仕事（物理学）

仕事
野球の ピッチャーは、ボールを握っている間にボールが移動する距離に応じて力を加えることによって、ボールに正の働きをします。
一般的な記号	わ
SI単位	ジュール(J)
その他のユニット	フィートポンド、エルグ
SI基本単位では	1 kg ⋅ m 2 ⋅ s −2
他の量からの導出	W = F ⋅ s W = τ θ
寸法	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-2}}$

科学において、仕事とは、変位に沿った力の適用によって物体に伝達される、または物体から伝達されるエネルギーのことである。最も単純な形では、運動の方向と一直線に並んだ一定の力の場合、仕事は力の強さと移動距離の積に等しい。力が適用点の変位の方向に成分を持っている場合、その力は正の仕事をしていると言われている。力が適用点の変位の方向と反対の成分を持っている場合、その力は負の仕事をしていると言われている。 ^[1]

たとえば、ボールを地面より上に持ち上げてから落とすと、落下時にボールにかかる重力による仕事は正となり、ボールの重さ (力) と地面までの距離 (変位) の積に等しくなります。ボールを上向きに投げると、重力による仕事は負となり、重さと上方向の変位の積に等しくなります。

力と変位はどちらもベクトルです。仕事は2 つのベクトルのドット積で表され、結果はスカラーになります。力Fが一定で、力と変位sの間の角度θも一定の場合、仕事は次のように表されます: W = F s cos ⁡ θ {\displaystyle W=Fs\cos {\theta }}

力が可変である場合、仕事は線積分によって与えられます。

${\displaystyle W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}$

変位ベクトルの小さな変化は どこにあるのでしょうか。${\displaystyle d{\vec {s}}}$

仕事はスカラー量[ ^2]なので大きさしか持たず方向を持たない。仕事はエネルギーをある場所から別の場所へ、あるいはある形態から別の形態へ伝達する。仕事のSI単位はジュール（J）で、エネルギーの単位と同じである。

古代ギリシャの物理学の理解は、単純な機械の静力学（力のバランス）に限られており、動力学や仕事の概念は含まれていませんでした。ルネッサンス期には、機械力学（単純な機械と呼ばれていました）の動力学が、適用できる力に加えて、荷物をどれだけ持ち上げることができるかという観点から研究され始め、最終的に機械的仕事という新しい概念につながりました。単純な機械の完全な動力学理論は、1600年にイタリアの科学者ガリレオ・ガリレイによって「機械力学について」で解明され、力の増幅器としての機械の根底にある数学的類似性を示しました。^{[3] [4]}彼は、単純な機械はエネルギーを生み出すのではなく、変換するだけであると説明した最初の人物でした。^[3]

仕事は1826年まで正式には使われていなかったが、それ以前にも同様の概念が存在していた。同じ概念の初期の名前には、活動の瞬間、行動の量、潜在的な活力、動的効果、効率、さらには力などがあった。^[5] 1637年、フランスの哲学者ルネ・デカルトは次のように書いている。^[6]

100 ポンドを片足で 2 回持ち上げることは、200 ポンドを片足で持ち上げること、または 100 ポンドを両足で持ち上げることと同じです。

— ルネ・デカルト、ホイヘンスへの手紙

1686年、ドイツの哲学者ゴットフリート・ライプニッツは次のように書いています。^[7]

1 ポンド (天秤座) の物体 A を 4 ヤード (尺骨) の高さまで持ち上げるために必要な力 (現代の用語では「仕事」) は、4 ポンドの物体 B を 1 ヤードの高さまで持ち上げるために必要な力と同じです。

— ゴットフリート・ライプニッツ、ブレビスの実演

1759年、ジョン・スミートンは「力」と名付けた量を「運動を生み出すための力、重力、衝撃、または圧力の発揮を表す」ものとして説明した。スミートンは続けて、この量は「持ち上げられた重量に、与えられた時間内に持ち上げられる高さを掛け合わせれば」計算できると述べ、この定義はコリオリの定義と驚くほど似ているとしている。^[8]

マックス・ジャマーの1957年の物理学の教科書によると、^[9]仕事という用語は、1826年にフランスの数学者ガスパール＝ギュスターヴ・コリオリ^[10]によって「高さによって持ち上げられた重量」として導入されました。これは、浸水した鉱山からバケツの水を汲み上げるために初期の蒸気機関が使用されたことに基づいています。フランスのエンジニアで歴史家のルネ・デュガによると、「現在力学で使用されている意味での仕事という用語の起源は、コーのソロモンにあります」。 ^[11]

