菱形

菱形
2つの異なる方向の菱形
タイプ	四辺形、台形、平行四辺形、凧形
エッジと頂点	4
シュレーフリ記号	{ } + { } {2 α }
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 2）、[2]、(*22)、次数4
エリア	${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}}}$（対角線の積の半分）
プロパティ	凸型、等軸型
デュアルポリゴン	矩形

平面ユークリッド幾何学において、菱形（ひし形、複数形：rhombiまたはrhombuses）は、4 辺の長さがすべて同じである四辺形である。別名は、すべての辺の長さが等しいという意味で、正四辺形である。菱形は、トランプのダイヤモンドのマークが八面体ダイヤモンドまたはロゼンジの投影に似ていることから、「ダイヤモンド」と呼ばれることが多いが、前者は 60° の角度の菱形（一部の著者はフランス語のスイート^[1]にちなんでカリソンと呼ぶ —ポリアモンドも参照）を指すこともあり、後者は 45° の角度の菱形を指すこともある。

すべての菱形は単純（自己交差しない）であり、平行四辺形と凧形（凧形）の特殊なケースです。直角の菱形は正方形です。^[2]

「菱形」という言葉は、古代ギリシャ語のῥόμβος（ローマ字表記：  rómbos）に由来し、「回転するもの」を意味します。 ^[3]これは、動詞ῥέμβω（ローマ字表記： rhémbō）に由来し、「くるくると回る」を意味します。^{[4]この言葉は}ユークリッドとアルキメデスの両者によって使用されており、アルキメデスは、共通の底辺を共有する2つの直円錐である双円錐を「立体菱形」という用語で表しました。^[5]

今日、私たちが菱形と呼んでいる表面は、2 つの円錐の頂点を通る平面上の双円錐の 断面です。

単純な（自己交差しない）四辺形が菱形となるのは、次のいずれかの場合のみです。 ^{[6] [7]}

• 対角線が内角を二等分する平行四辺形
• 少なくとも2つの連続する辺の長さが等しい平行四辺形
• 対角線が垂直な平行四辺形（直交対角平行四辺形）
• 4辺の長さが等しい四辺形（定義による）
• 対角線が垂直で互いに二等分する四辺形
• 各対角線が2つの反対の内角を二等分する四辺形
• 四辺形ABCDの平面上に点Pがあり、4つの三角形ABP、BCP、CDP、DAPがすべて合同である^[8]
• 三角形ABC、BCD、CDA、DABの内接円が共通点を持つ四辺形ABCD ^[9]

すべての菱形には、向かい合う頂点のペアを結ぶ 2 つの対角線と、2 組の平行な辺があります。合同な 三角形を使用すると、菱形がこれらの各対角線に対して対称であることを証明できます。したがって、すべての菱形には次の特性があります。

• 菱形の対角の長さは等しい。
• 菱形の 2 つの対角線は直交します。つまり、菱形は直角対角四辺形です。
• 対角線は反対の角度を二等分します。

最初の性質は、すべての菱形が平行四辺形であることを意味します。したがって、菱形は平行四辺形のすべての性質を備えています。たとえば、向かい合う辺は平行であり、隣接する角度は補角であり、2 つの対角線は互いに二等分され、中点を通る任意の線は面積を二等分し、辺の二乗の合計は対角線の二乗の合計に等しくなります (平行四辺形の法則)。したがって、すべての菱形において、共通辺をa、対角線をpおよびqと表記すると、

${\displaystyle \displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}.}$

すべての平行四辺形が菱形であるわけではありませんが、対角線が垂直である平行四辺形 (2 番目の特性) はすべて菱形です。一般に、対角線が垂直で、そのうちの 1 つが対称線である四辺形は凧形です。すべての菱形は凧形であり、凧形かつ平行四辺形である四辺形は菱形です。

菱形は接線四辺形です。^[10]つまり、菱形には4辺すべてに接する 内接円があります。

対角線の長さp = ACとq = BDは、菱形の辺aと1つの頂点角αで次のよう に表すことができます。

${\displaystyle p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}}$

そして

${\displaystyle q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}.}$

これらの式は余弦定理の直接的な結果です。

rで表される内接円の半径（菱形に内接する円の半径）は、対角線pとqを使って次のように表すことができます^[10]

