微積分

微積分は通常、非常に小さな量を扱うことによって発展します。歴史的に、その最初の方法は無限小を用いることでした。これらは実数のように扱うことができる対象ですが、ある意味で「無限に小さい」ものです。たとえば、無限小の数は 0 より大きいですが、数列 1、1/2、1/3、... のどの数よりも小さく、したがって任意の正の実数よりも小さくなります。この観点から、微積分は無限小を操作するための技術の集合です。^{[ 12 ]}

19世紀には、無限小の概念を厳密に定義することが困難であったため、無限小アプローチは廃れていった。19世紀後半には、学界において無限小はイプシロン・デルタ法による極限のアプローチに取って代わられた。極限は、ある入力値における関数の挙動を、その近傍の入力値における値を用いて記述する。極限は、実数系の固有の構造を用いて、微小スケールでの挙動を捉える。このアプローチでは、微積分は特定の極限を操作するための一連の手法である。無限小は、より小さな数列に置き換えられ、関数の無限小における挙動は、これらの数列の極限挙動を取ることによって求められる。極限は微積分に、より厳密な基礎を提供すると考えられており、そのため、20世紀には標準的なアプローチとなった。しかし、20世紀には非標準解析と滑らかな無限小解析の導入により無限小の概念が復活し、無限小の操作のための確固たる基礎が提供された。^{[ 12 ]}

微分積分学は、関数の導関数の定義、性質、および応用を研究する学問です。導関数を求める過程は微分と呼ばれます。関数と定義域内の点が与えられたとき、その点における導関数は、その点付近における関数の微細な挙動を符号化する方法です。定義域内のすべての点における関数の導関数を求めることで、導関数、あるいは単に元の関数の導関数と呼ばれる新しい関数を生成することができます。 ^{[ 13 ] : 32}幾何学的に言えば、導関数は直線の傾きの概念を一般化したものです。つまり、グラフが直線でない場合でも、関数のグラフの傾斜を定量化する方法を提供します。^{[ 10 ] : 78–79}

ラグランジュ記法では、導関数を表す記号はプライムと呼ばれるアポストロフィのような記号です。したがって、関数fの導関数はf′で表され、「f プライム」または「f ダッシュ」と発音されます。例えば、f ( x ) = x²^が二乗関数である場合、f′ ( x ) = 2xはその導関数です。^{[ 10 ] : 63}

関数が線形である場合（つまり、関数のグラフが直線である場合）、その関数はy = mx + bと表すことができ、ここでxは独立変数、yは従属変数、bはy切片であり、次のようになります。

${\displaystyle m={\frac {\text{上昇}}{\text{水平移動}}}={\frac {{\text{yの変化}}{{\text{xの変化}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

これは直線の傾きの正確な値を与えます。^{[ 10 ] : 6}ただし、関数のグラフが直線でない場合、yの変化をxの変化で割った値は変化します。導関数は、入力の変化に関する出力の変化の概念に正確な意味を与えます。具体的に、fを関数とし、fの定義域内の点aを固定します。( a , f ( a ))は関数のグラフ上の点です。hがゼロに近い数である場合、 a + hはaに近い数です。したがって、( a + h , f ( a + h ))は( a , f ( a ))に近いです。これら2点間の傾きは

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

この式は差分商と呼ばれます。曲線上の 2 点を通る直線は割線と呼ばれ、m は( a , f ( a ))と( a + h , f ( a + h ))の間の割線の傾きです。割線は、 aとa + hの間の挙動を考慮していないため、点aにおける関数の挙動の近似にすぎません。h をゼロに設定してaにおける挙動を調べることはできません。なぜなら、ゼロで割る必要があり、これは定義されていないからです。導関数は、 hがゼロに近づくときの極限を取ることによって定義されます。つまり、 hのすべての小さな値に対するfの挙動を考慮し、 h がゼロの場合の一貫した値を抽出します。

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}$

幾何学的に言えば、導関数は、点aにおけるfのグラフの接線の傾きである。接線は割線の極限であり、導関数は差分商の極限である。^{[ 10 ]： 61-63}

関数の入力が時間を表す場合、導関数は時間に関する変化を表します。例えば、fが時間を入力として受け取り、その時点でのボールの位置を出力する関数である場合、fの導関数は位置が時間とともにどのように変化するか、つまりボールの速度を表します。 ^{[ 13 ] : 18–20}