SI単位の仕事の単位はジュール（J）で、イギリスの物理学者ジェームズ・プレスコット・ジュール（1818-1889）にちなんで名付けられ、1ニュートンの力を1メートルの変位で発揮するために必要な仕事として定義されています。

寸法的に等価なニュートンメートル（N⋅m）は仕事の測定単位として使われることがあるが、これはトルクの測定単位と混同される可能性がある。SI単位系ではN⋅mの使用は推奨されていない。ニュートンメートルで表される量がトルクの測定値なのか、仕事の測定値なのか混乱を招く可能性があるからだ。^[12]

仕事を表すもう一つの単位はフィートポンドで、これはイギリスの測定システムに由来する。単位名が示すように、これは力の単位であるポンドと変位の単位であるフィートの積である。1ジュールは0.07376フィートポンドに等しい。^[13]

SI 法に従わない仕事の単位には、ニュートンメートル、エルグ、フィートポンド、フィートポンドアル、キロワット時、リットル気圧、馬力時などがあります。仕事は熱と同じ物理的次元を持つため、サーム、BTU、カロリーなど、通常は熱量やエネルギー量に使用される測定単位が測定単位として使用されることがあります。

一定の力Fが力の方向に直線的に 変位sを動かす点に及ぼす仕事Wは、$${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}$$

たとえば、10 ニュートン ( F = 10 N ) の力が 2 メートル ( s = 2 m )移動する点に沿って作用する場合、 W = Fs = (10 N) (2 m) = 20 J となります。これは、重力に逆らって 1 kg の物体を地面から人の頭上まで持ち上げるときに行われる仕事とほぼ同じです。

同じ距離を 2 倍の重量で持ち上げるか、同じ距離を 2 倍の重量で持ち上げるかのどちらかによって、作業量は 2 倍になります。

仕事はエネルギーと密接な関係がある。エネルギーは仕事（ジュール）と同じ測定単位を持つ。なぜなら、仕事をしている物体のエネルギーは、仕事が行われているときに相互作用する他の物体に伝達されるからである。^[13]仕事エネルギー原理によれば、剛体の運動エネルギーの増加は、その物体に作用する合力によってその物体に同量の正の仕事が行われたことによって生じる。逆に、運動エネルギーの減少は、合力によって同量の負の仕事が行われたことによって生じる。したがって、正味の仕事が正であれば、粒子の運動エネルギーは仕事の量だけ増加する。正味の仕事が負であれば、粒子の運動エネルギーは仕事の量だけ減少する。^[14]

ニュートンの第 2 法則から、自由 (場なし) かつ剛体 (内部自由度なし) の物体に対する仕事は、その物体の 線速度および角速度に対応する運動エネルギーE _kの変化に等しいことが示されます。 位置関数によって生成される力の仕事は位置エネルギーと呼ばれ、力は保存的であるといわれます。 したがって、速度や回転の変化がなく、保存力場内で単に移動する物体に対する仕事は、物体の位置エネルギーE _pの変化を差し引いたものに等しくなります。 これらの式は、 仕事が力の作用に関連するエネルギーであることを示しており、したがって仕事はエネルギーの物理的次元、および単位を持ちます。 ここで説明する仕事/エネルギーの原理は、電気の仕事/エネルギーの原理と同じです。 $${\displaystyle W=\Delta E_{\text{k}}.}$$$${\displaystyle W=-\Delta E_{\text{p}}.}$$

拘束力は、システム内のオブジェクトの変位を決定し、それを一定の範囲内に制限します。たとえば、傾斜と重力の場合、オブジェクトは傾斜にくっついており、ぴんと張った弦に取り付けられると、弦をさらに「ぴんと張る」ために外側の方向に移動することはできません。その方向のすべての変位が排除され、つまり、拘束方向の速度が 0 に制限されるため、拘束力はシステムに対して作業を実行しません。

機械システムの場合、^[15]拘束力は拘束を特徴付ける方向への動きを排除します。したがって、拘束力によって行われる仮想仕事はゼロであり、これは摩擦力が除外された場合にのみ当てはまります。^[16]

