指数関数的減少

ある量が現在の値に比例した速度で減少する場合、その量は指数関数的に減少する。このプロセスは、記号的に次の微分方程式で表すことができる。ここで、Nは量、λ (ラムダ) は指数関数的減少定数、崩壊定数、^[1]速度定数、^[2]または変換定数と呼ばれる正の速度である。^[3]

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N.}$

この方程式の解（下記の導出を参照）は次のとおりです。

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},}$

ここで、N ( t )は時刻tにおける量、N0 = N (0)は初期量、つまり時刻t =0_における量です。

減衰量N ( t ) が特定の集合内の離散要素の数である場合、要素が集合内に留まる平均時間を計算することが可能です。これは平均寿命(または単に寿命) と呼ばれ、指数時間定数 は減衰率定数 λ と次のように関連しています。 ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

平均寿命は「スケーリング時間」として考えることができます。これは、指数関数的減衰方程式が減衰定数 λ の代わりに平均寿命 で表すことができるためです。 ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau },}$

そして、それは集合体の数が初期値の1 ⁄ e ≈ 0.367879441 倍に減少する時間です。これは半減期の ≈ 1.442695 に相当します。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \log_{2}{e}}$

たとえば、アセンブリの初期人口N (0)が1000の場合、時刻における人口は368になります。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle N(\tau )}$

以下に非常によく似た式を示しますが、これは指数の底をeではなく 2 に選択した場合に発生します。その場合、スケーリング時間は「半減期」です。

指数関数的減少のより直感的な特徴は、多くの人にとって、減少する量が初期値の半分に減少するのに必要な時間です。( N ( t ) が離散的である場合、これは平均寿命ではなく中央寿命です。) この時間は半減期と呼ばれ、多くの場合、記号t _1/2で表されます。半減期は、減衰定数、または平均寿命を使用して次のように表すことができます。

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).}$

この式を上記の指数方程式に挿入し、ln 2 を底に吸収すると、この方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}}$

したがって、残っている物質の量は、 経過した半減期の（整数または分数の） 2 ^{−1 = 1/2 乗です。したがって、半減期が 3 回経過すると、元の物質の 1/2 3}  = 1/8 が残ります。

したがって、平均寿命は半減期を自然対数 2 で割った値に等しくなります。 ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1.4427\cdot t_{1/2}.}$

たとえば、ポロニウム 210の半減期は 138 日、平均寿命は 200 日です。

指数関数的減少を表す式は

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N}$

または、並べ替えることによって（変数分離と呼ばれる手法を適用して）、

${\displaystyle {\frac {dN}{N}}=-\lambda dt.}$

統合すると、

${\displaystyle \ln N=-\lambda t+C\,}$

ここでCは積分定数であり、したがって

${\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,}$

ここで、最終的な置換N ₀ = e ^{C は}、 N _0がt = 0における量として定義されているため、t = 0における式を評価することによって得られます。

これは指数関数的減少を記述するのに最も一般的に使用される式の形式です。減少定数、平均寿命、半減期のいずれか1つで減少を特徴づけるのに十分です。減少定数の表記 λ は、固有値の通常の表記法の名残です。この場合、 λ は、 N ( t ) を対応する固有関数とする微分演算子の負の固有値です。減少定数の単位は s ^{−1です[引用が必要]}。

要素のアセンブリがあり、その数が最終的に 0 に減少する場合、平均寿命、 （単に寿命とも呼ばれる）は、オブジェクトがアセンブリから削除されるまでの時間の期待値です。具体的には、アセンブリの要素の個々の寿命が、ある基準時間とアセンブリからのその要素の削除との間に経過した時間である場合、平均寿命は個々の寿命の 算術平均です。${\displaystyle \tau}$

人口の公式から始める

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

まずcを確率密度関数に変換するための正規化係数とします。

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

あるいは、並べ替えると、

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.}$

指数関数的減少は、指数分布のスカラー倍数（つまり、各オブジェクトの個々の寿命は指数分布する）であり、その期待値はよく知られています。ここでは、部分積分を使用してそれを計算できます。