上記の例における導関数を表す一般的な表記法は、ライプニッツによって導入されたもので、

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}$

極限に基づくアプローチでは、記号dy / dxは、2つの数の商としてではなく、上で計算された極限の略記として解釈されるべきである。^{[ 10 ] : 74}しかし、ライプニッツは、この記号を、2 つの無限小の数の商を表すものとして意図していた。dy は、xに適用される無限小の変化dxによって引き起こされるyの無限小の変化である。また、 d / dxを微分演算子と考えることもできる。微分演算子は、関数を入力として受け取り、導関数という別の関数を出力として与える。例えば、

$\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$

この用法では、分母のdxは「 xに関して」と読みます。^{[ 10 ] : 79}正しい表記の別の例は次のとおりです。^{[ 10 ] : 74}

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+3t+1\\{d \over dt}g(t)&=2t+3\end{aligned}}}$

積分は、 f ( x )で定義される曲線の下の2点(ここではaとb )の間の面積を測定することと考えることができます。

区間の規則的な分割における中点リーマン和の列：長方形の総面積は、関数の積分に収束する。

積分学は、不定積分と定積分という2つの関連概念の定義、性質、および応用を研究する学問です。積分の値を求める過程を積分と呼びます。^{[ 11 ] : 508}不定積分は、原始関数とも呼ばれ、導関数の逆演算です。^{[ 10 ] : 163–165} fがFの導関数である場合、Fはfの不定積分です。（関数とその不定積分に大文字と小文字を使うのは、微積分学では一般的です。）定積分は関数を入力として受け取り、入力のグラフとx軸の間の面積の代数和を表す数値を出力します。定積分の技術的な定義は、リーマン和と呼ばれる長方形の面積の和の極限に関係しています。^{[ 14 ] : 282}

動機付けとなる例として、一定時間内に移動した距離が挙げられます。^{[ 10 ]： 153}速度が一定の場合は、乗算のみが必要です。

${\displaystyle \mathrm {距離} =\mathrm {速度} \cdot \mathrm {時間} }$

しかし、速度が変化する場合は、より強力な距離測定方法が必要になります。そのような方法の一つは、時間を多くの短い時間間隔に分割し、各間隔で経過した時間にその間隔内の速度のいずれかを掛け、各間隔で得られた近似距離の合計（リーマン和）を求めることで、移動距離を近似的に求めることです。基本的な考え方は、時間が短い場合は速度がほぼ一定に保たれるということです。ただし、リーマン和は移動距離の近似値しか与えません。正確な移動距離を求めるには、そのようなリーマン和の極限を取る必要があります。

速度が一定の場合、与えられた時間間隔で移動した総距離は、速度と時間を掛け合わせることで計算できます。たとえば、一定の 50  mph で 3 時間移動すると、総距離は 150 マイルになります。速度を時間の関数としてプロットすると、高さが速度に等しく、幅が経過時間に等しい長方形が得られます。したがって、速度と時間の積は、(一定の) 速度曲線の下の長方形の面積も計算します。^{[ 11 ] : 535}曲線の下の面積と移動距離の間のこの関係は、与えられた期間にわたって変動する速度を示す不規則な形状の領域に拡張できます。f(x) が時間とともに変化する速度を表す場合、aとbで表される時間の間の移動距離は、 f ( x )とx軸の間の領域、つまりx = aとx = bの間の領域の面積です。

その面積を近似するには、直感的な方法として、 aとbの間の距離をいくつかの等しいセグメントに分割し、各セグメントの長さを記号Δxで表す方法があります。各小さなセグメントについて、関数f ( x )の値を1つ選択できます。その値をhとします。すると、底辺Δx 、高さhの長方形の面積が、そのセグメントで移動した距離（時間Δx ×速度h）を表します。各セグメントには、その上の関数の平均値f ( x )= hが関連付けられます。このような長方形をすべて合計すると、軸と曲線の間の面積の近似値が得られ、これは移動した総距離の近似値となります。Δxの値が小さいほど長方形の数が増え、ほとんどの場合、より良い近似値が得られますが、正確な答えを得るには、 Δxがゼロに近づく極限を取る必要があります。^{[ 11 ]： 512-522}