固定された摩擦のない拘束力は、システムに対して仕事をしません。^[17]運動と拘束力の間の角度は常に90°です。 [17]仕事のない拘束の例としては、粒子間の剛体相互接続、摩擦のない表面での滑り運動、滑りのない転がり接触などがあります。^[18]

たとえば、アトウッド マシンのような滑車システムでは、ロープと支持滑車にかかる内部力はシステムに対して何の仕事も行いません。したがって、物体に作用する重力についてのみ仕事を計算する必要があります。別の例としては、等速円運動をしているボールに紐から内側に働く求心力があります。この求心力は横方向に等速円運動をしており、ボールを円運動に制限して、円の中心から離れる動きを制限します。この力はボールの速度に対して垂直であるため、仕事はゼロです。

荷電粒子に働く磁力は F = q v × B です。ここでqは電荷、vは粒子の速度、B は磁場です。外積の結果は常に元のベクトルの両方に垂直なので、F ⊥ vです。2つの垂直ベクトルのドット積は常にゼロなので、仕事W = F ⋅ v = 0となり、磁力は仕事をしません。磁力は運動の方向を変えることはできますが、速度を変えることはできません。

運動する物体の場合、仕事量/時間（電力）は、力が作用する点の軌道に沿って積分される。したがって、どの瞬間においても、力によってなされる仕事率（ジュール/秒またはワットで測定）は、力（ベクトル）と作用点の速度ベクトルのスカラー積である。この力と速度のスカラー積は、瞬間電力として知られている。速度を時間で積分して総距離を求めることができるのと同様に、微積分の基本定理により、経路に沿った総仕事は、作用点の軌道に沿って適用される瞬間電力の時間積分である。^[19]

仕事は、各瞬間に速度vで曲線X をたどる点にかかる力の結果です。時間dtの瞬間に発生する小さな仕事量δW は、次のように計算されます 。 ここで、F ⋅ v は、瞬間dtでの力です。点の軌道上のこれらの小さな仕事量の合計が仕事になります。 ここで、C はx ( t ₁ )からx ( t ₂ ) への軌道です。この積分は粒子の軌道に沿って計算されるため、経路依存であると言われています。 $${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt}$$$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\tfrac {d\mathbf {s} }{dt}}\,dt=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} ,}$$

力が常にこの線に沿って向いており、力の大きさがFである場合、この積分は次のように簡略化されます 。 ここで、 sは線に沿った変位です。Fが定数である場合、さらに線に沿って向いている場合は、積分はさらに次のように簡略化されます 。 ここで、s は線に沿った点の変位です。 $${\displaystyle W=\int _{C}F\,ds}$$$${\displaystyle W=\int _{C}F\,ds=F\int _{C}ds=Fs}$$

この計算は、線に沿っていない一定の力と粒子の方向に対して一般化できる。この場合、ドット積 F ⋅ d s = F cos θ ds、ここでθは力のベクトルと移動方向の間の角度であり、^[19]つまり $${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =Fs\cos \theta .}$$

力の成分が物体の変位に対して垂直な場合（中心力を受けて物体が円軌道上を移動する場合など）、90°の余弦がゼロであるため、仕事は行われません。^[14]したがって、円軌道を持つ惑星では重力によって仕事を行うことはできません（すべての軌道がわずかに楕円形であるため、これは理想的です）。また、摩擦のない理想的な遠心分離機内で一定速度で移動するなど、機械的な力によって制約されながら一定速度で円運動する物体では仕事は行われません。

仕事を「力×直線経路セグメント」として計算することは、上で述べたように、最も単純な状況にのみ適用されます。力が変化している場合、または物体が曲線経路に沿って移動している場合 (回転している可能性があり、必ずしも固定されているとは限らない)、力の適用点の経路のみが仕事に関連し、適用点の速度に平行な力の成分のみが仕事をします (同じ方向の場合は正の仕事、速度の反対方向の場合は負の仕事)。この力の成分は、スカラー接線成分( F cos( θ )、θは力と速度の間の角度) と呼ばれるスカラー量で説明できます。そして、仕事の最も一般的な定義は次のように定式化できます。

可変力によって行われる仕事は、その作用点の経路に沿ったスカラー接線成分の線積分です。

力が変化する場合は（例えばバネを圧縮する場合）、微積分を使って仕事量を求める必要があります。力がxの変数としてF ( x )で与えられる場合、力が x 軸に沿ってx _1からx ₂まで行う仕事量は次のようになります。

$${\displaystyle W=\lim _{\Delta \mathbf {x} \to 0}\sum _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} \Delta \mathbf {x} =\int _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} d\mathbf {x} .}$$

