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立方体は、幾何学における三次元の立体です。8つの頂点と、長さが等しい12本の直線状の辺を持ち、これらの辺によって6つの正方形の面が形成されます。立方体は多面体の一例です。直方体、平行六面体、菱面体の特殊なケースであり、 6つの四角形の面すべてが正方形です。立方体は、 2次元の正方形や4次元のテセラクトも含む多面体の族である、3次元の超立方体です。
立方体は、おもちゃやゲーム、芸術、錯視、建築物など、多くの大衆文化に見られます。結晶構造、科学、技術機器にも立方体は存在します。また、プラトンの『ティマイオス』のような古代の文献にも登場し、そこでは現在プラトン立体と呼ばれる一連の立体が記述され、立方体は古典的な元素である土と関連付けられています。一辺が1の立方体は、3次元空間における体積の標準単位であり、他の立体はこれを基準として測定されます。
立方体は様々な方法で表現できる。その一つは、平面上で頂点と辺を結んだグラフを描くことである。このようなグラフは立方体グラフと呼ばれ、超立方体グラフの特殊な場合である。
立方体は、多くの多面体やその他の幾何学的形状の構成要素の中核となります。例えば、立方体の頂点を切り落とすと、切頂立方体が得られます。1つまたは複数の立方体を面同士で接合すると、ポリキューブ、つまりポリオミノの3次元版が生成されます。2つまたは複数の立方体は同じ中心を持つことができ、多面体複合体を形成します。立方体を面同士で接合することで、隙間なく空間を埋め尽くし、ハニカム構造を形成することもできます。
立方体は、8つの頂点と12本の等しい長さの辺を持つ多面体であり、6つの正方形を面として形成します。立方体は、6つの長方形の面を持ち、それぞれの面が互いに反対側に位置する等しい長さの平行な辺のペアを持つ直方体の特殊な場合です。 [ 1 ]どちらの多面体も同じ二面角、つまり共通の辺にある隣接する2つの面の間の角度、直角または90°を持ちます。これは、正方形の内角（多角形の共通点にある隣接する2つの辺の間に形成される角度）から得られます。[ 2 ] [ 3 ]より一般的には、立方体と直方体は、6つの四角形（4辺の多角形）を持つ多面体である直方体の特殊な場合です。[ 4 ]すべての凸多面体と同様に、立方体のオイラー標数は2であり、次の式で表されます。3つの文字はそれぞれ頂点、辺、面の数を表します。[ 5 ]
頂点を囲む 3 つの正方形の面はすべて互いに直交しており、つまり平面は垂直で、隣接する 2 つの正方形の間に直角を形成しています。したがって、立方体は直交多面体として分類されます。[ 6 ]立方体は他の直方体の特殊なケースです。これには、対向する面のペアが合同であるため、6つの平行四辺形の面を持つ多面体である平行六面体、 [ 7 ]すべての面の内角が直角であるため、 6 つの菱形の面を持つ平行六面体の特殊なケースである菱面体、 [ 8 ]正方形の面が菱形の特殊なケースであるため、合同な四角形の面を持つ多面体である三角台形面体が含まれます。[ 9 ]
立方体は非複合多面体または基本多面体である。つまり、その表面を辺に沿ってのみ交差する平面はなく、それによって2つ以上の凸で正多面体に分割されることはない。[ 10 ]
辺の長さが与えられた立方体立方体の面の対角線は正方形の対角線である、そして立方体の空間対角線は、同じ面にない2つの頂点を結ぶ線であり、次のように定式化される。どちらの式もピタゴラスの定理を用いて求めることができます。立方体の表面積正方形の面積の6倍です: [ 11 ] 直方体の体積は、長さ、幅、高さを掛け合わせることで計算されます。立方体のすべての辺の長さは等しいので、立方体の体積の公式は辺の長さの 3 乗です。[ 11 ]このことから、 「立方」という用語は動詞として使用され、任意の数を 3 乗することを意味します。[ 4 ]