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

ある量は、同時に 2 つ以上の異なるプロセスを経て崩壊する場合があります。一般に、これらのプロセス (「崩壊モード」、「崩壊チャネル」、「崩壊経路」などと呼ばれることが多い) は、発生する確率が異なり、したがって、異なる半減期で異なる速度で並行して発生します。量 Nの合計崩壊率は、崩壊経路の合計で表されます。したがって、2 つのプロセスの場合、次のようになります。

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

この式の解は前のセクションで与えられており、 の合計は新しい全減衰定数として扱われます。 ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\,}$${\displaystyle \lambda_{c}}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.}$

個々のプロセスに関連する部分平均寿命は、定義により、対応する部分減衰定数の逆数です。組み合わせた A は、 sで表すことができます。 ${\displaystyle \tau =1/\lambda }$${\displaystyle \tau_{c}}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.}$

半減期は平均寿命と一定の係数で異なるため、対応する 2 つの半減期に関して同じ式が成り立ちます。 ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}$

ここで、 はプロセスの合成半減期または全半減期であり、は対応するプロセスのいわゆる部分半減期です。 「部分半減期」および「部分平均寿命」という用語は、指定された減衰モードがその量の唯一の減衰モードであるかのように減衰定数から導出される量を表します。 「部分半減期」という用語は誤解を招きます。なぜなら、特定の量が半分になる時間間隔として測定することはできないからです。 ${\displaystyle T_{1/2}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$

個々の崩壊定数の観点から見ると、全半減期は次のように示される。 ${\displaystyle T_{1/2}}$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

3 つの同時指数関数的プロセスによる崩壊の場合、全半減期は上記のように計算できます。

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.}$

核科学および薬物動態学では、対象物質は崩壊系列に位置する可能性があり、その蓄積はソース物質の指数関数的崩壊によって支配され、対象物質自体は指数関数的プロセスによって崩壊します。

これらのシステムは、ベイトマン方程式を使用して解かれます。

薬理学の分野では、摂取された物質の一部は、指数関数的減少として合理的にモデル化されたプロセスによって体内に吸収されるか、またはそのような放出プロファイルを持つように意図的に配合される可能性があります。

指数関数的減少はさまざまな状況で発生します。そのほとんどは自然科学の領域に属します。

指数関数として扱われることが多い多くの減衰過程は、サンプルが大きく、大数の法則が成り立つ限り、実際には指数関数的であるだけです。サンプルが小さい場合は、ポアソン過程を考慮した、より一般的な分析が必要です。