統合のシンボルは${\displaystyle \int }$、総和を表すために選ばれた細長いS。^{[ 11 ]： 529}定積分は次のように書かれる。

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

そして「 xに関するfのxのaからbまでの積分」と読みます。ライプニッツの記号dxは、曲線の下の面積を無限個の長方形に分割し、その幅Δxが無限小のdxになるようにすることを意図しています。^{[ 13 ]： 44}

不定積分、または原始関数は次のように表されます。

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

定数項のみが異なる関数は同じ導関数を持ち、与えられた関数の原始関数は定数項のみが異なる関数の族であることが示せる。^{[ 14 ]： 326}任意の定数Cに対して、関数y = x² ⁺ Cの導関数はy′ = 2xであるため、後者の原始関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$

不定積分または原始関数に含まれる指定されていない定数Cは、積分定数として知られている。^{[ 15 ]： 135}

微積分学の基本定理は、微分と積分が逆演算であることを述べている。^{[ 14 ]： 290}より正確には、原始関数の値と定積分を関連付けている。通常、定積分の定義を適用するよりも原始関数を計算する方が容易であるため、微積分学の基本定理は定積分を計算する実用的な方法を提供する。また、微分が積分の逆演算であるという事実を正確に述べたものと解釈することもできる。

微積分学の基本定理は次のように述べている。関数f が区間[ a , b ]で連続であり、Fが区間( a , b )で導関数がfである関数である場合、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

さらに、区間( a , b )内のすべてのxに対して、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$

ニュートンとライプニッツの両者が認識したこのことは、彼らの業績が知られるようになってから解析的成果が爆発的に増加した鍵となった。（ニュートンとライプニッツが直前の先人たちからどの程度影響を受けたか、特にライプニッツがアイザック・バローの研究から何を学んだかは、両者の優先権争いのために判断が難しい。^{[ 16 ]} ）基本定理は、原始関数の公式を見つけることで、極限操作を行わずに多くの定積分を計算する代数的方法を提供する。また、微分方程式の典型的な解でもある。微分方程式は未知関数とその導関数を関連付けるものであり、科学のあらゆる分野で遍在している。^{[ 17 ]： 351-352}

多変数微積分は、1変数の微積分を複数の変数の関数に拡張したもので、 1つの変数だけでなく複数の変数（多変数）を含む関数の微分と積分です。 ^{[ 18 ]}

ベクトル解析は、主に3次元ユークリッド空間におけるベクトル場の微分と積分を扱う多変数微積分学の一分野である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$^{[ 19 ] [ 20 ] : 28}ベクトル解析という用語は、多変数解析全般というより広い主題の同義語として使われることもあります。) ベクトル解析は、微分幾何学偏微分方程式の研究において電磁場、重力場、流体の流れの記述において広く用いられています。

微分方程式は、 1つ以上の未知の関数とその導関数を関連付ける方程式です。 ^{[ 21 ]}応用上、関数は一般的に物理量を表し、導関数はその変化率を表し、微分方程式は両者の関係を定義します。このような関係は数学モデルや科学法則でよく見られるため、微分方程式は工学、物理学、経済学、生物学など多くの分野で重要な役割を果たしています。

例えば、微分方程式 $${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=-af(t)}$$ 関数によって解決される${\displaystyle f(t)}$それは自身の導関数に比例する。そのような関数はすべて次の形式をとる。 $${\displaystyle f(t)=Ce^{-at},}$$ どこ${\displaystyle C}$は定数である。この微分方程式は指数関数的減衰を表す。^{[ 20 ]： 458}

微分方程式の研究は、主にその解（各方程式を満たす関数の集合）とその解の性質の研究から成ります。明示的な公式で解けるのは最も単純な微分方程式のみですが、与えられた微分方程式の解の多くの性質は、厳密に計算しなくても決定できます。また、厳密に解けない微分方程式でも、数値近似が可能な場合が多くあります。