立方体には、3種類の閉じた測地線、つまり立方体の表面上で局所的に直線となる経路があります。言い換えれば、それらは頂点を避け、交差する面を横切る線分に沿って進み、交差する各辺の2つの面に対して相補的な角度を形成します。1つの配置は立方体の面に平行な平面上にあり、その面に合同な正方形を形成し、辺の長さは立方体の辺の長さの4倍です。もう1つのタイプは長い対角線に垂直な平面上にあり、正六角形を形成します。その長さは辺の倍である。3番目のタイプは非平面六角形である。[ 12 ]
立方体の内球は、立方体の各面の重心で接する球です。その中心球はは立方体の辺に接する球です。その外接球はは立方体の頂点に接する球です。辺の長さはそれぞれ次の通りです。[ 13 ]
単位立方体とは、各辺の長さが 1 単位の立方体です。したがって、各面は単位正方形であり、全体の体積は 1 立方単位となります。[ 14 ] [ 15 ]ラインのルパート王子は、ルパート王子のドロップで知られていますが、同じサイズの別の立方体に開けられた穴を立方体が通過できるかどうか賭けました。1693 年にイギリスの数学者ジョン・ウォリスが語った話では、ウォリスの説明にはいくつかの誤りがあったものの、可能だと答えています。約 1 世紀後、オランダの数学者ピーテル・ニューラントは、単位立方体の穴を通過する立方体の辺の長さが約 1.06 単位までになる可能性があるというより良い解決策を提供しました。[ 16 ] [ 17 ]この結果を得る 1 つの方法は、ピタゴラスの定理または3 次元空間におけるユークリッド距離の公式を使用することです。 [ 18 ]
立方体の倍増問題とは、コンパスと定規のみを使用して、元の立方体の2倍の体積を持つ立方体を作るという古代の問題である。これは、1837年にフランスの数学者ピエール・ワンツェルによって結論付けられ、元の立方体の2倍の体積を持つ立方体（ 2の立方根）は実現不可能であることを証明した。—は構築不可能である。[ 19 ]しかし、この問題はMesser (1986)によって折り紙用紙を折ることで解決された。[ 20 ]
立方体は正八面体対称性を持つ48 次です。言い換えると、立方体には 48 の等長変換(恒等変換を含む) があり、それぞれが立方体をそれ自身に変換します。これらの変換には、9 つの鏡映対称(平面で切断された 2 つの半分が同一である) が含まれます。3 つは立方体の辺の中点で切断され、6 つは対角線で切断されます。立方体には、13 の回転対称軸(軸を中心とした回転によって同一の外観になる) もあります。3 つの軸は反対側の面の重心を通り、6 つは反対側の辺の中点を通り、4 つは反対側の頂点を通ります。これらの軸はそれぞれ、4 回回転対称 (0°、90°、180°、および 270°)、2 回回転対称 (0° および 180°)、および 3 回回転対称 (0°、120°、および 240°) です。[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]
双対多面体は、平面に接する各多面体の頂点から、極相互変換と呼ばれるプロセスによって得ることができます。[ 25 ]双対多面体の性質の1つは、多面体とその双対が3次元対称点群を共有することです。この場合、立方体の双対多面体は正八面体であり、これらの多面体は両方とも同じ八面体対称性を持っています。[ 26 ]
立方体は面推移的であり、2 つの正方形の面は同じで、回転と鏡映によって写像できます。[ 27 ]また、頂点推移的であり、すべての頂点は等価で、対称性の下で等長的に写像できます。 [ 28 ]さらに、辺推移的であり、同じ種類の面が各頂点を同じ順序または逆の順序で囲み、隣接する面の各ペアが同じ二面角を持ちます。したがって、立方体は正多面体です。[ 29 ]各頂点は 3 つの正方形に囲まれているため、立方体は頂点構成またはSchläfli シンボルによる。[ 30 ]