したがって、可変力に対して行われた仕事は、力と変位の定積分として表すことができます。 ^[20]

変位を時間の変数として∆ x (t)で表すと、 t ₁からt ₂までの変数力によって行われる仕事は次のようになります。

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}P(t)dt.}$$

したがって、可変の力に対して行われた仕事は、時間に対する 力の定積分として表すことができます。

偶力は、剛体の 2 つの異なる点に作用する等しく反対方向の力から生じます。これらの力の合計 (結果) は打ち消し合うことがありますが、物体に対する効果は偶力またはトルクTです。トルクの仕事は次のように計算されます 。 ここで、T ⋅ ωは瞬間dtにわたる力です。剛体の軌道にわたるこれらの小さな仕事量の合計は、仕事を生み出します。 この積分は、時間とともに変化する角速度ω を持つ剛体の軌道に沿って計算されるため、経路依存であると言われています。 $${\displaystyle \delta W=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt,}$$$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt.}$$

角速度ベクトルが一定の方向を維持する場合、それは次の形式になります 。ここで、 は一定の単位ベクトルSの周りの回転角度です。この場合、トルクの仕事は、 C がからへの軌跡 である、となります。この積分は回転軌跡 に依存するため、経路に依存します。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S} ,}$$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} \,d\phi ,}$$${\displaystyle \phi (t_{1})}$${\displaystyle \phi (t_{2})}$${\displaystyle \phi (t)}$

トルクが角速度ベクトルと一致し、 T = τ S 、{\displaystyle \mathbf {T} =\tau \mathbf {S} 、} であり 、トルクと角速度がともに一定である場合、仕事は次の形になる。^[2]${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}\,dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1}).}$$

この結果は、図に示すように、一定の大きさの力Fがレバーアームに垂直に距離 で加わることによってトルクが生じると考えることで、より簡単に理解できます。この力は円弧 に沿って距離 にわたって作用するため、行われる仕事は です 。 トルクτ = Fr を導入すると、上記の式が得られます 。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle l=s=r\phi }$$${\displaystyle W=Fs=Fr\phi .}$$$${\displaystyle W=Fr\phi =\tau \phi ,}$$

角速度ベクトルの方向のトルクの成分のみが仕事に寄与することに注意してください。

力Fとその作用点の速度vのスカラー積は、ある瞬間にシステムに入力される力を定義します。この力を作用点の軌跡に沿って積分すると、 C = x ( t )となり、力によってシステムに入力される仕事が定義されます。

したがって、曲線Cに沿って移動する物体に力Fが加える仕事は、線積分で与えられます。 ここで、dx ( t )は軌道Cを定義し、v はこの軌道に沿った速度です。一般に、この積分では速度が定義される経路が必要であるため、仕事の評価は経路依存であると言われています。 $${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt,}$$

仕事の積分を時間微分すると瞬間電力が得られる。 $${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=P(t)=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}$$

加えられた力に対する仕事が経路に依存しない場合、力によって行われた仕事は、勾配定理により、作用点の軌道の始点と終点で評価されるポテンシャル関数を定義します。これは、 2つの点x ( t ₁ )とx ( t ₂ )で評価できるポテンシャル関数U ( x )が存在し、これら2つの点間の任意の軌道で仕事が得られることを意味します。この関数は、正の仕事がポテンシャルの減少となるように負の符号で定義するのが慣例です。つまり、 $${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{\mathbf {x} (t_{1})}^{\mathbf {x} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf {x} (t_{1}))-U(\mathbf {x} (t_{2})).}$$

関数U ( x )は、加えられた力に関連する位置エネルギーと呼ばれます。このような位置エネルギー関数から得られる力は保存力と呼ばれます。位置エネルギーを持つ力の例としては、重力やバネ力などがあります。

この場合、仕事の 勾配は ∇ W = − ∇ U = − ( ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y , ∂ U ∂ z ) = F , {\displaystyle \nabla W=-\nabla U=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,} となり 、力Fは「ポテンシャルから導出可能」であると言われる。^[21]

