病理的（数学）

数学において、数学的現象が何らかの直観に反する場合、その現象は「病理的」と呼ばれることがある。一方、現象が直観に反しない場合は、「行儀が良い」または「良い」と呼ばれることがある。これらの用語は数学の研究や教育において有用な場合があるが、「病理的」または「行儀が良い」の厳密な数学的定義はない。^{[ 1 ]}

病理の典型的な例は、至るところで連続だが微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数である。^{[ 1 ]}微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、やはり連続だが微分不可能である。したがって、微分可能な関数の数と同数以上のそのような関数が存在する。実際、ベールのカテゴリー定理を用いると、連続関数は一般的に微分不可能であることを示すことができる。^{[ 2 ]}

このような例は、最初に発見されたときには病理的なものと見なされていました。アンリ・ポアンカレの言葉を引用すると：^{[ 3 ]}

論理は時に怪物を生み出す。半世紀にわたり、まともな関数とは似ても似つかない、奇妙な関数が数多く出現してきた。連続性は存在しない、あるいは連続性はあるが導関数は存在しない、といった具合だ。さらに、論理の観点から言えば、こうした奇妙な関数こそが最も一般的なものであり、意図せずして現れる関数はもはや特殊なケースに過ぎず、その存在意義はごくわずかしか残されていない。

かつて、新しい機能が発明される際には、何らかの実用的な目的が念頭に置かれていた。しかし今日では、それらは先祖の論理の誤りを明らかにするために意図的に発明されており、そこから得られるものはそれ以上のものではない。

もし論理学が教師の唯一の指針であるならば、教師は最も一般的な、つまり最も奇妙な関数から始めなければならないだろう。教師は初心者に、こうした難解な関数群と格闘させなければならない。そうしなければ、段階的にしか正確な理解に到達できないだろう、と論理学者は言うかもしれない。

ポアンカレ以来、至るところで微分不可能な関数は、ブラウン運動のような基本的な物理的および生物学的プロセスや、金融におけるブラック・ショールズ・モデルのような応用例において現れることが示されている。

『解析における反例』は、そのような反例を集めた一冊の本である。^{[ 4 ]}

病理関数のもう1つの例は、フーリエ級数として表現できないデュボワ・レイモンド連続関数である。^{[ 5 ]}

位相幾何学における有名な反例の一つに、アレクサンダー角球がある。これは^、球面S2^をR3に位相的に埋め込んでも、空間をきれいに分離できない可能性があることを示している。この反例がきっかけとなり、数学者たちは、角球、ワイルドノット、その他類似の例に見られるような荒々しい振る舞いを抑制する「穏やかさ」という性質を定義するに至った。 ^{[ 6 ]}

他の多くの病理と同様に、角のある球体は、ある意味で無限に微細で再帰的に生成される構造に基づいており、極限においては通常の直観に反する。この場合、極限において球体の連続した断片が絡み合ったループの連鎖が絶えず下降していくトポロジーは、通常の球体のトポロジーを完全に反映しており、埋め込み後にはその外側も同様に機能すると予想される。しかし、そうはならない。それは単連結ではない。

基礎となる理論については、ジョルダン・シェーンフリースの定理を参照してください。

『位相幾何学における反例』は、そのような反例を集めた一冊の本である。 ^{[ 7 ]}

1961年から1975年にかけてAmerican Journal of Mathematicsに掲載された4つの論文シリーズで、 David Mumfordは代数幾何学における「病理的」な振る舞いを探求した。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}彼の例は2つのタイプに分類される。(a)特性pにおける悪い振る舞い、(b)モジュライ空間における悪い振る舞い。

マムフォードは1962年の論文「代数幾何学におけるさらなる病理」の中で次のように書いている。

非特異特性p多様体は、一般的な非ケーラー複素多様体に類似しています。特に、そのような多様体の射影埋め込みは、複素多様体上のケーラー計量ほど強くなく、層コホモロジーに関する Hodge–Lefschetz–Dolbeault の定理はあらゆる点で破綻します。^{[ 12 ]}

