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欠落した正方形パズルは、数学の授業で生徒が幾何学的図形について推論するのを助けるために用いられる錯視です。正確には、図形を使って推論するのではなく、文章による説明と幾何学の公理のみを使って推論することを教えるためのものです。このパズルは、わずかに異なる配置で似たような図形を2つ並べたものです。どちらも一見13×5の直角三角形を形成しているように見えますが、片方には1×1の穴が開いています。
このパズルの鍵は、13×5の「三角形」はどちらも真の三角形ではなく、仮に真の三角形だったとしても、斜辺に見える部分が曲がっているため、13×5にはならないという点にある。つまり、人間の目にはそう見えるかもしれないが、「斜辺」は一定の傾きを保っていないのだ。
与えられた構成要素から真の 13×5 の三角形を作ることはできません。4 つの図形 (黄色、赤、青、緑の図形) の合計面積は 32 単位です。これらの図形から形成される見かけ上の三角形は幅 13 単位、高さ 5 単位なので、面積はS = 13 ×5 / 2 = 32.5 単位になるはずです。しかし、青い三角形の比率は 5:2 (=2.5) であり、赤い三角形の比率は 8:3 (≈2.667) なので、各図形の見かけ上の合算斜辺は実際には曲がっています。曲がった斜辺により、最初の図形は実際に 32 単位の面積を占め、2 番目の図形は「欠落した」正方形を含めて 33 単位を占めます。
曲がり具合は約 1/28 単位 (1.245364267°) で、パズルの図では見えにくいため、図で示しました。下の図の赤と青の三角形が交わるグリッド点 (結合図の左下隅から右に 5 マス、上に 2 単位) に注目し、もう一方の図の同じ点と比較してください。上の図では端がマークのすぐ下にありますが、下の図ではマークを通ります。両方の図の「斜辺」を重ね合わせると、面積がちょうど 1 グリッド マス (ピックの定理では0 [ 1 ] + 4 [ 2 ] / 2 − 1 = 1) の非常に細い平行四辺形(上の図の 4 つの赤い点で表されています) になり、これが「欠落」した面積に対応します。
より単純な教育的解釈としては、赤と青の三角形を配置した後、残りの領域が異なる長方形の面積（それぞれ15と16の正方形）を持つことを観察することであり、これは欠落した正方形を直接示唆している。[ 3 ]
マーティン・ガードナー[ 4 ]によると、この特定のパズルは1953年にニューヨーク市のアマチュアマジシャン、ポール・カリーによって考案された。しかし、解剖パラドックスの原理は16世紀初頭から知られていた。
パズルの各部分の整数次元（2、3、5、8、13）は連続するフィボナッチ数であり、これにより細長い平行四辺形の正確な単位面積が得られます。他の多くの幾何学的分割パズルは、フィボナッチ数列のいくつかの単純な性質に基づいています。[ 5 ]
サム・ロイドのチェス盤のパラドックスは、8×8の正方形の2つの再配置を示しています。「大きい」再配置（右の画像の5×13の長方形）では、図形間の隙間の合計面積が、対応する正方形の隙間よりも1単位の正方形分大きいため、そこの図形が元の正方形の図形の図形よりも多くのスペースを占めているように見えます。[ 6 ]「小さい」再配置（5×13の長方形の下の形状）では、各四角形が上端/下端をグリッド線に合わせるために、三角形と半単位の面積だけ重なる必要があり、結果として全体で1単位の正方形の面積が失われます。
松山光信のパラドックスは、4つの合同な四角形と小さな正方形を用いて、より大きな正方形を形成するものです。四角形をそれぞれの中心軸を中心に回転させると、小さな正方形の空間を埋め尽くしますが、図形の総面積は変化しないように見えます。この一見矛盾する現象は、新しい大きな正方形の一辺が元の正方形の一辺よりわずかに小さいという事実によって説明されます。各四角形の向かい合う2辺の間の角度をθとすると、 2つの面積の比はsec 2 θで与えられます。θ = 5 ° の場合、これは約1.00765となり、約0.8%の差に相当します。
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