実変数の関数

数学において、実変数の関数とは、定義域が の部分集合である関数のことである。${\displaystyle \mathbb {R} }$よく見かける多くの実関数は、定義域に内部が空でない区間を含み、定義域内のそれぞれが内部が空でない1つ以上の区間において連続であるか、ある程度の滑らかさを持つ場合があります。古い文献では、実変数関数の理論は、現在では実解析と呼ばれるものと同義語として扱われることがよくあります。

このような関数の中で最も広く考えられているのは実関数であり、これは実変数の実数値関数、つまり値域が実数の集合である実変数の関数です。

それにもかかわらず、実変数の関数の終域は任意の集合になり得る。しかし、多くの場合、次のような構造を持つと仮定される。${\displaystyle \mathbb {R} }$-実数上のベクトル空間。つまり、終域はユークリッド空間、座標ベクトル、与えられたサイズの実数行列の集合、または${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数、例えば複素数や四元数など。構造${\displaystyle \mathbb {R} }$余域の -ベクトル空間は、${\displaystyle \mathbb {R} }$関数上のベクトル空間。終域が構造を持つ場合${\displaystyle \mathbb {R} }$代数についても同様であり、関数についても同じことが言える。

実変数関数の像は、その終域における曲線である。この文脈において、曲線を定義する関数は、曲線の媒介変数表示と呼ばれる。

実変数関数の終域が有限次元ベクトル空間である場合、その関数は実関数の列とみなすことができる。これは応用分野でよく用いられる。

実関数は、${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} ,}$どこ${\displaystyle \mathbb {R} }$は通常通り実数の集合を表します。つまり、実関数の定義域は部分集合です。${\displaystyle \mathbb {R} }$、その値域は${\displaystyle \mathbb {R} .}$一般的に、定義域には正の長さの区間が含まれていると想定される。

実変数の実数値関数とは、実数（一般に変数xで表される）を入力として受け取り、別の実数（関数の値、一般にf ( x ) と表記される）を出力する関数のことです。簡潔にするため、本稿では実変数の実数値関数を単に「関数」と呼びます。曖昧さを避けるため、その他の種類の関数については明示的に説明します。

一部の関数は変数のすべての実数値に対して定義されます（つまり、あらゆる場所で定義されます）が、他の関数は変数の値がサブセット X に含まれる場合にのみ定義されます${\displaystyle \mathbb {R} }$関数の定義域は、常に正の長さの区間を含むものと想定されます。言い換えれば、実変数の実数値関数は関数です。

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

その定義域Xが以下の部分集合である${\displaystyle \mathbb {R} }$正の長さの区間を含む。

1変数関数の簡単な例は次のとおりです。

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} \,:\,x\geq 0\}}$

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

これはxの平方根です。

連続性と限界

19世紀後半まで、数学者は連続関数のみを考察対象としていました。当時、連続性の概念は、位相空間や位相空間間の連続写像が正式に定義されるよりもかなり前に、1つまたは複数の実変数の関数について確立されていました。実変数の連続関数は数学において遍在するため、位相空間間の連続写像という一般的な概念を参照せずに、この概念を定義することは有益です。

連続性を定義するには、距離関数を考慮することが有用である。${\displaystyle \mathbb {R} }$これは、2つの実変数の至るところで定義される関数です。 ${\displaystyle d(x,y)=|xy|}$

関数fは、ある点で連続である。${\displaystyle a}$任意の正の実数εに対して、ある正の実数δが存在し、${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$すべての人々のために${\displaystyle x}$そのため$\displaystyle d(x,a)<\delta .}$言い換えれば、δは十分に小さく選択され、半径δの区間のfによる像が中心となるようにすることができる。${\displaystyle a}$長さ2εの区間内に含まれ、中心は${\displaystyle f(a).}$関数が連続であるとは、その定義域のすべての点で連続である場合をいう。

実変数の実数値関数の極限は次のとおりである。[ 1 ^]関数fの定義域Xの位相閉包内の点をaとする。関数fは、 x がaに近づくとき極限Lを持ち、次のように表される。

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x),}$

以下の条件が満たされる場合：すべての正の実数ε > 0 に対して、正の実数δ > 0 が存在し、

${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

定義域内のすべてのxに対して、

${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$

極限が存在する場合、それは一意です。aが定義域の内部にある場合、極限が存在するのは、関数がaで連続である場合のみです。この場合、次のようになります。

${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}f(x).}$

a がfの定義域の境界にあり、 fが a で極限を持つ場合、後者の式はfの定義域をaまで「連続性によって拡張」することを可能にする。

実変数の関数を複数集めることができる。

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x)\,,\quad y_{2}=f_{2}(x)\,,\ldots ,y_{n}=f_{n}(x)}$

xによってパラメータ化されたベクトルに変換します。

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=[f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)]}$

