数であるため、各一様双対タイリングは、反射対称性の基本領域を表します。それぞれ、*3333、*662、*3232、*443、*222222、*3222、*642です。また、7つの一様タイリングはすべて交互に配置でき、それらにも双対があります。

(7 4 2)三角形群、コクセター群[7,4]、オービフォールド(*742)には、次の一様タイリングが含まれます。

(8 4 2)三角形群、コクセター群[8,4]、オービフォールド(*842)には、これらの一様タイリングが含まれます。すべての要素が偶数であるため、各一様双対タイリングは、それぞれ*4444、*882、*4242、*444、*22222222、*4222、*842の反射対称性の基本領域を表します。また、7つの一様タイリングはすべて交互に配置でき、それらにも双対があります。

(5 5 2)三角形群、コクセター群[5,5]、オービフォールド(*552)には、次の一様タイリングが含まれます。

(6 5 2)三角形群、コクセター群[6,5]、オービフォールド(*652)には、次の一様タイリングが含まれます。

(6 6 2) 三角形群、コクセター群[6,6]、オービフォールド(*662)には、次の一様タイリングが含まれます。

(8 6 2)三角形群、コクセター群[8,6]、オービフォールド(*862)はこれらの一様タイリングを含む。

(7 7 2)三角形群、コクセター群[7,7]、オービフォールド(*772)には、次の一様タイリングが含まれます。

(8 8 2) 三角形群、コクセター群[8,8]、オービフォールド(*882)には、次の一様タイリングが含まれます。

一般三角形群族 ( pqr ) は無限に存在します。この記事では、9 つ​​の族の均一なタイリングを示します: (4 3 3)、(4 4 3)、(4 4 4)、(5 3 3)、(5 4 3)、(5 4 4)、(6 3 3)、(6 4 3)、(6 4 4)。

(4 3 3) 三角形群、コクセター群[(4,3,3)]、オービフォールド(*433) には、これらの一様なタイリングが含まれます。基本三角形に直角がないため、ウィトフの構成は若干異なります。たとえば、(4,3,3)三角形族では、スナブ形式は頂点の周りに 6 つの多角形を持ち、その双対は五角形ではなく六角形を持ちます。一般に、三角形 ( p、q、r )のスナブタイリングの頂点図形はp. 3.q.3.r.3 であり、この場合は以下の 4.3.3.3.3.3 になります。

(4 4 3) 三角形群、コクセター群[(4,4,3)]、オービフォールド(*443)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

(4 4 4) 三角形群、コクセター群[(4,4,4)]、オービフォールド(*444)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

(5 3 3)三角形群、コクセター群[(5,3,3)]、オービフォールド(*533)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

(5 4 3)三角形群、コクセター群[(5,4,3)]、オービフォールド(*543)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

(5 4 4)三角形群、コクセター群[(5,4,4)]、オービフォールド(*544)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

(6 3 3)三角形群、コクセター群[(6,3,3)]、オービフォールド(*633)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

(6 4 3)三角形群、コクセター群[(6,4,3)]、オービフォールド(*643)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

(6 4 4) 三角形群、コクセター群[(6,4,4)]、オービフォールド(*644)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

基本領域 ( pqr )を持つすべての一様双曲タイル張りの表。ただし、 2 ≤ p、q、r ≤ 8 です。

テンプレート:有限三角双曲タイル表を参照

四辺形基本領域は双曲面にも存在し、*3222 オービフォールド([∞,3,∞] コクセター表記) が最小の族です。四辺形領域内には均一タイリングの生成場所が 9 つあります。頂点図は、基本領域から (1) コーナー (2) 中間エッジ (3) 中心の 3 つのケースとして抽出できます。生成点が次数 2 のコーナーに隣接するコーナーである場合、それらのコーナーに退化した {2}二角形面が存在しますが、無視できます。頂点図に偶数面のみが含まれている場合は、スナブおよび交互均一タイリングも生成できます (図示せず)。

四辺形領域のCoxeter 図は、6 辺のうち 2 辺が無限大または点線としてラベル付けされた縮退四面体グラフとして扱われます。2 つの平行ミラーのうち少なくとも 1 つがアクティブであるという論理要件により、均一なケースは 9 つに制限され、その他のリング パターンは有効ではありません。

三角形群の族は無限に存在し、無限の順序も存在します。この記事では、(∞ 3 2)、(∞ 4 2)、(∞ ∞ 2)、(∞ 3 3)、(∞ 4 3)、(∞ 4 4)、(∞ ∞ 3)、(∞ ∞ 4)、(∞ ∞ ∞) の 9 つの族における均一なタイリングを示します。

理想(∞ 3 2) 三角形群、コクセター群[∞,3]、オービフォールド(*∞32)には、次の一様タイリングが含まれます。

理想(∞ 4 2) 三角形群、コクセター群[∞,4]、オービフォールド(*∞42)には、次の一様タイリングが含まれます。

理想(∞ 5 2)三角形群、コクセター群[∞,5]、オービフォールド(*∞52)には、次の一様タイリングが含まれます。

理想(∞ ∞ 2) 三角形群、コクセター群[∞,∞]、オービフォールド(*∞∞2) には、次の一様タイリングが含まれます。

理想的な(∞ 3 3) 三角形群、コクセター群[(∞,3,3)]、オービフォールド(*∞33)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

理想 (∞ 4 3)三角形群、コクセター群[(∞,4,3)]、オービフォールド(*∞43) には、次の一様タイリングが含まれます。

理想(∞ 4 4) 三角形群、コクセター群[(∞,4,4)]、オービフォールド(*∞44)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

理想(∞ ∞ 3)三角形群、コクセター群[(∞,∞,3)]、オービフォールド(*∞∞3)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

理想(∞ ∞ 4)三角形群、コクセター群[(∞,∞,4)]、オービフォールド(*∞∞4)にはこれらの一様タイリングが含まれます。

理想的な(∞ ∞ ∞) 三角形群、コクセター群[(∞,∞,∞)]、オービフォールド(*∞∞∞) には、これらの一様タイリングが含まれます。

基本領域 ( pqr )を持つすべての一様双曲タイル張りの表。ただし、 2 ≤ p、q、r ≤ 8 であり、 1 つ以上が ∞ です。

• John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)

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• Klitzing, Richard. "2D Tesselations Hyperbolic Tesselations".
• The EPINET project explores 2D hyperbolic (H²) tilings