求積法（数学）

ギリシャの数学者たちは、図形の面積を求めることを、同じ面積を持つ正方形を幾何学的に作図する過程（平方化）として理解していたため、この過程を求積法（クォードラチュア）と呼んだ。ギリシャの幾何学者たちは必ずしも成功したわけではなかったが（円積化を参照）、ヒポクラテスの三日月形や放物線のように、辺が単なる線分ではない図形の求積法を実際に行った。ギリシャのある伝統によれば、これらの作図はコンパスと定規のみを用いて行わなければならなかったが、すべてのギリシャの数学者がこの慣習に従っていたわけではなかった。

辺の長さがaとbの長方形の求積を行うには、辺の長さが の正方形を作図する必要がある。${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$（aとbの幾何平均）。この目的のために、次の方法を用いることができます。長さaとbの線分を結んで直径となる円を描くと、その線分の接続点から円との交点まで、直径に垂直に引いた線分の高さ（図中のBH ）は、 aとbの幾何平均に等しくなります。同様の幾何学的作図によって、平行四辺形や三角形の求積問題も解くことができます。

曲線図形の求積問題ははるかに難しい。コンパスと定規による円の求積は19世紀に不可能であることが証明された。^{[ 1 ] [ 2 ]}それにもかかわらず、いくつかの図形については求積を行うことができる。アルキメデスによって発見された球面と放物線セグメントの表面の求積は、古代における解析の最高業績となった。

• 球の表面積は、その球を中心とする大円によって形成される円の面積の4倍に等しい。
• 放物線を直線で切断してできる線分の面積は、その線分に内接する三角形の面積の4/3である（具体的には、放物線と割線との2つの交点と、同じ傾きの接線との交点を頂点とする三角形の面積である）。

これらの結果の証明には、アルキメデスはエウドクソスに帰せられる除去法を用いた。^{[ 3 ]}

中世ヨーロッパでは、求積法とは、あらゆる方法による面積の計算を意味した。最もよく用いられたのは不可分法であった。これはギリシャ人の幾何学的作図法ほど厳密ではなかったが、より単純で強力であった。この方法を用いて、ガリレオ・ガリレイとジル・ド・ロベルヴァルはサイクロイド弧の面積を求め、グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンは双曲線の下の面積を研究し（『幾何学的著作集』、1647年）、^{[ 3 ]： 491}、サン＝ヴァンサンの弟子で解説者であったアルフォンス・アントニオ・ド・サラサは、この面積と対数との関係を指摘した。^{[ 3 ]： 492 [ 4 ]}

ジョン・ウォリスはこの方法を代数化し、著書『無限算術』（1656年）の中で、現在定積分と呼ばれるものに相当する級数をいくつか記述し、その値を計算した。アイザック・バローとジェームズ・グレゴリーはさらに進歩を遂げ、いくつかの代数曲線や螺旋の求積法を開発した。クリスティアーン・ホイヘンスは、いくつかの回転体の表面積の求積法を成功させた。

グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンとA.A.ド・サラサによる双曲線の求積法は、極めて重要な新しい関数である自然対数をもたらしました。積分計算の発明により、面積計算のための普遍的な方法が確立されました。これを受けて、「求積法」という用語は伝統的なものとなり、代わりに、厳密には一変数定積分の計算を指す現代では、 「面積を求める」という表現がより一般的に使われるようになりました。