キューブは、大衆文化においてさまざまな役割で登場しています。最も一般的なサイコロの形です。[ 27 ]ソーマキューブのピース、[ 31 ]ルービックキューブ、スキューブ などのパズル玩具はキューブでできています。[ 32 ]マインクラフトは、立方体のブロックのサンドボックスビデオゲームの一例です。[ 33 ]屋外彫刻のアラモ（1967年）は、垂直軸を中心に回転するキューブです。[ 34 ]不可能キューブやネッカーキューブなどの錯視は、 MCエッシャーなどのアーティストによって探求されてきました。[ 35 ]キューブは、アルベルティのルネサンス建築に関する論文、De re aedificatoria（1450年）で応用されました。[ 36 ]オランダのキューブハウスは、六角形の空間の対角線がメインフロアとなる立方体の家々の集合体です。 [ 37 ]木は剪定して立方体の形にすることができ、生きた彫刻となる。[ 38 ]
立方体は、自然科学や技術のさまざまな分野でも見られます。立方体結晶系として知られる結晶の単位格子に適用されます。[ 39 ]食塩は、一般的に立方体の形状をしている鉱物の例です。[ 40 ]他の例としては、黄鉄鉱（多くの変種がありますが）[ 41 ]や、核プログラムで使用されている立方体形状のウランがあります。 [ 42 ]エルンスト・ヘッケルによって発見された放散虫Lithocubus geometricusは、立方体の形状をしています。[ 43 ]キュバンは、立方体の角に配置された8 つの炭素原子からなり、各炭素原子に 1 つの水素原子が結合した合成炭化水素です。[ 44 ]
相対性理論、重力、量子力学の３つの物理学の概念を統一しようとする歴史的な試みでは、cGhキューブとして知られる立方体の枠組みが用いられた。[ 45 ]
技術的な立方体には、宇宙船装置のCubeSat [ 46 ] 、熱放射実証装置のLeslie Cube [ 47 ]、WebサーバーマシンCobalt Qube [ 48 ]などがあります。立方体グリッドは、3次元直交座標系でよく見られます。[ 49 ]コンピュータグラフィックスでは、アルゴリズムによって入力ボリュームが等値面上のユニットと呼ばれる離散的な立方体のセットに分割され[ 50 ]、立方体の面は形状のマッピングに使用できます。[ 51 ]交通標識やレーダーなど、さまざまな工学分野では、立方体の角がコーナーリフレクターと呼ばれる再帰反射器として役立ち、あらゆる光線や波をその発生源に反射します。[ 52 ]
プラトン立体は、古代から知られている5つの多面体です。この集合は、対話篇『ティマイオス』の中でこれらの立体を自然に帰属させたプラトンにちなんで名付けられました。そのうちの1つである立方体は、地球の基礎を構成する要素であることから、古典的な要素である地球を表していました。[ 53 ]ユークリッドの『原論』では、立方体を含むプラトン立体が定義され、外接球の直径と辺の長さの比を求める方法が示されました。[ 54 ]
プラトンが正多面体を自然の象徴として用いたことに倣い、ヨハネス・ケプラーは『世界の調和』の中でプラトン立体をそれぞれスケッチし、立方体の側面に木を描いた。[ 55 ]ケプラーは『宇宙の神秘』の中で、太陽系の構造と惑星間の関係を、球体で内接および外接されたプラトン立体の集合を用いて提案した。球体で囲まれた各立体は、互いに内接し、既知の6つの惑星（水星、金星、地球、火星、木星、土星）に対応する6つの層を形成する。最も内側から最も外側に向かって、これらの立体は正八面体、続いて正二十面体、正十二面体、正四面体、そして最終的に立方体へと配置された。 [ 56 ]
立方体には 11 種類の異なる展開図があり、それぞれが辺でつながった正方形の配置で構成されています。正方形間の各境界を直角に折り曲げると、正方形は立方体の面になります。[ 57 ] [ 58 ]
解析幾何学では、立方体はデカルト座標系を用いて構成できます。原点を中心とし、辺が軸に平行で、辺の長さが2の立方体の場合、頂点のデカルト座標は次のようになります。[ 59 ]その内部はすべての点から構成されるとすべての人々のために中心がそして辺の長さはすべての点の軌跡そのため
立方体はハナー多面体である。なぜなら、3つの線分のデカルト積を用いて構成できるからである。その双対多面体である正八面体は、 3つの線分の直和によって構成される。 [ 60 ]