1. 『病理学I』（モジュラー代数曲面の病理学）において、マンフォード（a）は、閉じていない滑らかな射影曲面上の至る所で正則な微分形式を見つけ、標数 2 の古典的なエンリケス曲面ではホッジ対称性が破れることを示した。この例は、標数pの曲面の分類に関するマンフォードの 3 番目の論文（エンリコ・ボンビエリとの共著）でさらに展開されている。これは、曲面のピカール スキーム、特に、それが縮約スキームではないという点から説明することができ、このテーマはマンフォードの著書『代数曲面上の曲線に関する講義』で展開されている。結晶コホモロジーにおける p-ねじれに関連する病理学は、後にリュック・イルジーによって研究された。^{[ 13 ]}
2. 『Pathologies II (代数幾何学におけるさらなる病理学) 』の中で、Mumford (a) は、幾何学的種数がゼロではないが、第 2 ベッティ数が Néron–Severi 群のランクに等しい標数 p の曲面の簡単な例を示している。このような例は、Zariski 曲面理論にも見られる。彼はまた、標数pの曲面に対して小平消滅定理が偽であると予想した。Mumford はまた、(b)次数 14、種数 24 の空間曲線をパラメータ化するヒルベルト スキームが多重成分を持つことを発見した。2006 年、Ravi Vakil は論文「代数幾何学におけるマーフィーの法則」の中で、ヒルベルト スキームは、成分の数が無制限で多重度が任意に大きいなど、任意に「悪い」ものになり得ることを示した。^{[ 14 ]}
3. 『病理学III』の中で、彼は（a）小平消失が成り立たない通常の曲面の例を挙げている。小平消失が成り立たない滑らかな曲面の最初の例は、1978年にミシェル・レイノーによって示された。
4. 病理学IVにおいて、彼は（b）非特異曲線の特殊化ではない、縮小および既約完全曲線を発見した。

数学者（および関連科学の研究者）は、関数、集合、空間など、数学的対象が「適切に振る舞う」かどうかを頻繁に議論します。この用語には決まった形式的な定義はありませんが、一般的には、文脈、数学的関心、流行、嗜好などによって左右される一連の条件を満たす性質を指します。対象が「適切に振る舞う」ことを保証するために、数学者は研究領域を絞り込むための公理をさらに導入します。これは分析を容易にするという利点がありますが、得られた結論の一般性を損なうという欠点もあります。

純粋数学と応用数学（例えば、最適化、数値積分、数理物理学）の両方において、「適切に振る舞う」とは、議論されている分析を成功裏に適用するために必要な仮定に違反しないことを意味する。

その反対のケースは通常「病的」と呼ばれます。濃度や尺度に関してほとんどのケースが病的である状況は珍しくありませんが、意図的に構築しない限り、病的なケースは実際には発生しません。

「行儀が良い」という言葉は、一般的に絶対的な意味で用いられます。つまり、行儀が良いかそうでないかのどちらかです。例えば：

• アルゴリズム推論において、適切な統計量とは、単調で、明確に定義され、かつ十分な統計量である。
• ベズーの定理では、2つの多項式は性質が良く、したがって、それらの多項式の最大公約数が定数である場合、定理によって与えられるそれらの交点の数の公式は有効である。
• 有理型関数とは、2つの関数が正則であるという意味で、性質の良い2つの関数の比のことである。
• カルシュ・クーン・タッカー条件は、性質の良い非線形計画問題の解が最適となるための一次必要条件である。ある問題が性質の良い問題であるとは、いくつかの正則性条件が満たされている場合を指す。
• 確率論においては、確率空間に対応するシグマ代数に含まれる事象は、可測関数と同様に、良好な性質を持つ。