• 化学反応:特定の種類の化学反応の速度は、いずれかの反応物の濃度に依存します。速度が 1 つの反応物の濃度のみに依存する反応 (一次反応と呼ばれる) は、結果的に指数関数的な減少に従います。たとえば、多くの酵素触媒反応はこのように動作します。
• 静電気:コンデンサ(静電容量C )に含まれる電荷 (または、同等の電位 ) は、指数関数的に減少し (コンデンサが抵抗Rの一定の外部負荷を受ける場合)、同様に指数関数的に減少するのと対称的に充電されます(コンデンサが一定の抵抗を通して一定の電圧源から充電される場合)。このプロセスの指数時定数は であるため、半減期は です。同じ式をインダクタの電流の双対に適用できます。 ${\displaystyle \tau =R\,C,}$${\displaystyle R\,C\,\ln(2).}$
  • さらに、コンデンサまたはインダクタが複数の並列 抵抗器を介して変化するという特殊なケースは、各抵抗器が個別のプロセスを表す、複数の減衰プロセスの興味深い例となります。実際、並列の 2 つの抵抗器の等価抵抗の式は、2 つの減衰プロセスによる半減期の式を反映しています。
• 地球物理学: 大気圧は海抜の上昇とともにほぼ指数関数的に減少し、1000mあたり約12%の割合で減少します。 ^[要出典]
• 熱伝達:ある温度の物体が別の温度の媒体にさらされると、物体と媒体の間の温度差は指数関数的に減少します (遅いプロセスの限界では、物体内部の熱伝導が「良好」な場合と同等で、物体の温度はその体積全体にわたって比較的均一に保たれます)。ニュートンの冷却の法則も参照してください。
• 発光:励起後、発光物質の発光強度は励起された原子または分子の数に比例し、指数関数的に減少します。関与するメカニズムの数に応じて、減少は単一指数または多重指数になります。
• 薬理学および毒物学:投与された多くの物質は、指数関数的減衰パターンに従って分布および代謝される(クリアランスを参照) ことがわかっています。物質の生物学的半減期「アルファ半減期」および「ベータ半減期」は、物質がどれだけ速く分布および排出されるかを測定します。
• 物理光学:吸収媒体内の光や X 線、ガンマ線などの電磁放射の強度は、吸収媒体内への距離に応じて指数関数的に減少します。これはランベルト・ベールの法則として知られています。
• 放射能:放射性崩壊を起こして異なる状態になる放射性核種のサンプルでは、​​元の状態の原子の数は、残っている原子の数が多い限り、指数関数的に減少します。崩壊生成物は放射性核種と呼ばれます。
• 熱電気:温度が上昇すると、負温度係数サーミスタの抵抗が減少します。
• 振動:振動の中には指数関数的に減衰するものもあります。この特性は減衰機械発振器によく見られ、シンセサイザーのADSR エンベロープの作成に使用されます。減衰が過剰なシステムは、指数関数的な減衰を経て単純に平衡状態に戻ります。
• ビールの泡：ミュンヘンのルートヴィヒ・マクシミリアン大学のアルント・ライケは、ビールの泡が指数関数的減少の法則に従うことを実証したことでイグ・ノーベル賞を受賞した。 ^[4]

• 財務:退職基金は、通常は毎月の個別の支払い額と、連続的な金利の影響を受ける入力によって指数関数的に減少します。微分方程式 dA/dt = 入力 - 出力 を記述して解くと、基金に残っている任意の金額 A に達するまでの時間を求めることができます。
• 単純な言語年代学では、言語の減衰率が一定であるという（議論の余地のある）仮定により、個々の言語の年代を推定することができます。（ 2 つの言語間の分岐の時期を計算するには、指数関数的減衰とは無関係な追加の仮定が必要です）。

• インターネットのコアルーティング プロトコルであるBGPは、パケットが迂回できるパスを記憶するためにルーティング テーブルを維持する必要があります。これらのパスの 1 つが使用可能から使用不可(およびその逆) に状態を繰り返し変更すると、そのパスを制御する BGPルータはルーティング テーブルにパス レコードを繰り返し追加および削除する (パスをフラッピングする)必要があり、 CPUやRAMなどのローカル リソースを消費するだけでなく、ピア ルータに無駄な情報をブロードキャストすることになります。この望ましくない動作を防ぐために、ルート フラッピング ダンピングと呼ばれるアルゴリズムによって各ルートに重みが割り当てられます。この重みは、ルートの状態が変化するたびに大きくなり、時間の経過とともに指数関数的に減少します。重みが一定の限度に達すると、フラッピングは行われなくなり、ルートが抑制されます。

指数関数的増加 (太線) と減少 (細線) の倍加時間と半減期、およびそれらの 70/ tと 72/ t の近似値を比較したグラフ。SVG バージョンでは、グラフの上にマウス カーソルを置くと、そのグラフとその補数が強調表示されます。

• 指数式
• 指数関数的成長
• 異なる定数を持つ指数過程の連鎖の数学のための放射性崩壊

• マグロウヒル科学技術百科事典（第10版）。ニューヨーク：マグロウヒル。2007年。ISBN 978-0-07-144143-8。
• サーウェイ、レイモンド A.; モーゼス、クレメント J.; モイヤー、カート A. (1989)、現代物理学、フォートワース:ハーコート ブレイス ジョバノビッチ、ISBN 0-03-004844-3
• シモンズ、ジョージ F. (1972)、微分方程式とその応用および歴史的注釈、ニューヨーク：マグロウヒル、LCCN  75173716

• 指数関数的減衰計算機
• 指数関数的減少の確率的シミュレーション
• 時間定数に関するチュートリアル