ポテンシャルU は空間内のあらゆる点xで力F を定義するため、力の集合は力場と呼ばれます。力場によって物体に適用される力は、物体の速度Vの方向の仕事、つまりポテンシャルの勾配から得られます。つまり、 P ( t ) = − ∇ U ⋅ v = F ⋅ v です。{\displaystyle P(t)=-\nabla U\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}

他の力がない場合、重力は自由に動くすべての物体に一定の下向きの加速度をもたらします。地球の表面近くでは、重力による加速度はg = 9.8 m⋅s ⁻²であり、質量mの物体にかかる重力はF _g = mgです。この重力は物体の 質量の中心に集中していると想像すると便利です。

重さmgの物体が垂直距離y ₂ − y ₁だけ上または下に変位した場合、物体にかかる 仕事W は次のようになります。 ここで、F _gは重さ (ヤードポンド法ではポンド、SI 単位ではニュートン)、 Δ y は高さyの変化です。重力による仕事は物体の垂直方向の移動のみに依存することに注意してください。摩擦の有無は、物体の重さによる仕事には影響しません。 $${\displaystyle W=F_{g}(y_{2}-y_{1})=F_{g}\Delta y=mg\Delta y}$$

質量Mが別の質量mに及ぼす重力の力は、rがMからmへの位置ベクトル、r̂ がr方向の単位ベクトルである 場合に、次のように表されます 。 $${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} ,}$$

質量m が速度vで動くとします。この質量が位置r ( t ₁ )からr ( t ₂ )に動くときにかかる重力の仕事は、次のように表されます。 質量m の位置と速度は次のように表される ことに注意してください。 ここで、e _rとe _tは、 Mからmへのベクトルに対する放射状および接線方向の単位ベクトルです。 また、次の事実を使用します。 これを使用して、重力の仕事の式を次のように簡略化します。 この計算では、次の事実を使用します 。 関数は 重力ポテンシャル関数であり、重力ポテンシャルエネルギーとも呼ばれます。 負の符号は、仕事はポテンシャルエネルギーの損失から得られるという慣例に従います。 $${\displaystyle W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.}$$$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t},}$$${\displaystyle d\mathbf {e} _{r}/dt={\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}.}$$${\displaystyle W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot \left({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}\right)dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.}$$$${\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}},}$$

物体の運動に関係なく、x方向のたわみに比例する水平方向の力F = (− kx , 0, 0)を及ぼすバネを考えます。曲線X ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t ))に沿って移動する物体に対するこのバネの仕事は、速度v = ( v _x , v _y , v _z )を使用して計算され、次の式が得られます。 便宜上、バネとの接触がt = 0で発生するとすると、距離xと x 速度の積xv _x dt を時間tにわたって積分すると、次の式が得られます。$${\displaystyle W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}dt=-{\frac {1}{2}}kx^{2}.}$$1/2⁠ x ²。仕事は距離とバネ力の積であり、バネ力も距離に依存します。したがって結果はx ²になります。

気体が周囲に対して行う 仕事は次の式で表されます。 ここで、Pは圧力、Vは体積、aとbは初期体積と最終体積です。 ${\displaystyle W}$$${\displaystyle W=\int _{a}^{b}P\,dV}$$

仕事と運動エネルギーの原理（仕事-エネルギー原理とも呼ばれる）は、粒子に作用するすべての力によって行われた仕事（合力の仕事）は、粒子の運動エネルギーの変化に等しいと述べています。^[22] つまり、粒子に対する合力の仕事Wは、粒子の運動エネルギーの変化に等しく、^[2] ここで、と は仕事が行われる前と後の粒子の速度、mは粒子の質量です。 ${\displaystyle E_{\text{k}}}$ $${\displaystyle W=\Delta E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}}$$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$

仕事エネルギー原理の導出は、ニュートンの運動の第二法則と粒子に働く合力から始まります。力と粒子の速度のスカラー積を計算することで、システムに加えられる瞬間的な力が評価されます。 ^[23] （拘束は、拘束力の方向に速度の成分がないことを保証することで、粒子の移動方向を定義します。これは、拘束力が瞬間的な力に加わらないことも意味します。）このスカラー方程式の時間積分は、瞬間的な力から仕事と、加速度と速度のスカラー積から運動エネルギーを生み出します。仕事エネルギー原理が拘束力を排除するという事実は、ラグランジュ力学の基礎となっています。^[24]