珍しいことに、この用語は比較的な意味でも用いられることがある。

• 微積分では：
  • 解析関数は、一般的な滑らかな関数よりも性質が良い。
  • 滑らかな関数は、一般的な微分可能な関数よりも性質が良い。
  • 連続微分可能な関数は、一般的な連続関数よりも性質が安定している。微分可能な回数が多いほど、その関数の性質は安定していると言える。
  • 連続関数は、コンパクト集合上ではリーマン積分可能な関数よりも性質が良い。
  • リーマン積分可能な関数は、ルベーグ積分可能な関数よりも性質が良い。
  • ルベーグ積分可能な関数は、一般的な関数よりも性質が良い。
• トポロジーにおいて：
  • 連続関数は不連続関数よりも挙動が安定している。
  • ユークリッド空間は、非ユークリッド幾何学よりも扱いやすい。
  • 吸引固定点は、反発固定点よりも挙動が安定している。
  • ハウスドルフ位相は、任意の一般位相よりも性質が良い。
  • ボレル集合は、任意の実数集合よりも性質が良い。
  • 整数次元の空間は、フラクタル次元の空間よりも性質が良い。
• 抽象代数学において：
  • 群はマグマや半群よりも性質が良い。
  • アーベル群は非アーベル群よりも性質が良い。
  • 有限生成アーベル群は、非有限生成アーベル群よりも性質が良い。
  • 有限次元ベクトル空間は、無限次元 ベクトル空間よりも性質が良い。
  • 体は、斜体や一般的な環よりも性質が良い。
  • 分離可能な体拡張は、分離不可能な体拡張よりも挙動が安定している。
  • ノルム付き除算代数は、一般的な合成代数よりも性質が良い。

病理学的事例には、理論で捉えたり説明したりすることが難しい、望ましくない、あるいは異常な特性がしばしば見られます。こうした病理学的挙動は、新たな調査や研究を促し、それが新たな理論やより一般的な結果につながります。その重要な歴史的例としては、以下のようなものがあります。

• 順位選択投票は、得票数が多すぎる候補者を排除する傾向があるため、病的な社会的選択機能としてよく説明される。^{[ 15 ]}
• 古代ギリシャのピタゴラス学派による無理数の発見。例えば、単位正方形の対角線の長さ、つまり$\displaystyle {\sqrt {2}}}$。
• 16世紀に、 3次および4次多項式関数の根を求めるために複素数が発見された。
• 数体の中には、一意の因数分解領域を形成しない整数環を持つものがある。例えば、拡張体$\displaystyle \mathbb {Q} (\sqrt {-5}})$。
• フラクタルやその他の「粗い」幾何学的オブジェクトの発見（ハウスドルフ次元を参照）。
• ワイエルシュトラス関数は、実数直線上の実数値関数であり、至るところで連続であるが、至るところで微分不可能である。^{[ 1 ]}
• 実解析と分布理論におけるテスト関数とは、与えられた限定された区間の外側では常に 0 となる実数直線上の無限微分可能な関数である。そのような関数の例として、テスト関数がある。$${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}e^{-1/(1-t^{2})},&-1<t<1,\\0,&{\text{その他}}.\end{cases}}}$$
• カントール集合は区間の部分集合である${\displaystyle [0,1]}$尺度がゼロであるが、不可算名詞である。
• 太いカントール集合はどこにも稠密ではないが、正の測度を持つ。
• ファビウス関数はどこでも滑らかだが、どこでも解析的ではない。
• ボルテラ関数は、至るところで導関数が有界である微分可能であるが、その導関数はリーマン積分可能ではない。
• ペアノ空間充填曲線は、単位区間を写像する連続全射関数である。${\displaystyle [0,1]}$に${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$。
• 有理数の指示関数であるディリクレ関数は、リーマン積分可能ではない有界関数である。
• カントール関数は、単調連続全射関数であり、${\displaystyle [0,1]}$に${\displaystyle [0,1]}$しかし、ほとんど至るところで導関数はゼロである。
• ミンコフスキーの疑問符関数は連続かつ厳密に増加するが、ほとんど至るところで導関数がゼロとなる。
• ペアノ算術の可算で再帰的に飽和したモデルに対して、「直感的に偽」な算術命題を含む充足クラスを構築することができる。
• オズグッド曲線は、（ほとんどの空間充填曲線とは異なり）正の面積を持つジョルダン曲線です。
• 異種球面は、標準的なユークリッドn次元球面とは同相であるが、微分同相ではない。

