4乗

算術と代数では、数nの4 乗は^、 nの 4 つのインスタンスを掛け合わせた結果です。n 4 = n × n × n × n。

4乗もまた、ある数をその数の3乗で掛けることによって作られます。さらに、4乗は平方根の平方根でもあります。

n ⁴を「4 乗」の代わりに、nテセラクト、ハイパーキューブ、ゼンジゼンジック、バイクアドレート、スーパーキューブなどと呼ぶ人もいます。

整数の4乗の数列は、双四乗数またはテッセラティック数として知られており、次のとおりです。

0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, 28561, 38416, 50625, 65536, 83521, 104976, 130321, 160000, 194481, 234256, 279841, 331776, 390625, 456976, 531441, 614656, 707281, 810000, ... ( OEISのシーケンスA000583 )。

10進数の4乗の最後の桁は、0、1、5、または6のいずれかになります。

16進数では、4乗の最後のゼロ以外の桁は常に1です。^{[ 1 ]}

すべての正の整数は、最大で19個の4乗の和として表すことができます。13792より大きいすべての整数は、最大で16個の4乗の和として表すことができます（ワーリングの問題を参照）。

フェルマーは、4乗は他の2つの4乗の和にはなり得ないことを知っていました（フェルマーの最終定理のn =4の場合。フェルマーの直角三角形の定理を参照）。オイラーは、4乗は3つの4乗の和にはなり得ないと推測しましたが、200年後の1986年に、エルキースによって以下の式で反証されました。

20615673 ⁴ = 18796760 ⁴ + 15365639 ⁴ + 2682440 ⁴。

エルキースは、指数が4の場合の反例が無限に存在することを示した。そのいくつかは次の通りである。^{[ 2 ]}

2813001 ⁴ = 2767624 ⁴ + 1390400 ⁴ + 673865 ⁴ (アラン・マクラウド)

8707481 ⁴ = 8332208 ⁴ + 5507880 ⁴ + 1705575 ⁴ (DJ バーンスタイン)

12197457 ⁴ = 11289040 ⁴ + 8282543 ⁴ + 5870000 ⁴ (DJ バーンスタイン)

16003017 ⁴ = 14173720 ⁴ + 12552200 ⁴ + 4479031 ⁴ (DJ バーンスタイン)

16430513 ⁴ = 16281009 ⁴ + 7028600 ⁴ + 3642840 ⁴ (DJ バーンスタイン)

422481 ⁴ = 414560 ⁴ + 217519 ⁴ + 95800 ⁴ (ロジャー・フライ、1988年)

638523249 ⁴ = 630662624 ⁴ + 275156240 ⁴ + 219076465 ⁴ (アラン・マクラウド、1998)

4次方程式は、4次（それ以上ではない）多項式を含み、アーベル・ルフィニの定理により、根号を用いた一般解を持つ最高次の方程式である。

• 平方（代数）
• 立方体（代数）
• 指数関数
• 5乗（代数）
• 6乗
• 7乗
• 8乗
• 完璧な力

• ワイススタイン、エリック W. 「双二次数」 . MathWorld .