このセクションでは、粒子動力学に適用される仕事エネルギー原理に焦点を当てます。より一般的なシステムでは、仕事は機械装置の位置エネルギー、熱システムの熱エネルギー、または電気装置の電気エネルギーを変化させることができます。仕事は、エネルギーをある場所から別の場所へ、またはある形態から別の形態へ伝達します。

合力 Fが大きさと方向の両方で一定であり、粒子の速度に平行である場合、粒子は直線に沿って一定の加速度aで運動している。 ^[25]正味の力と加速度の関係は、式F = ma（ニュートンの運動の第2法則）で与えられ、粒子の変位 sは、（運動方程式を参照） から導かれる式で表すことができる 。 $${\displaystyle s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}$$${\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as}$

ネット力の働きは、その大きさと粒子の変位の積として計算されます。上記の式を代入すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle W=Fs=mas=ma{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta E_{\text{k}}}$$

その他の派生語: $${\displaystyle W=Fs=mas=m{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2s}}s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}}$$

一般的な直線運動の場合、正味の力Fの大きさは一定ではないが、方向は一定で、粒子の速度と平行である場合、仕事は粒子の経路に沿って積分されなければなりません。 $${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,v\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,v\,dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{\frac {dv}{dt}}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right).}$$

任意の曲線経路に沿って移動する粒子に作用する任意の正味の力については、その仕事が粒子の運動エネルギーの変化に等しいことが、上記の式に類似した簡単な導出によって証明できます。これは仕事-エネルギー原理として知られています。 $${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta E_{\text{k}}}$$

この恒等式には代数計算が必要です。恒等式と定義から 次のようになります。 ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}}$${\textstyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$${\textstyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$$${\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} .}$$

上記の導出の残りの部分は、前の直線の場合と同じように、単なる単純な計算です。

粒子力学では、システムに加えられた仕事と運動エネルギーの変化を等しくする式は、ニュートンの運動の第二法則の第一積分として得られます。ニュートンの法則で使用される合力は、粒子に加えられる力と、粒子の動きに対する制約によって課される力に分けられることに注意すると便利です。注目すべきことに、制約力の仕事はゼロであるため、仕事-エネルギー原理では、加えられた力の仕事のみを考慮する必要があります。

これを理解するには、力Fが作用する軌道X ( t )をたどる粒子 P を考えてみましょう。粒子を環境から分離して制約力R を明らかにすると、ニュートンの法則は次のようになります 。 ここで、mは粒子の質量です。 $${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},}$$

ベクトルの上のn個の点は、そのn次の時間微分を表すことに注意する。ニュートンの法則の各辺と速度ベクトルの スカラー積は 、拘束力が粒子の速度に垂直であるため、次式となる。この式を点X ( t ₁ )から点X ( t ₂ )までの軌跡に沿って積分すると、次式が得られる。 $${\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}$$$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.}$$

この式の左辺は、時間t ₁から時間t ₂までの軌道に沿って粒子に作用する適用力の働きです。これは次のようにも書けます。 この積分は粒子の軌道X ( t )に沿って計算されるため、経路に依存します。 $${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .}$$

ニュートン方程式の第一積分の右辺は、次の恒等式を使って簡略化できる （導出については積分則を参照）。ここで、これを明示的に積分して運動エネルギーの変化を求める。 ここで、粒子の運動エネルギーはスカラー量で定義される。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}$$$${\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})dt={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{2})-{\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{1})={\frac {1}{2}}m\Delta \mathbf {v} ^{2},}$$$${\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v} ^{2}}}$$

速度ベクトルと加速度ベクトルを、軌道X ( t )に沿った接線成分と法線成分に分解すると、次の式が 成り立ちます 。すると、ニュートンの第2法則における速度と加速度のスカラー積は、次の式になります。 ここ で、粒子の運動エネルギーはスカラー量によって定義されます。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\text{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,}$$$${\displaystyle v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.}$$$${\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}v\,dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}\,dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),}$$$${\displaystyle K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.}$$

その結果は粒子動力学における仕事-エネルギー原理であり、 この導出は任意の剛体系に一般化できます。 $${\displaystyle W=\Delta K.}$$