立方体はグラフに描くことができます。グラフ理論では、頂点の集合が辺で結ばれた構造です。これは、シュタイニッツの定理によって実現可能であり、この定理によれば、グラフは多面体の頂点辺グラフとして表現できますが、そのためには次の 2 つの性質が必要です。平面性(グラフの辺は他の辺と交差することなくすべての頂点に接続されています) と3 連結性(3 個を超える頂点を持つグラフで、2 つの頂点が削除されても辺は接続されたままです) です。[ 61 ] [ 62 ]グラフとして表現される立方体の骨格は、立方体グラフ、プラトングラフと呼ばれます。立方体と同じ数の頂点と辺、つまり 12 個の頂点と 8 個の辺を持ちます。[ 63 ]立方体グラフは、直方体の骨格に似ていることから、プリズムグラフにも分類されます。 [ 64 ]
立方体グラフは、ハイパーキューブグラフの特殊なケースです。-立方体—と表記される—グラフのデカルト積を使用して構築できるためです。2 つのグラフが頂点のペアを辺で結んで新しいグラフを形成します。[ 65 ]立方体グラフの場合、それは次の積です。、 どこはグラフのデカルト積を表します。言い換えれば、立方体グラフは2つの正方形の各頂点を辺で結ぶことによって構築されます。表記上、立方体グラフは[ 66 ]他のハイパーキューブグラフと同様に、すべての頂点をちょうど一度訪れるサイクルを持ち、[ 67 ]単位距離グラフの例でもあります。[ 68 ]
立方体グラフは二部グラフであり、これは任意の独立した4 つの頂点の集合が互いに素であり、それらの集合内の辺が接続されていることを意味します。[ 69 ]ただし、一方の集合のすべての頂点がもう一方の集合のすべての頂点を接続することはできないため、この二部グラフは完全ではありません。[ 70 ]これは、クラウングラフと二部クネーザーグラフの両方の例です。[ 71 ] [ 69 ]
平行光線によって照らされた物体は、それらの光線に垂直な平面上に影を落とします。この影を直交投影と呼びます。多面体は、光源のある位置において、その直交投影が正多角形である場合、等投影であると考えられます。立方体は、光源が頂点と反対側の頂点を結ぶ4本の線のいずれかに平行である場合、その投影が正六角形になるため、等投影です。[ 72 ]
立方体は構成行列として表すことができ、その行列の行と列は、多面体の要素（頂点、辺、面）に対応します。行列の対角線は、多面体に現れる各要素の数を表し、行列の非対角線は、行の要素内またはその位置に存在する列の要素の数を表します。立方体の 8 つの頂点、12 の辺、および 6 つの面は、行列の対角線の各要素 (8、12、および 6) で表されます。中央の行の最初の列は、各辺に 2 つの頂点があることを示し、2 で表されます。最初の行の中央の列は、各頂点で 3 つの辺が交わることを示し、3 で表されます。立方体の構成行列は次のとおりです。[ 73 ]
立方体を基に構築できる多面体はたくさんあります。例としては以下のようなものがあります。
ポリキューブは、1つまたは複数の同じ大きさの立方体を面と面を合わせて接合して形成される立体図形です。ポリキューブは、2次元のポリオミノの3次元版です。[ 86 ]
4 つの立方体を垂直に積み重ね、その積み重ねた上から 2 番目の立方体にさらに 4 つの立方体を取り付けると、結果として得られる多面体立方体は、スペインのシュルレアリスト画家サルバドール・ダリにちなんで名付けられたダリ十字です。ダリの絵画「超立方体の集合体」 （1954 年）には、6 つの腕を持つ十字に展開するテセラクトが含まれています。同様の構造は、ロバート A. ハインラインの短編小説「そして彼は曲がった家を建てた」（1940 年）の中心となっています。[ 87 ] [ 88 ]ダリ十字は、4 次元に折り畳むとテセラクトを囲むことができます。[ 89 ]立方体は、超立方体（3 立方体とも呼ばれる）の 3 次元の例です。2 次元の超立方体（2 立方体）は正方形であり、4 次元の超立方体（4 立方体）はテセラクトです。[ 90 ]
