凧（幾何学）

凧
等しい長さの辺のペアと内接円を示す凧。
タイプ	四辺形
エッジと頂点	4
対称グループ	D1（*）
デュアルポリゴン	等脚台形

ユークリッド幾何学では、凧は対角線を挟んで鏡映対称な四辺形である。この対称性のため、凧は 2 つの等しい角度と 2 組の隣接する等しい長さの辺を持つ。凧は三角錐とも呼ばれるが^{[1] 、}三角錐という言葉は、四辺形に関連して研究されることもある無関係な幾何学的対象である三角錐曲線を指すこともある。 ^{[2] [3]}凧は、特に凸形でない場合はダーツと呼ばれることもある^{[4] 。 [5] [6]}

すべての凧は直角四辺形（対角線が直角）であり、凸の場合は接線四辺形（各辺が内接円に接する）です。凸凧は、直角かつ接線である四辺形です。特殊なケースとして、向かい合う 2 つの直角を持つ直凧、2 つの対角対称軸を持つ菱形、および直凧と菱形の両方の特殊なケースである正方形が含まれます 。

直径に対する周長の比が最も大きい四辺形は凧で、角度はそれぞれ 60°、75°、150° です。凧の 2 つの形状 (1 つは凸型、もう 1 つは非凸型) は、ペンローズ タイリングの形式の 1 つを原型としています。凧は、面対称の多面体やモザイク状の面も形成しており、力学系の高度な数学における問題である外側のビリヤードに関連して研究されてきました。

凧は、対角線の 1 つに関して鏡映対称な四辺形です。同様に、凧は 4 つの辺が 2 組の隣接する等しい長さの辺にグループ化できる四辺形です。 ^{[1] [7]凧は、交差する任意の 2 つの}円の中心と交差点から作成できます。^[8]ここで説明する凧は凸型でも凹型でもかまいませんが、一部の情報源では凧は凸型凧のみを意味すると限定しています。四辺形が凧であるためには、次の条件のいずれかが満たされている必要があります。

• 4辺は隣接する等しい長さの辺の2組に分割できる。^[7]
• 一方の対角線がもう一方の対角線の中点と直角に交わり、垂直二等分線を形成します。^[9]（凹面の場合、一方の対角線を通る線がもう一方の対角線を二等分します。）
• 1本の対角線は対称線です。この線は四辺形を互いに鏡像となる2つの合同な三角形に分割します。^[7]
• 1本の対角線は両端で両方の角度を二等分します。 ^[7]

凧四辺形は、風に吹かれて飛ぶ凧にちなんで名付けられており、凧はこの形をしていることが多い^{[10] [11] 。凧は、}空中に浮かぶ鳥とその鳴き声にちなんで名付けられている。 ^{[12] [13]}オラウス・ヘンリチによると、「凧」という名前はジェームズ・ジョセフ・シルベスターによってこれらの形状に付けられた。^[14]

四辺形は階層的に分類することができ、これは四辺形のいくつかのクラスが他のクラスを含むことを意味し、または分割的に分類することができ、これは各四辺形が 1 つのクラスにのみ属することを意味する。階層的に分類すると、凧には菱形(4 つの辺が等しい四辺形) と正方形が含まれる。すべての正三角形の凧は菱形であり、すべての正角凧は正方形である。分割的に分類すると、菱形と正方形は凧ではない。なぜなら、それらは別の四辺形のクラスに属するからである。同様に、以下で説明する正三角形の凧は凧ではない。この記事の残りの部分は階層的な分類に従う。すなわち、菱形、正方形、正三角形の凧はすべて凧とみなされる。この分類は、特殊なケースを考慮する必要性を回避することで、凧に関するいくつかの事実を単純化することができる。^[15]

凧形と同様に、平行四辺形も2組の等しい長さの辺を持ちますが、それらは隣接しているのではなく、互いに向かい合っています。対称軸を持つ非交差四辺形は、対角線対称軸を持つ凧形、または2辺の中点を通る対称軸を持つ等脚台形のいずれかでなければなりません。これらには、それぞれ特殊なケースとして菱形と長方形、および両方の特殊なケースである正方形が含まれます。^[1]交差四辺形には、対称四辺形の別のクラスである逆平行四辺形が含まれます。^[16]

直角凧は、向かい合う２つの直角を持つ。^{[15] [16]直角凧は、まさに}環状四辺形である凧であり、すべての頂点を通る円が存在する。^{[17]環状四辺形は、向かい合う２つの角が}補角である（足すと180°になる）四辺形として同義に定義することができる。一方の角が補角であれば、他方も補角となる。 ^[9]したがって、直角凧は、向かい合う２つの角の組のどちらに対しても、向かい合う２つの補角を持つ凧である。直角凧は１つの円に外接し、もう１つの円に内接するため、二心四辺形である（実際は三心四辺形で、辺の延長線上に外接する３つ目の円も持つ）。^[16]内接円と外接円の大きさが固定されている場合、直角凧は、その間に挟まれた四辺形の中で面積が最大となる。^[18]