駆動力と重力の作用を受けて水平方向に直線の軌道を進む車両を考えてみましょう。その合計はFです。車両と道路の間の拘束力によってRが定義され、次の式が得られます。 便宜上、軌道は X 軸に沿うものとし、X = ( d , 0)、速度はV = ( v , 0)とすると、R ⋅ V = 0、F ⋅ V = F _x vとなります。ここで、F _{x は}FのX 軸に沿った 成分です。 両辺を積分すると次の式が得られます。 F _{x が}軌道に沿って一定であれ ば、速度の積分は距離なので、 $${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$$$${\displaystyle F_{x}v=m{\dot {v}}v.}$$$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$$$${\displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$$

例として、車が横滑りして停止することを考えてみましょう。ここで、kは摩擦係数、W は車の重量です。軌道に沿った力はF _x = − kWです。車の速度vは、仕事-エネルギー原理を使用して、横滑りの 長さsから決定できます。 この式は、車両の質量がm = W / gであるという事実を使用しています。 $${\displaystyle kWs={\frac {W}{2g}}v^{2},\quad {\text{or}}\quad v={\sqrt {2ksg}}.}$$

停止状態から出発し、傾斜面（山道など）を惰性で下る車両の場合を考えてみましょう。仕事エネルギー原理は、車両が速度V（例えば 60 mph（88 fps））に達するまで移動する最小距離を計算するのに役立ちます。転がり抵抗と空気抵抗により車両は減速するため、実際の距離はこれらの力を無視した場合よりも長くなります。

道路に沿った車両の軌道を3 次元空間の曲線X ( t )とします。車両に作用して道路を押し下げる力は一定の重力F = (0, 0, W )であり、道路が車両に及ぼす力は拘束力 R です。ニュートンの第 2 法則により、次の式が得られます。 この式と速度V = ( v _x , v _y , v z )の スカラー積は、次の式を生成します 。 ここで、VはVの大きさです。車両と道路の間の拘束力は、 R ⋅ V = 0であるため、この式から打ち消され、何の仕事もしません。 両辺を積分して次の式を取得します。 _重力 Wは軌道に沿って一定であり、垂直速度の積分は垂直距離であるため、次の 式が得られます。 V( t ₁ )=0 であることを思い出してください。 この結果は、車両がたどる道路の形状に依存しないことに注意してください。 $${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$$$${\displaystyle Wv_{z}=m{\dot {V}}V,}$$$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}Wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).}$$$${\displaystyle W\Delta z={\frac {m}{2}}V^{2}.}$$

道路に沿った距離を決定するには、下り勾配が 6% で、急勾配の道路であると仮定します。これは、100 フィート移動するごとに高度が 6 フィート下がることを意味します。この小さな角度では、sin 関数と tan 関数はほぼ等しくなります。したがって、速度Vに達するために 6% の勾配を下る距離s (フィート単位) は少なくとも この式で求められます。この式では、車両の重量がW = mgであるという事実を利用しています。 $${\displaystyle s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\text{or}}\quad s=8.3{\frac {88^{2}}{32.2}}\approx 2000\mathrm {ft} .}$$

単一の剛体のさまざまな点に作用する力の仕事は、合力とトルクの仕事から計算できます。これを確認するには、力F ₁、F ₂、...、F _{n が}剛体の 点X ₁、X ₂、...、X _{nに作用するとします。}

X _i , i = 1, ..., nの軌道は剛体の動きによって定義されます。この動きは、回転の集合 [ A ( t )] と物体内の参照点の軌道d ( t ) によって与えられます。座標x _i i = 1, ..., nが、移動する剛体の参照フレーム M内のこれらの点を定義すると、固定フレームFで描かれる軌道は次のように与えられます。 $${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n.}$$

点X _iの軌跡に沿った 速度は、 ω が 角速度行列と呼ばれる 斜め対称行列から得られる角速度ベクトルで ある 場合です。$${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }},}$$$${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\mathsf {T}},}$$

小さな変位δ r _iに対する力による小さな仕事量は、変位をδ r = v δtで 近似することによって決定できます 。 $${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t}$$$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }})\delta t.}$$

この式を書き直すと、次の式が得られます 。 ここで、FとTは、剛体内の 移動フレームMの基準点dに適用される合力とトルクです。$${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\dot {\mathbf {d} }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} \right)\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\boldsymbol {\omega }}\delta t=\left(\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {d} }}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\delta t,}$$

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004).科学者とエンジニアのための物理学(第 6 版). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7。
• ティプラー、ポール (1991)。科学者とエンジニアのための物理学: 力学(第 3 版、拡張版)。WH フリーマン。ISBN 0-87901-432-6。

• 仕事エネルギー原理