立方体は空間充填多面体であり、3 次元空間でそのコピーと敷き詰められることを意味します。このような敷き詰めでは隙間がなく、ハニカムと呼ばれます。[ 91 ]立方体はプレシオヘドロンであり、対称デローネ集合のボロノイセルとして定義できる特殊な空間充填多面体です。[ 92 ]プレシオヘドラには平行多面体が含まれます。平行多面体は、回転せずに平行移動することで、そのコピーの各面が別のコピーの同じ面に接続される空間を埋めることができます。平行多面体には 5 種類あり、そのうちの 1 つは平行六面体です。 [ 93 ]すべての 3 次元平行多面体はゾノヘドロンであり、その面は中心対称多角形です。[ 94 ]
立方体のみのハニカムの例として、セルと呼ばれるものが挙げられます。これは、ユークリッド3次元空間において、周囲に4つの立方体を持つ立方体ハニカムです。 [ 95 ] [ 96 ] 3次元非ユークリッド空間におけるその他の例としては、 3次元球面における周囲に3つの立方体を持つハニカムや、双曲空間における周囲に5つの立方体を持つハニカムなどがあります。[ 96 ]
立方体を含む任意の平行六面体は、デーン不変量がゼロであればハニカム構造を実現できる。[ 97 ]デーン不変量の起源は、ヒルベルトの第3問題、すなわち、体積が等しい2つの多面体を常に多面体の断片に分割して互いに再構成できるかどうかという問題に遡る。もしそうであれば、任意の多面体の体積は、再構成できる同等の立方体の体積として公理的に定義できる。この問題はマックス・デーンによって解決され、彼は不変量を考案し、すべての多面体を立方体に再構成できるわけではないと答えた。[ 98 ]これは、体積が等しい2つの多面体は、デーン不変量が異なる2つの四面体を除いて、同じデーン不変量を持つべきであることを示した。[ 99 ]
立方体が同じ中心を共有する多面体化合物は、均一多面体化合物です。つまり、構成要素が同一（鏡像異性体である可能性もある）均一多面体であり、配置も均一である多面体化合物です。スキリング（1976）が列挙した化合物のリストは、回転の自由度を持つ6つの立方体、 3つの立方体、および5つの立方体の化合物の7番目から9番目の均一化合物です。[ 100 ] 2つと3つの立方体からなる2つの化合物は、エッシャーの木版画「星」とマックス・ブリュックナーの著書「多面体と多面体」で見つかりました。[ 101 ]
球状立方体は球状多面体を表し、大円弧でモデル化でき、球状正方形の辺として境界を作成します。[ 102 ] したがって、球状立方体は、各頂点に 120° の内角を持つ 6 つの球状正方形で構成されています。ベクトル平衡を持ち、重心から各頂点までの距離は、各頂点から各辺までの距離と同じです。[ 103 ] [ 104 ]その双対は球状八面体です。[ 102 ]
位相オブジェクトである3次元トーラスは、3つの円のデカルト積と同相である位相空間として定義されます。これは立方体形状の3次元モデルとして表現できます。[ 105 ]
メンガースポンジ（2次元の シェルピンスキーカーペットに類似）[ 106 ] 、エルサレムキューブ、モーズリースノーフレーク[ 107 ] [ 108 ]など、いくつかのフラクタル形状は立方凸包を持つ。
立方体は6つの正四角錐に分割できます。これらの四角錐の高さは立方体の辺の長さの半分で、頂点は中心で交わります。[ 109 ]
![\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca071ab504481c2bb76081aacb03f5519930710)
{{cite journal}}: CS1 maint: DOI は 2025 年 12 月現在非アクティブです (リンク) CS1 maint: bot: 元の URL の状態が不明です (リンク) 3 種類の立方体の測地線については、図 11、p. 273 を参照してください。1940年出版）とマーティン・ガードナーの『無側面の教授』（1946年出版）は、読者にメビウスの帯、クラインの壺、超立方体（テセラクト）を紹介した最初のSF作品の一つである。