すべての四辺形の中で、周囲と直径の比（任意の2点間の最大距離）が最大となる図形は、角度が60°、75°、150°、75°である正対角凧です。その4つの頂点は、ルーローの三角形の3つの角と辺の中点の1つにあります。^{[19] [20]}この凧や正方形のように、正対角凧の辺の長さが対角線の長さ以下である場合、それは面積と直径の比が最大となる四辺形の1つです。^[21]

3つの108°の角度と1つの36°の角度を持つ凧は、ピタゴラスのリュートの凸包、つまり入れ子になった五芒星でできたフラクタルを形成します。[22] この凧の4つの辺は正五角形の4^つの辺に重なっており、 5番目の辺には黄金三角形が接着されています。^[16]

平面をタイル張りできる多角形は8つだけであり、どのタイルをその辺のいずれかで反射しても別のタイルが生成される。この配置は辺のテッセレーションと呼ばれる。その1つは、60°、90°、120°の角度を持つ直角凧によるタイル張りである。これは三角錐の三角タイル張りを生成する（§ タイル張りと多面体を参照）。^[23]これらの凧8つで作られたプロトタイプは、平面を非周期的にのみタイル張りし、アインシュタインの問題の解決の鍵となると主張されている。^[24]

非ユークリッド幾何学では、凧は3つの直角と1つの非直角を持ち、ランバート四辺形の特殊なケースを形成します。4番目の角は双曲幾何学では鋭角、球面幾何学では鈍角です。^[25]

すべての凧は直角四辺形です。つまり、2 つの対角線が互いに直角です。さらに、2 つの対角線のうちの 1 つ (対称軸) は、もう 1 つの対角線の垂直二等分線であり、交わる 2 つの角度の角二等分線でもあります。 ^[1]対称性のため、凧の他の 2 つの角度は等しくなければなりません。^{[10] [11]}凸凧の対角対称軸は、凧を 2 つの合同な三角形に分割します。もう 1 つの対角線は、凧を 2 つの二等辺三角形に分割します。^[1]

より一般的には、あらゆる直角四辺形に当てはまるように、凧の面積は、対角線の長さとの積の半分として計算できます。^[10]または、凧を2つの合同な三角形に分割し、それらの面積にSAS公式 を適用して面積を計算することもできます。と が凧の2辺の長さで、 がそれらの間の角度である場合、面積は^[26]${\displaystyle A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$ $${\displaystyle A={\frac {p\cdot q}{2}}.}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \theta}$ $${\displaystyle \displaystyle A=ab\cdot \sin \theta .}$$

すべての凸凧は接線四辺形、つまり内接円を持つ四辺形でもある。つまり、 4 辺すべてに接する円が存在する。さらに、凸凧が菱形でない場合は、凧の外側に 4 辺の延長線に接する円が存在する。したがって、菱形でないすべての凸凧は外接四辺形である。菱形でない凸凧は、接線と外接の両方である四辺形にほかならない。^{[16]すべての}凹凧には、2 辺と他の 2 辺の延長線に接する 2 つの円が存在する。1 つは凧の内側にあり、凹角の反対側の 2 辺に接し、もう 1 つは凧の外側にあり、凧の凹角に接する 2 つの辺に接する。^[27]

対角線の長さがとで、辺の長さがとである凸凧の場合、内接円の半径はであり、外接円の 半径はである^[16]。${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle r={\frac {pq}{2(a+b)}},}$$${\displaystyle \rho}$ $${\displaystyle \rho ={\frac {pq}{2|ab|}}.}$$

接線四辺形は、以下の条件のうち1つが真である場合にのみ凧形となる。 ^[28]

• 面積は対角線の積の半分です。
• 対角線は垂直です。(したがって、凧はまさに接線と直交対角線の両方を備えた四辺形です。)
• 反対側の接点を結ぶ 2 つの線分の長さは等しくなります。
• 四辺形の 2 つの反対の頂点における接線の長さ(接点から隣接する頂点までの距離) は等しくなります。(各頂点には 2 つの隣接する接点がありますが、それらの接点は頂点から同じ距離にあるため、各頂点の接線の長さは 1 つになります。)
• 2 つの双中線、つまり反対側の辺の中点を結ぶ線分の長さは等しくなります。
• 対辺の長さの積は等しい。
• 内接円の中心は、対角線でもある対称線上にあります。

接線四辺形の対角線が で交わり、三角形、、、 の内接円の半径がそれぞれ、、、 である場合、四辺形が凧形となるための必要十分条件は [ ^28]頂点の反対側にある同じ 4 つの三角形の外接円の半径がそれぞれ、、、 で ある場合、四辺形が凧形となるための必要十分条件は^[28]${\displaystyle ABCD}$${\displaystyle P}$${\displaystyle ABP}$${\displaystyle BCP}$${\displaystyle CDP}$${\displaystyle DAP}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$${\displaystyle r_{4}}$ $${\displaystyle r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R_{3}}$${\displaystyle R_{4}}$ $${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}$$