実解析は微積分学の厳密な基礎を提供し、入門微積分学でしばしば経験的に導入される概念が確固たる基盤を持っていることを確立します。実解析は実数、実数の数列と級数、および実関数の挙動を研究します。^{[ 22 ]}実解析が研究する実数値の数列と関数の特定の性質には、収束、極限、連続性、滑らかさ、微分可能性、および積分可能性が含まれます。

複素解析は、複素変数の関数を研究する。^{[ 20 ] : 253}実解析、代数幾何学、数論、解析的組み合わせ論、応用数学などの数学の多くの分野、および流体力学、熱力学、量子力学、ツイスター理論などの物理学の分野で役立つ。さらに、複素解析の使用は、原子力、航空宇宙、機械工学、電気工学などの工学分野にも応用されている。^{[ 23 ]}

関数の導関数${\displaystyle f}$複素変数の${\displaystyle z}$初等微積分と同様に定義できる。 $${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}.}$$ 制限があるため${\displaystyle \Delta z\to 0}$複素平面上の任意の方向に移動できますが、微分可能性の条件は、実変数の関数よりも複素変数の関数の方が厳しくなります。^{[ 24 ]}複素解析は、複素変数の微分可能な関数である正則関数を研究します。実数の場合とは対照的に、正則関数は常に無限に微分可能であり、定義域の各点の近傍でテイラー級数の和に等しくなります。このため、複素解析の方法と結果は、実解析の方法と結果とは大きく異なります。

変分法（または変分計算）は、初等微積分が関数を研究するのと同様に、汎関数を研究します。初等微積分が関数の入力値と出力値の微小な変化を考察するのに対し、変分法は関数自体の微小な変化を考察します。汎関数とは、関数の集合から実数への写像のことです。変分法は、入力関数が微小に摂動されたときに、汎関数の出力がどのように変化するかを研究します。

このような問題の簡単な例として、2点を結ぶ最短の曲線を求めることが挙げられます。制約がない場合、解は2点間の直線になります。しかし、曲線が空間内の曲面上に位置するように制約されている場合、解はそれほど明確ではなく、多くの解が存在する可能性があります。このような解は測地線として知られています。^{[ 25 ] : 472}関連する問題は、フェルマーの原理によって提起されます。光は、2点を結ぶ最短の光学的経路をたどりますが、これは媒質の材質に依存します。^{[ 20 ] : 715–718}力学における対応する概念の1つは、最小作用/定常作用の原理です。^{[ 20 ] : 720}

汎関数は、関数とその導関数を含む定積分として表現されることが多い。汎関数を最大化または最小化する関数は、変分法のオイラー・ラグランジュ方程式を用いて求めることができる。 ^{[ 25 ]： 476-477}

ヨハネス・ケプラーの著作『立体測度』（1615年）は、積分計算の基礎を形成した。^{[ 39 ]}ケプラーは、楕円の焦点から引いた多数の半径の長さを足し合わせることで楕円の面積を計算する方法を開発した。^{[ 40 ]}ボナヴェントゥラ・カヴァリエリは、ケプラーの研究に基づいて、^{[ 40 ]}体積と面積は、無限に薄い断面の体積と面積の合計として計算されるべきだと主張した。

微積分学の正式な研究は、カヴァリエリの無限小と、ほぼ同時期にヨーロッパで発展した有限差分法を結びつけた。ピエール・ド・フェルマーは、ディオファントスから借用したと主張し、無限小の誤差項を除いて等しいことを表す等価性の概念を導入した。^{[ 41 ]}この組み合わせは、ジョン・ウォリス、アイザック・バロー、ジェームズ・グレゴリーによって達成され、後者の2人は1670年頃に微積分学の基本定理の一部を証明した。^{[ 42 ] [ 43 ]}

