幾何学的構成

Geometric Constructionsは、構成可能な数、より一般的には抽象代数を使用して特定の種類の幾何学的構成を通じて作成できる点の集合をモデル化すること、およびガロア理論を使用して実行可能な構成の制限を証明することに関する数学の教科書です。これは、George E. Martin によって書かれ、1998 年にSpringer-VerlagからUndergraduate Texts in Mathematics書籍シリーズ の第 81 巻として出版されました

『幾何学作図法』は10章から成っている。^[1]最初の2章では、定規とコンパスによる作図（ユークリッドの『原論』の作図の多くを含む）とその代数モデルである作図可能数について論じている。また、定規とコンパスによる作図に関する古代ギリシャの問題の不可能性結果も含まれており、立方体を倍にすることや角度を三等分することが不可能であることは代数的に証明されているが、円を二乗することやいくつかの正多角形を作図することが不可能であることは言及されているものの証明されていない。^{[1] [2]}

次の4章では、コンパスや定規の使用が制限されると何が起こるかを検討します。モール・マスケローニの定理によれば、コンパスのみを使用する場合は作図可能性に損失はありませんが、コンパスなしの定規は、補助円が提供されない限り、大幅にパワーが低下します（ポンスレ・シュタイナーの定理）。これらの章では、コンパスが、線分を他の線の等しい線分に転送することはできるが、円と他の曲線の交点を見つけることができないツールであるデバイダ、または半径を変更できない錆びたコンパスに制限されていること、そしてマルファッティの円を描くためにデバイダを使用するコンパスであることについても説明します。^{[1] [2]}

最後の 3 章では、定規とコンパス以外の作図ツールについて取り上げます。1930年代のトーマス レイナー ドーソンによる「マッチ棒幾何学」という非常に制限された作図形式では、単位線分のみを使用します。単位線分は互いに沿わせたり、交差させたり、端点の 1 つを軸に回転させることができます。制限があるにもかかわらず、これは定規とコンパスと同じくらい強力です。第 9 章では、目盛り付き定規を使用したニューシス作図について検討し、最後の章では紙折りの数学について調べます。目盛り付き定規と紙折りのモデルは代数的に同等であり、どちらも角度の三等分作図が可能です。^{[1] [2]}

『幾何学的構成』には、記述されている数学だけでなく、歴史的背景に関する多くの情報^[2]、追加で読むための引用や資料へのポインタ^[3]、そして多くの演習問題の解答やヒント^{[4]が含まれています。}

マーティンはもともと、この本を数学教師を目指す学生のための大学院レベルの教科書として出版するつもりでした。^[2]しかし、この用途だけでなく、幾何学の歴史に興味があり、抽象代数学の学部レベルの知識を持つ人なら誰でも読むことができ、幾何学的構成に関する参考書としても使用できます。^[4]

評論家のホルスト・マルティーニは、この本は「主題の楽しさを伝えている」と書いている^[1]。一方、モーリス・バークは、この本を「読者にゲームをプレイし、頻繁に寄り道（多くは予想外）し、その旅を楽しむように誘う」本だと評している^{[4] 。}