これらの例は発見当時、それぞれが非常に病的なものと考えられていましたが、今日ではそれぞれが現代の数学理論に組み込まれています。これらの例は観察者に自身の信念や直感を修正するよう促し、場合によっては基礎的な定義や概念の再評価を必要とします。歴史を通じて、これらはより正確で、より精密で、より強力な数学へと導いてきました。例えば、ディリクレ関数はルベーグ積分可能であり、テスト関数との畳み込みは、任意の局所的に積分可能な関数を滑らかな関数で近似するために使用されます。^{[注1 ]}

ある行動が病理的かどうかは、定義上、個人の直感に左右される。病理は状況、訓練、経験によって異なり、ある研究者にとって病理的な行動が、別の研究者にとってはごく普通の行動である可能性も十分にある。

病的な例は、定理における仮定の重要性を示すことができる。例えば、統計学において、コーシー分布は、対称的なベル型の形状が中心極限定理を満たす多くの分布と似ているように見えるにもかかわらず、中心極限定理を満たさない。これは、平均と標準偏差が存在し、かつ有限であるという要件を満たしていないためである。

バナッハ＝タルスキーのパラドックスやハウスドルフのパラドックスなど、最もよく知られたパラドックスのいくつかは、測定不可能な集合の存在に基づいている。数学者は、選択公理を否定するという少数派の立場を取らない限り、一般的にそのような集合の存在を受け入れている。

コンピュータサイエンスにおいて、「病理的」という言葉は、アルゴリズムの研究に関して少し異なる意味を持ちます。ここでは、入力（または入力の集合）が、アルゴリズムから異常な動作（例えば、平均ケース複雑度の違反や、正当性の欠如など）を引き起こす場合、その入力は病理的であると言われます。例えば、ハッシュテーブルは一般的に病理的な入力、つまりハッシュ値で衝突するキーの集合を持ちます。クイックソートは通常、${\displaystyle O(n\log {n})}$時間計算量は、${\displaystyle O(n^{2})}$最適とは言えない動作を引き起こすような入力が与えられた場合。

この用語は、実際には問題のないルーチンを意図的に破壊するために設計された入力として、そのような入力を軽蔑的に扱う際によく用いられます（ビザンチンと比較してください）。一方で、病理的な入力はコンピュータシステムへのサービス拒否攻撃に悪用される可能性があるため、それらを認識することも重要です。また、この意味での用語も、他の意味と同様に主観的な判断に委ねられます。十分な実行時間、十分に大きく多様なユーザーコミュニティ（またはその他の要因）があれば、病理的とみなされる入力が実際に発生する可能性もあります（アリアン5の最初の試験飛行で見られたように）。

類似しているが、異なる現象として、例外的な対象（および例外的な同型性）というものがある。これは、一般的なパターンに対して「少数の」例外が存在する場合（例えば、無限の規則に対して有限個の例外が存在する場合）に発生する。対照的に、病理的な現象の場合、多くの場合、現象のほとんど、あるいはほぼすべての事例が病理的である（例えば、ほとんどすべての実数は無理数である）。

主観的には、例外的な対象（正二十面体や散在単純群など）は一般的に「美しい」、つまり理論の予期せぬ例とみなされる一方、病理的な現象は、その名の通り「醜い」とみなされることが多い。そのため、理論は通常、例外的な対象を含めるように拡張される。例えば、例外的なリー代数は半単純リー代数の理論に含まれる。つまり、公理は良いものとみなされ、例外的な対象は予期せぬものだが妥当なものとみなされるのである。

対照的に、病理的な例は、公理の欠陥を指摘するために用いられ、それらを排除するためにはより強力な公理が必要となる。例えば、シェーンフリース問題における球面の埋め込みの穏やかさを要求することなどが挙げられる。一般に、病理的な例を含むより一般的な理論を研究することもできる。この理論は、独自の単純化を提供する可能性がある（実数は有理数とは全く異なる性質を持ち、同様に連続写像は滑らかな写像とは全く異なる性質を持つ）。しかし、元の例が引き出されたより狭い理論も研究することができる。

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• 病理学的構造とフラクタル―フリーマン・ダイソンによる記事「不規則性の特徴づけ」（サイエンス誌、1978年5月号）からの抜粋

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