均等な形状

2次元の 等角形状（または完全形状）とは、面積が周囲長と数値的に等しい形状のことです。^[1]たとえば、辺が5、12、13の 直角三角形の面積と周囲長は、どちらも単位のない数値で30になります。

面積は、特定の測定単位に相対的でない限り、長さと等しくなることはありません。たとえば、図形の面積が 5 平方ヤードで周囲が 5 ヤードの場合、面積は 45 平方フィート (4.2 m ² )、周囲は 15 フィート (3 フィート = 1 ヤード、したがって 9 平方フィート = 1 平方ヤード) になります。さらに、名前が示すこととは反対に、図形をそのままにしてサイズを変更すると、「等しい図形」が等しくない図形に変わります。ただし、GCSE のコースワークとして一般的に使用されているため、これは受け入れられた概念となっています。どの図形にも、同様の等しい図形があります。図形S の周囲がpで面積がAの場合、S をp/Aの係数で拡大する と、等しい図形になります。あるいは、面積が周囲に等しい方程式を設定して解くことで、等しい図形を見つけることもできます。たとえば、正方形の場合、この方程式は次のようになります。

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=4x.}$

これを解くとx = 4となり 、4 × 4 の正方形になります。

接線多角形は、すべての辺が共通の円に接している多角形です。すべての接線多角形は、円の中心から多角形の頂点まで辺を引くことで三角形に分割でき、高さがすべて円の半径に等しい三角形の集合を形成します。この分解から、接線多角形の合計面積は、周囲の半分と半径の積に等しいことがわかります。したがって、接線多角形は、その内接半径が 2 の場合にのみ等角です。すべての三角形は接線であるため、特に等角三角形は、内接半径が 2 の三角形です。^{[2] [3]}

図形が等しく、その寸法が整数であるという制約を組み合わせると、どちらか一方の制約よりも制約が厳しくなります。たとえば、整数辺を持つ直角三角形を表すピタゴラス定理は無限に存在し、非整数辺を持つ等しくない直角三角形も無限に存在します。しかし、等しくない整数直角三角形は、辺の長さが (5,12,13)​​ と (6,8,10) の 2 つしかありません。^[4]

より一般的には、整数の辺を持つすべての等しい三角形（つまり、等しいヘロン三角形）を見つける問題は、 1858年にB.イェイツによって考えられました。 ^{[5] [6]} WAウィットワースとD.ビドルが1904年に証明したように、すでにリストされている直角三角形の他に、辺が（6,25,29）、（7,15,20）、および（9,10,17）である3つの解が正確に存在します。^{[7] [8]}

辺が整数である長方形は、4×4の正方形と3×6の長方形のみです。 ^{[4]整数長方形は}ポリオミノの特殊なタイプであり、より一般的には、16以上の偶数整数の面積に対して面積と周囲が等しいポリオミノが存在します。より小さな面積の場合、ポリオミノの周囲は面積を超えている必要があります。^[9]

3 次元では、表面積が数値的に体積と等しい場合、その形状は等しくなります。例として、辺の長さが 6 の立方体があります。2 次元の等しくなる形状と同様に、等しくなる立体は、任意の立体を適切な係数で拡大縮小することによって見つけることができます。