アイザック・ニュートンは、積の法則と連鎖律^{[ 44 ]}、高階微分とテイラー級数の概念^{[ 45 ]}、解析関数^{[ 46 ]}を独自の記法で用い、数学物理学の問題を解くために応用した。ニュートンは、自身の著作の中で、当時の数学の慣用表現に合わせて考えを言い換え、無限小の計算を、非難の余地がないと考えられていた同等の幾何学的議論に置き換えた。彼は微積分法を用いて、惑星の運動、回転する流体の表面の形状、地球の扁平率、サイクロイド上を滑る重りの運動、および彼の著書『プリンキピア・マテマティカ』（1687年）で論じられたその他多くの問題を解決した。他の著作では、分数や無理数を含む関数の級数展開を開発し、テイラー級数の原理を理解していたことは明らかである。彼はこれらの発見をすべて公表したわけではなく、当時、微小な方法はまだ評判が悪いと考えられていた。^{[ 47 ]}

アイザック・ニュートンは、運動の法則と万有引力の法則において、微積分学の利用法を発展させた。

ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、微積分学の法則を明確に述べた最初の人物である。

これらのアイデアは、当初ニュートンから盗作の疑いをかけられたゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって真の微積分学として体系化されました。 ^{[ 48 ]}現在では、彼は微積分学の独立した発明者であり貢献者とみなされています。彼の貢献は、微積分を扱うための明確な規則を提供し、2次およびそれ以上の導関数の計算を可能にし、微分形式と積分形式で積の法則と連鎖律を提供したことです。ニュートンとは異なり、ライプニッツは記号の選択に細心の注意を払いました。^{[ 49 ]}

今日では、ニュートンとライプニッツはどちらも独立して微積分を発明し発展させた功績があると一般的に考えられています。ニュートンは微積分を一般物理学に初めて応用しました。ライプニッツは、今日の微積分で使用されている記号の多くを開発しました。^{[ 13 ]： 51-52}ニュートンとライプニッツが提供した基本的な洞察は、微分法則と積分法則の開発、微分と積分が逆過程であることの強調、2次およびそれ以上の導関数を計算する方法の開発、多項式級数を近似するという概念の表明につながりました。

ニュートンとライプニッツが初めて研究成果を発表したとき、どちらの数学者（したがってどちらの国）が功績に値するのかをめぐって大きな論争が起こった。ニュートンは1665年から1666年にかけて最初に研究成果を導き出し（後に『流率法』で発表）、ライプニッツは1684年に『最大最小値のための新方法』を先に発表した。ニュートンは、ライプニッツが王立協会の数人の会員と共有していた未発表のノートからアイデアを盗んだと主張した。この論争は、英語圏の数学者と大陸ヨーロッパの数学者を長年にわたって分断し、イギリスの数学に損害を与えた。^{[ 50 ]}ライプニッツとニュートンの論文を注意深く調べると、彼らは独立して研究成果に到達しており、ライプニッツは最初に積分から、ニュートンは最初に微分から始めたことがわかる。しかし、新しい学問分野にその名前をつけたのはライプニッツである。ニュートンは自身の微積分を「流率の科学」と呼び、この用語は19世紀までイギリスの学校で使われ続けた。^{[ 51 ] : 100}英語で書かれ、ライプニッツ記法を用いた最初の完全な微積分に関する論文は1815年まで出版されなかった。^{[ 52 ]}

ニュートンやライプニッツの時代から、多くの数学者が微積分学の継続的な発展に貢献してきた。微積分学と無限小微積分学の両方に関する最初期かつ最も完全な著作の1つは、1748年にマリア・ガエタナ・アニェージによって書かれた。^{[ 53 ] [ 54 ]}

微積分学において、基礎とは、公理と定義から厳密に発展させた主題を指します。初期の微積分学では、無限小量の使用は厳密さに欠けると考えられ、ミシェル・ロールやバークレー司教をはじめとする多くの著者から激しく批判されました。バークレーは、1734年に出版した著書『解析学者』の中で、無限小量を「消え去った量の亡霊」と表現したことで有名です。ニュートンとライプニッツの時代以降、数学者たちは微積分学の厳密な基礎を確立することに多くの時間を費やしました。^{[ 12 ]}