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}},}$

または辺の長さaと任意の頂角αまたはβを用いて次のように 表される。

${\displaystyle r={\frac {a\sin \alpha }{2}}={\frac {a\sin \beta }{2}}.}$

すべての平行四辺形と同様に、菱形の面積 Kは底辺と高さ( h ) の積です。底辺は単純に辺の長さaです。

${\displaystyle K=a\cdot h.}$

面積は、底の 二乗に任意の角度の正弦 を掛けて表すこともできます。

${\displaystyle K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}$

または高さと頂 角の観点から:

${\displaystyle K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},}$

または対角線 p、qの積の半分として:

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}},}$

または、半周長と菱形に内接する円の半径（内接円半径） を掛け合わせた値として表されます。

${\displaystyle K=2a\cdot r.}$

もう一つの方法は、平行四辺形の場合と同様、隣接する2辺をベクトルとみなして、2ベクトルを形成することです。この場合、面積は2ベクトルの大きさ（2つのベクトルのベクトル積の大きさ）となり、2つのベクトルの直交座標の行列式K = x ₁ y ₂ – x ₂ y ₁となります。^[11]

菱形の双対多角形は長方形である: ^[12]

• 菱形はすべての辺が等しく、長方形はすべての角度が等しいです。
• 菱形は向かい合う角度が等しく、長方形は向かい合う辺が等しいです。
• 菱形には内接円があり、長方形には外接円があります。
• 菱形は、向かい合う頂点の各ペアを通る対称軸を持ちますが、長方形は向かい合う辺の各ペアを通る対称軸を持ちます。
• 菱形の対角線は等しい角度で交差しますが、長方形の対角線は長さが等しくなります。
• 菱形の辺の中点を結んでできる図形は長方形であり、その逆もまた同様です。

原点を中心とし、対角線が軸上にある菱形の辺は、次の式を満たすすべての点（x、y） から構成される。

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.}$

頂点は および にあります。これは指数が 1 である超楕円の特殊なケースです。 ${\displaystyle (\pm a,0)}$${\displaystyle (0,\pm b).}$

• 5 つの 2D格子タイプのうちの 1 つは、菱形格子(中心長方形格子とも呼ばれます) です。
• Rhombi は、60° 菱形のrhombille タイリングを含む 3 つの異なる方法で、2D 平面を端から端まで周期的にタイリングできます。

• 菱形の三次元類似物としては、回転面としての双錐体と双円錐があります。

菱形凸多面体には、超立方体の射影包として見ることができる菱形ゾノヘドロン無限集合が含まれます。

• 菱面体（菱形六面体とも呼ばれる）は、直方体（直方体とも呼ばれる）に似た立体図形ですが、3 対の平行面が長方形ではなく、最大 3 種類の菱形になっています。
• 菱形十二面体は、 12 個の合同な菱形を面として持つ凸多面体です。
• 菱形三十面体は、黄金菱形（対角線が黄金比になっている菱形）を30面持つ凸多面体です。
• 大菱形三十面体は、30 個の交差する菱形の面を持つ非凸等面体、等軸 多面体です。
• 菱形六十面体は、菱形三十面体の星型です。これは非凸で、二十面体対称性を持つ 60 個の黄金菱形面を持ちます。
• 菱形十六面体は、各頂点で 3 つ、5 つ、または 6 つの菱形が交わる 90 個の菱形面から構成される多面体です。幅の広い菱形が 60 個、細い菱形が 30 個あります。
• 菱形二十面体は、20 個の菱形の面から構成される多面体で、各頂点には 3 個、4 個、または 5 個の菱形の面が接しています。極軸上に 10 個の面があり、赤道に沿って 10 個の面があります。

• メルケル・ラウテ
• 人体解剖学におけるミカエリスの菱形
• 菱形、平行六面体または平行四辺形のいずれかで、菱形でも長方形でもないもの
• 菱形アンテナ
• 菱形チェス
• コロンビアの北サンタンデール県の旗。菱形の4つの星が描かれている。
• 超楕円（角が丸い菱形を含む）

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ウィキメディア・コモンズには、 Rhombiに関連するメディアがあります。

• 平行四辺形と菱形 - アニメーションコース（作図、円周、面積）
• 菱形の定義、インタラクティブ アプレットによる数学オープンリファレンス。
• 菱形の面積、数学オープンリファレンス - インタラクティブアプレットを使用して、菱形の面積を計算する3つの異なる方法を示します