凧と等脚台形は互いに双対であり、頂点を辺に、辺を頂点に取ることで、それらの部分の次元を逆転させる対応関係があることを意味する。どの凧でも、内接円は等脚台形の 4 つの頂点で凧の 4 つの辺に接する。どの等脚台形でも、外接円の 4 つの頂点での接線が凧の 4 つの辺を形成する。この対応関係は、固定された円を前提として点を線に対応させ、その逆を行う一般的な方法である極反転の例とも見ることができる。凧の 4 つの頂点は円に接していないが、この意味では等脚台形の 4 つの辺と反転している。^[29]この双対性の下で互いに対応する凧と等脚台形の特徴を以下の表で比較する。^[7]

等分割問題は、多角形を等面積の三角形に分割する問題である。この文脈では、多角形のスペクトルとは、多角形が等面積の三角形に等分割される数の集合である。対称性のため、凧のスペクトルにはすべての偶数が含まれる。特定の特殊な凧のスペクトルには、奇数も含まれる。^{[30] [31]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

すべての三角形は、その内接円の中心で交わる3つの直角三角形に分割できます。より一般的には、円充填に基づく方法を使用して、辺を持つ任意の多角形を、端から端まで交わる三角形に分割できます。^[32]${\displaystyle n}$${\displaystyle O(n)}$

すべての凧は、より一般的にはすべての四辺形と同様に、辺の中点の周りで点反射を繰り返すことによって平面を敷き詰めます。 ^[33]凧とダーツの角度がそれぞれ 72°、72°、72°、144° および 36°、72°、36°、216° は、数理物理学者ロジャー・ペンローズが発見した平面の非周期的な敷き詰めであるペンローズ敷き詰めの1 つのバージョンのプロトタイプを形成します。^[5]凧の頂点と片側での角度の合計が、ある正の整数の場合、その凧の縮小コピーを使用して、中心点を囲む凧のリングが次第に大きくなるフラクタルロゼットで平面を敷き詰めることができます。 ^{[34]これらのロゼットは、非弾性崩壊現象の研究に使用できます。非弾性崩壊では、}非弾性衝突で出会う運動粒子のシステムがすべて共通点で合体します。^[35]${\displaystyle \pi (1-{\tfrac {1}{n}})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

60°、90°、120°、90°の角度を持つ凧も、その辺をまたいで反射を繰り返すことで平面をタイル張りすることができます。その結果生じるタイル張り、すなわち三角状三六角形のタイル張りは、正六角形と二等辺三角形による平面のタイル張りを重ね合わせたものです。^[16]三角状二十四面体、三角状六十面体、台形は、凧の形をした合同な面を持つ多面体であり、^[36]合同な球面凧による球面のタイル張りと考えることもできます。^{[37]凧による}双曲平面の面対称なタイル張りは無数にあります。^[38]これらの多面体（球状のタイリングと同等）、ユークリッド平面の正方形と三角錐の三角タイリング、および双曲面のいくつかのタイリングは、面の構成（各タイルの4つの頂点のそれぞれの隣接頂点の数）ごとにラベル付けされて下の表に示されています。いくつかの多面体とタイリングは、2つの異なる面の構成で2回表示されます。

台形多面体は、合同な凧形の面を持つ多面体の別のグループです。これらの多面体では、凧の2辺の長さの1つの辺のエッジが2つの「極」頂点で出会い、もう1つの長さのエッジは多面体の周囲に赤道ジグザグの経路を形成します。これらは、均一な反プリズムの二重多面体です。^[36]よく見られる例は、10面サイコロに使用される五角形台形です。^[16]

数学者リチャード・シュワルツは凧の外側のビリヤードを研究した。外側のビリヤードは、平面内の与えられたコンパクトな 凸集合の外側の点から凸集合に接線を引き、この線に沿って開始点から接点から等距離にある別の点まで移動し、同じプロセスを繰り返す力学システムである。このように定義されたシステムが開始点から任意に離れた経路を生成できるかどうかは1950年代から未解決であったが、2007年の論文でシュワルツは、ペンローズタイリングで使用されたものと同じ角度72°、72°、72°、144°の凧の無限のビリヤード経路を見つけることでこの問題を解決した。^{[39]彼は後に凧の形状の外側のビリヤードをより一般的に分析した}モノグラフを執筆した。この問題では、凧の任意のアフィン変換は凧上の外部ビリヤードの動的特性を保存し、任意の凧を、3つの頂点が点およびにあり、4番目の頂点が開単位区間 内にある形状に変換することができます。任意の凧上の外部ビリヤードの挙動は、パラメータ、特にそれが有理数であるかどうかに大きく依存します。ペンローズ凧の場合、は無理数 で、 は黄金比です。^[40]${\displaystyle (-1,0)}$${\displaystyle (0,\pm 1)}$${\displaystyle (\alpha ,0)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =1/\varphi ^{3}}$${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

ウィキメディア・コモンズには、三角筋に関連するメディアがあります。

• エリック W. ワイスタイン、「Kite」、MathWorld
• Mathopenref.com のインタラクティブアニメーションによる面積公式