マクローリンを含む数人の数学者が無限小の使用の正当性を証明しようと試みたが、コーシーとワイエルシュトラスの研究により、無限小の単なる「概念」を避ける方法が最終的に見つかるまでには150年もかかった。^{[ 55 ]}微分積分学の基礎が築かれた。コーシーの『解析学講義』には、無限小による連続性の定義や、微分の定義における極限の（やや不正確な）プロトタイプなど、幅広い基礎的アプローチが見られる。 ^{[ 56 ]}ワイエルシュトラスは、その研究で極限の概念を形式化し、無限小を排除した（ただし、彼の定義は零平方無限小を正当化することができる）。ワイエルシュトラスの研究に続いて、微積分を無限小量ではなく極限に基づいて行うことが最終的に一般的になったが、この分野は今でも時折「無限小微積分」と呼ばれることがある。ベルンハルト・リーマンはこれらの考えを用いて積分の正確な定義を与えた。^{[ 57 ]}また、この時期に複素解析の発展に伴い、微積分の概念が複素平面に一般化された。^{[ 58 ]}

現代数学では、微積分学の基礎は実解析の分野に含まれており、そこには微積分学の定理の完全な定義と証明が含まれています。微積分学の適用範囲も大きく拡大しました。アンリ・ルベーグは、エミール・ボレルによる以前の発展に基づいて測度論を発明し、最も病的な関数を除くすべての関数の積分を定義するためにそれを使用しました。^{[ 59 ]}ローラン・シュワルツは、あらゆる関数の導関数を取るために使用できる分布を導入しました。 ^{[ 60 ]}

極限は、微積分学の基礎に対する唯一の厳密なアプローチではありません。別の方法として、アブラハム・ロビンソンの非標準解析を用いる方法があります。1960年代に開発されたロビンソンのアプローチは、ニュートンとライプニッツの当初の構想と同様に、数学論理学の技術的な仕組みを用いて、実数体系に無限小と無限大を追加します。結果として得られる数は超実数と呼ばれ、通常の微積分法の規則をライプニッツ風に展開するために使用できます。^{[ 61 ]}また、滑らかな無限小解析もあり、これは導出中に高次の無限小を無視することを義務付けている点で非標準解析とは異なります。^{[ 12 ]}滑らかな無限小解析は、 FW ローヴェアの考えに基づき、圏論の方法を採用し、すべての関数を連続であり、離散的な実体で表現できないものとみなします。この定式化の1つの側面は、排中律が成り立たないことです。^{[ 12 ]}排中律は構成的数学でも否定される。構成的数学とは、数、関数、その他の数学的対象の存在証明は、その対象の構成を与えるべきだと主張する数学の一分野である。構成的枠組みでの微積分の再定式化は、一般的に構成的解析の主題の一部である。^{[ 12 ]}

微積分学の多くの概念はギリシャ、中国、インド、イラク、ペルシャ、日本で以前に開発されていたが、微積分学の使用は17世紀にヨーロッパで始まり、ニュートンとライプニッツが以前の数学者の業績に基づいてその基本原理を導入した。^{[ 31 ] [ 47 ] [ 62 ]}ハンガリーの博学者ジョン・フォン・ノイマンはこの業績について次のように書いている。

微積分は近代数学の最初の成果であり、その重要性を過大評価することは難しい。私は、微積分こそが近代数学の始まりを何よりも明確に定義するものであり、その論理的発展である数学解析の体系は、今なお厳密な思考における最大の技術的進歩を構成していると考えている。^{[ 63 ]}

微分法の応用には、速度と加速度、曲線の傾き、最適化に関する計算が含まれます。^{[ 11 ] : 341–453}積分法の応用には、面積、体積、弧長、重心、仕事、圧力に関する計算が含まれます。^{[ 11 ] : 685–700}より高度な応用には、べき級数とフーリエ級数が含まれます。

微積分は、空間、時間、運動の本質をより正確に理解するためにも使用されます。何世紀にもわたり、数学者や哲学者は、ゼロによる除算や無限個の数の和に関するパラドックスに取り組んできました。これらの問題は、運動と面積の研究において生じます。古代ギリシャの哲学者エレアのゼノンは、そのようなパラドックスの有名な例をいくつか挙げています。微積分は、特に極限と無限級数といった、パラドックスを解決するツールを提供します。 ^{[ 64 ]}