ベクトルyの導関数は、 i = 1, 2, ..., nに対するf _i ( x )のベクトル導関数です。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=\left({\frac {dy_{1}}{dx}},{\frac {dy_{2}}{dx}},\ldots ,{\frac {dy_{n}}{dx}}\right)}$

位置ベクトルr = r ( x )を持つ、xでパラメータ化された空間曲線に沿った線積分は、変数xに関して積分することによっても実行できます。

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot {\frac {d\mathbf {r} (x)}{dx}}dx}$

ここで、· は内積であり、x = aとx = bは曲線の始点と終点です。

実変数の実数値陰関数は「 y = f ( x )」の形式では記述されません。代わりに、写像は空間から${\displaystyle \mathbb {R} }$²からゼロ要素へ${\displaystyle \mathbb {R} }$（ただの普通のゼロ 0）：

${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} ^{2}\to \{0\}}

そして

${\displaystyle \phi (x,y)=0}$

これは変数に関する方程式です。陰関数は、関数を表すより一般的な方法です。なぜなら、次のようになるからです。

${\displaystyle y=f(x)}$

そうすれば、常に次のように定義できます。

${\displaystyle \phi (x,y)=y-f(x)=0}$

しかし、その逆は必ずしも可能ではなく、つまり、すべての陰関数がこの方程式の形をとるわけではない。

行列は単一の変数の関数となる場合もあります。例えば、2次元における回転行列は次のようになります。

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

は、原点周りの回転角の行列値関数です。同様に、特殊相対性理論では、純粋なブースト（回転なし）のローレンツ変換行列は次のようになります。

${\displaystyle \Lambda (\beta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

はブーストパラメータβ = v / cの関数であり、vは基準フレーム間の相対速度(連続変数)、 cは光速(定数)です。

前のセクションを一般化すると、実変数の関数の出力はバナッハ空間またはヒルベルト空間にも存在し得る。これらの空間では、除算、乗算、極限がすべて定義されているため、微分や積分といった概念は依然として適用可能である。これは特に量子力学において頻繁に発生し、ケットまたは演算子の微分をとる。例えば、一般的な時間依存シュレーディンガー方程式において、このような現象が見られる。

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

ここで、波動関数の微分をとるが、波動関数は複数の異なるヒルベルト空間の要素となり得る。

実変数の複素数値関数は、実数値関数の定義において、終域を実数に限定するという制約を緩和し、複素数値を許容することによって定義することができる。

f ( x )がこのような複素数値関数である場合、次のように分解できます。

f ( x ) = g ( x ) + ih ( x )、

ここで、 gとhは実数値関数である。言い換えれば、複素数値関数の研究は、実数値関数のペアの研究に容易に帰着する。

実変数の実数値関数の集合の濃度、${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}}$、 は${\displaystyle \beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}}$これは、連続体の濃度（つまり、すべての実数の集合）よりも厳密に大きい。この事実は、基数演算によって容易に検証できる。

$${\displaystyle \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {R} )^{\mathrm {card} (\mathbb {R} )}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}\cdot {\mathfrak {c}}}=2^{\mathfrak {c}}.}$$

さらに、もし${\displaystyle X}$は、${\displaystyle 2\leq \mathrm {card} (X)\leq {\mathfrak {c}}}$すると、その集合の濃度は${\displaystyle X^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to X\}}$また${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$、 以来

$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\mathrm {card} (2^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (X^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=2^{\mathfrak {c}}.}$$

しかし、連続関数の集合${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f\ \mathrm {continuous} \}}$連続体の濃度は厳密に小さい。${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$これは、連続関数は、関数の定義域内で密な部分集合上の値によって完全に決定されるという事実から導かれる。この場合${\displaystyle \mathbb {R} }$^{[ 2 ]}したがって、 実数上の連続実数値関数の集合の濃度は、有理数上の実数値関数の集合の濃度よりも大きくはない。基数演算により：

$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} })=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$$

一方、明確な全単射が存在するため${\displaystyle \mathbb {R} }$定数関数の集合${\displaystyle \{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)\equiv x_{0}\}}$これは、のサブセットを形成する。${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$、${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\geq {\mathfrak {c}}}$も成り立つ必要がある。したがって、${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))={\mathfrak {c}}}$。

• 実分析
• 複数の実変数の関数
• 複素解析
• 複数の複雑な変数の関数

• F. エアーズ、E. メンデルソン (2009)。微積分。シャウムズ・アウトライン・シリーズ（第5 版）。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-150861-2。
• R. Wrede、MR Spiegel (2010)。『高等微積分』。Schaum's outline series（第3 版）。McGraw Hill。ISBN 978-0-07-162366-7。
• N. ブルバキ(2004).実変数関数：初等理論. Springer. ISBN 354-065-340-6。